Definition der Geschwindigkeit in der klassischen Mechanik

1. Erstens, wenn die Basis von OP nicht von der Zeit abhängt, stimmen die beiden Definitionen (1) und (2) überein.

2. F: Worauf bezieht sich die Zeitabhängigkeit der OP-Basis? A: Es ist die Zeitabhängigkeit der Basis von OP relativ zu einem anderen Bezugsrahmen, der in der Newtonschen Mechanik normalerweise als Trägheitsrahmen angenommen wird . Wenn dies der Fall ist, ist Definition (1) die Geschwindigkeit relativ zu einem Trägheitsrahmen, während Definition (2) die Geschwindigkeit relativ zur Basis von OP ist. Beachten Sie, dass ein beschleunigter Bezugsrahmen zu fiktiven Kräften führt .

3. Beispiel. Wenn die Basis von OP erdfest ist, wird Definition (2) in der Praxis verwendet, um Geschwindigkeiten auf / in der Nähe der Erdoberfläche zu messen, z. B. Geschwindigkeit von Autos, Windgeschwindigkeit usw.

Ihre Gleichungen sind dasselbe, wenn wir kartesische Koordinaten verwenden. Dies liegt daran, dass jede Koordinate unabhängig vom Ort im Raum ist. Zum Beispiel am kartesischen Punkt$(1,1,1)$, Die$\hat x$Richtung ist die gleiche wie am kartesischen Punkt$(-1,-1,-1)$. Jedoch in sphärischen Koordinaten, die Richtung von$\hat r$ist an jeder dieser räumlichen Koordinaten unterschiedlich (und tatsächlich sind sie in diesem Beispiel antiparallel).

Wenn wir also einen allgemeinen Vektor mit räumlicher und zeitlicher Abhängigkeit haben, ist es in Kugelkoordinaten nicht wahr, dass seine Zeitableitung ist$\left(\frac{dr_1}{dt},\frac{dr_2}{dt},\frac{dr_3}{dt}\right)$, da diese eine konstante Richtung der Einheitsvektoren voraussetzt, die unserem Koordinatensystem zugrunde liegen.

Genauer gesagt ist ein Vektor auf einer beliebigen 3D-Basis gegeben durch$\sum_{i=1}^3r_i\hat {e_i}$, also die zeitliche Ableitung eines allgemeinen Vektors$^*$:

In kartesischen Koordinaten,$\frac{d\hat{e_i}}{dt}=0$, dies zeigt also die Äquivalenz Ihrer beiden Methoden in Ihrer Frage nach kartesischen Koordinaten. Aber$\frac{d\hat{e_i}}{dt}\neq0$in sphärischen Koordinaten, denn wie wir gesehen haben, ändern die Einheitsvektoren ihre Richtung, wenn wir uns im Raum bewegen.

$^*$Eine andere zu beachtende Sache ist, dass der Positionsvektor selbst nicht immer ist$\vec r=\sum_{i=1}^3r_i\hat {e_i}$wo alle$\hat{e_i}\neq 0$. Beispielsweise in Kugelkoordinaten$\vec r=r\hat r$, da der Ortsvektor immer vom Ursprung zum Ort des Teilchens zeigt. Also ist die Geschwindigkeit in sphärischen Koordinaten am Ende$\vec v=\dot r\hat r+r\dot{\hat r}$

Dies könnte das Problem sein, das Sie in den Kommentaren diskutieren. In kartesischen Koordinaten können wir das sagen, wenn wir am Punkt sind$(x,y,z)$dann ist unser Positionsvektor$x\hat x+y\hat y+z\hat z$Aber wenn wir so etwas wie sphärische Koordinaten verwenden, sind wir am Punkt$(r,\phi,\theta)$bedeutet, dass der Positionsvektor ist$r\hat r$, nicht$r\hat r+\phi\hat\phi+\theta\hat\theta$.

Allgemein ausgedrückt, bei räumlichen Koordinaten sein$(r_1,r_2,r_3)$bedeutet nicht, einen Positionsvektor zu haben$r_1\hat{r_1}+r_2\hat{r_2}+r_3\hat{r_3}$. Sie könnten sogar argumentieren, dass die Art und Weise, wie Sie die Vektoren angeben, nicht davon abhängt, wie Sie Ihre räumlichen Koordinaten angeben. Zum Beispiel könnte ich meine räumlichen Koordinaten in kartesischen Koordinaten ausdrücken, aber eine sphärische Basis verwenden:$\vec r=r(x,y,z)\hat r(x,y,z)$