Warum ist Geschwindigkeit ein Vektor?

Wenn wir mathematisch genau sein wollen, reicht es nicht aus, nur zu sagen: "Geschwindigkeit ist ein Vektor".

Die Definition der Geschwindigkeit ist die zeitliche Ableitung der Position . Mathematisch ausgedrückt heißt das – unabhängig davon, ob wir uns Position als Punkt vorstellen$\mathbb{R}^n$oder eine allgemeinere Mannigfaltigkeit, bei der die Position selbst kein Vektor ist - Geschwindigkeiten sind Tangentenvektoren an Kurven$x(t)$in unserem Positionsraum. Im Allgemeinen können Sie zwei Tangentenvektoren am selben Punkt hinzufügen, da es sich um Vektoren im selben Tangentenraum handelt, aber Sie können die "Geschwindigkeit von Auto A" nicht zur "Geschwindigkeit von Auto B" hinzufügen, es sei denn, die beiden Autos kollidieren gerade und daher diese zwei Vektoren leben am selben Punkt .

Das Addieren von zwei Geschwindigkeiten am selben Punkt ist nur eine Möglichkeit auszudrücken, dass es äquivalent ist zu sagen: „Dieses Ding bewegt sich um$\sqrt{2} \frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}$Nordwesten" und "Dieses Ding bewegt sich auf$1\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}$Norden und es bewegt sich an$1\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}$Westen" - das "und" dort entspricht der Addition.

Aus der linearen algebraischen Perspektive muss der resultierende Vektor keine physikalische Interpretation in Bezug auf die konstituierenden Vektoren haben, es muss nur ein Geschwindigkeitsvektor sein (dh etwas könnte möglicherweise eine solche Geschwindigkeit haben). Das Summieren von Geschwindigkeiten kann jedoch tatsächlich eine physikalische Bedeutung haben. Stellen Sie sich zum Beispiel eine Person vor, Bob, die auf dem Deck eines fahrenden Schiffes läuft. Bobs Geschwindigkeit in Bezug auf das Wasser wird sein$\vec{v}_\text{Bob-water}=\vec{v}_\text{Bob-ship}+\vec{v}_\text{ship-water}$.

Etwas komplizierter wird es in der Relativitätstheorie, wo sich Geschwindigkeiten nicht wie oben summieren. Um alles unterhalb der Lichtgeschwindigkeit zu halten, werden Geschwindigkeiten mit der relativistischen Geschwindigkeitsadditionsformel kombiniert . Wir haben also tatsächlich nicht notwendigerweise, dass die Summe der physikalischen Geschwindigkeiten eine andere physikalische Geschwindigkeit ist. Dies wird in ausgefeilteren Behandlungen der Relativitätstheorie verdeutlicht, wo anstelle der "3-Geschwindigkeit"$\vec{v}$wir betrachten "4-Geschwindigkeit", gegeben (in flacher Raumzeit) durch

$$V=\gamma(c,\vec{v}).$$ Dies beschreibt die Geschwindigkeit eines Objekts in der Raumzeit, indem es eine "Geschwindigkeit in der Zeit" als einschließt$0^\text{th}$Komponente. Das sind eigentlich alles Einheitsvektoren mit Minkowski-Norm$V^2=\eta_{\mu\nu}V^\mu V^\nu=c^2$und so ist es nicht verwunderlich$V\neq V_1+V_2$für jede Wahl von$V_1,V_2$. Der Raum, in dem sich die Geschwindigkeitsvektoren befinden, ist einfach der Raum von 4 Vektoren, die einen bestimmten Punkt in der Raumzeit tangieren (bekannt als Tangentenraum ) , der ein Vektorraum ist .

Aber was bedeutet es, Geschwindigkeiten zu addieren?

Es scheint, dass Sie damit zu kämpfen haben. Betrachten Sie ein kleines Beispiel, um intuitiv zu verstehen, was es bedeutet, Geschwindigkeitsvektoren hinzuzufügen.

Nehmen wir an, es gibt eine Kanone, die Kugeln mit 300 km/h in einem Winkel von 30 Grad zur Horizontalen abfeuert.
Und Sie setzen es auf ein Auto, das mit 100 km/h über einen horizontalen Boden fährt.

Um die resultierende Geschwindigkeit des Balls zu erhalten, wenn er abgefeuert wird, führen wir eine Vektoraddition durch, dh wir addieren den Geschwindigkeitsvektor der Kanonenkugel zum Geschwindigkeitsvektor des Autos.

Es gibt schon viele Antworten. Einige von ihnen erwähnen die Zusammensetzung von Geschwindigkeiten als Beispiel für die Vektorsumme von Geschwindigkeiten. Das ist irreführend. Wenn die Dinge so einfach wären, gäbe es keinen Platz für die relativistische Zusammensetzung von Geschwindigkeiten, die keine Vektorsumme ist. Um die richtige Entsprechung zwischen dem physikalischen Konzept der Geschwindigkeit und den Eigenschaften eines Vektorraums herzustellen, muss man sich sehr klar darüber sein, welche Objekte man als Elemente des Vektorraums betrachten möchte. Es ist sinnlos, über Geschwindigkeit zu sprechen, ohne die Geschwindigkeit von was zu spezifizieren .

Geschwindigkeit ist eine physikalische Eigenschaft eines physikalischen Systems . Genauer gesagt sagen wir, dass ein punktförmiges Objekt eine Geschwindigkeit hat$\bf v$zu einer Zeit$t$, Wenn${\bf v}= \frac{{\mathrm d}{\bf r}}{{\mathrm d }t}$, Wo${\bf r}(t)$ist die Bahn des Körpers als Funktion der Zeit.

Tatsächlich erlaubt uns eine solche Definition bereits zu sagen, dass Geschwindigkeiten Elemente eines Vektorraums sind, die die Struktur des Vektorraums von der der Positionen (oder Verschiebungen) erben.

Wir könnten jedoch die algebraische Struktur der möglichen Menge von Geschwindigkeiten unabhängig untersuchen. In einem solchen Fall müssen wir ein operatives Verfahren finden, um einem Körper eine Geschwindigkeit zuzuordnen und verschiedene Geschwindigkeiten desselben Körpers zu vergleichen. Der entscheidende Punkt ist, dass die Summe, die wir brauchen, die Summe zweier Geschwindigkeiten desselben Körpers sein muss . Dies schließt die Zusammensetzung von Geschwindigkeiten in verschiedenen Referenzrahmen aus. Wir brauchen die Eigenschaften der Geschwindigkeit in einem Frame, bevor wir nach Änderungen mit dem Referenzframe fragen.

Die Definition erlaubt es, beliebige Geschwindigkeiten eines Körpers auf die lineare Näherung der Verschiebungen d abzubilden${\bf r}= {\bf v}{\mathrm d}t$. Eine einfache Möglichkeit, einen physikalischen Mechanismus bereitzustellen, um eine Geschwindigkeit zu summieren${\bf v}'$zu einer Geschwindigkeit${\bf v}$ist durch eine impulsive Kraft, wie im Falle eines elastischen Stoßes mit einem anderen Körper: wenn wir wissen, dass eine impulsive Kraft$\bf F_1$an einem ruhenden Körper wird eine Geschwindigkeit erzeugt$\bf v_1$und eine andere impulsive Kraft$\bf F_2$wird Geschwindigkeit erzeugen$\bf v_2$, können wir die Summe definieren$\bf v_1+v_2$als die Geschwindigkeit, die sich aus der gleichzeitigen Anwesenheit der ergibt$\bf F_1$Und$\bf F_2$.

Ausgehend von dieser Definition der Summe der Geschwindigkeiten bleibt uns die Aufgabe, experimentell nachzuweisen, dass sie die entsprechenden Anforderungen an einen Vektorraum (Existenz des neutralen Elements, Existenz des Inversen und der anderen Axiome eines Vektors) erfüllt Raum.

Wenn Sie zwei beliebige Vektoren aus demselben Vektorraum addieren, erhalten Sie im Allgemeinen einen Vektor, der ebenfalls Mitglied dieses Vektorraums ist.

Dasselbe gilt für Geschwindigkeitsvektoren. Geschwindigkeitsvektoren bilden auch Vektoren in einem Tangentenvektorraum, der Menge aller dreidimensionalen räumlichen Vektoren (oder wie viele Dimensionen auch immer$n$in dem Sie arbeiten) tangential zu Positionskurven in${\mathbb R}^n$.

Wenn Sie also zwei Geschwindigkeitsvektoren aus diesem Raum nehmen und addieren, ist das Ergebnis immer noch ein Vektor im selben Vektorraum, ganz analog zu Ihrem obigen Beispiel aus der linearen Algebra$^1$.

Für jeden Vektorraum$\mathbb V$, kann man sich die Vektoraddition als Karte vorstellen$+ : \mathbb V \times \mathbb V\rightarrow \mathbb V$, die zwei Vektoren abbildet${\bf u, v} ∈ \mathbb V$zu ihrer Summe${\bf {u + v}} \in \mathbb V$

Für Ihr Beispiel, die Geschwindigkeit eines Autos zu der eines anderen Autos zu addieren, ist es zwar mathematisch sinnvoll, aber physikalisch nicht wirklich sinnvoll, da die Geschwindigkeit eines Autos unabhängig von der des anderen Autos ist.

Bedenkt man aber, dass zB zwei Kräfte auf das eine Auto wirken, so dass man das Auto mit Geschwindigkeit anschiebt$\bf v$und der andere mit Geschwindigkeit$\bf u$, dann hat das Auto eine resultierende Geschwindigkeit$\bf u+v$, wo die Vektoren$\bf u$,$\bf v$Und$\bf u+v$sind alle Mitglieder desselben Vektorraums.

$^1$Beachten Sie, dass die Geschwindigkeitsvektoraddition in der Relativitätstheorie nicht so einfach ist, da die einfache lineare Addition nicht mehr gilt und die Zeit gleichberechtigt mit dem Raum behandelt wird. Punkte im Raum (Raumzeit) werden durch Positions-Vier-Vektoren definiert. In diesem Fall gehören Geschwindigkeitsvektoren zum Raum der tangentialen Vierervektoren, die Punkte auf Kurven in der Raumzeit berühren .

Interessante Frage . Ich werde die Frage umformulieren als "Gibt es Geschwindigkeitsalgebra?" Kann ich Geschwindigkeitsvektoren physikalisch sinnvoll addieren? Es gibt offensichtlich eine Kraftalgebra, da ich Kraftvektoren hinzufügen kann, also warum nicht Geschwindigkeitsvektoren.

Schnelle Antwort . Die Antwort ist nein, weil Geschwindigkeitsvektoren allein nicht ausreichen, um die Bewegung eines starren Körpers zu beschreiben. Die Bewegung des Körpers wird durch eine Rotationsachse, die Rotationsgeschwindigkeit und jede parallele Geschwindigkeit entlang der Rotationsachse beschrieben (Theorem von Chasle). Um Bewegungen hinzuzufügen, müssen Sie die Geschwindigkeit an einem gemeinsamen Punkt im Raum auflösen.

Eine verwandte Einschränkung tritt bei Kraftvektoren auf, da Sie sie nur hinzufügen können, wenn ihre Schwänze am selben Punkt sind (unter Verwendung der Parallelogrammregel).

Die Ausnahme von der obigen Regel ist, wenn es nur eine reine Übersetzung gibt, wie z. B. eine Person, die in einem Schnellzug geht.

Sie können jedoch Geschwindigkeiten hinzufügen, wenn Sie einen Vektor betrachten, der sowohl den linearen als auch den Winkelanteil der Geschwindigkeit enthält. Ein solcher Vektor hat in 3D 6 Komponenten und wird als Twist bezeichnet . Auf einer Ebene hat ein solcher Vektor 3 Komponenten.

Ich möchte Ihnen beweisen, dass Sie Algebra mit Drehungen ausführen können, tatsächlich wird so die meiste Kinematik von Robotermechanismen modelliert.

Die Bewegung des Endeffektors ist einfach die Summe aller relativen Drehungen an jedem Gelenk

$$\boxed{ \boldsymbol{t}_{\rm end} = \sum_i^n \boldsymbol{t}_i }$$

Das Obige ist eine Addition von Geschwindigkeit (Drehungen).

Ein vereinfachtes detailliertes Beispiel

Die Betrachtung nur planarer Bewegungen vereinfacht die Dinge und ermöglicht es uns, jede Rotationsachse als Punkt auf der Ebene zu visualisieren.

Hier sind zwei identische Körper Nr. 1 und Nr. 2 gepinnt, jeder mit einer relativen Rotationsgeschwindigkeit von$\dot \theta_1$Und$\dot \theta_2$. Der Wurzelstift befindet sich bei Punkt A , der relative Stift bei B und der interessierende Endpunkt bei C.

Die Geschwindigkeit jedes Teilchens auf einem Körper, wenn Sie sich vom Drehpunkt entfernen, variiert linear bis zu Punkt B und dann wieder linear mit einer anderen Geschwindigkeit bis zu Punkt C. Dies sind die gestrichelten blauen Linien, die Sie oben sehen, und die vertikalen Pfeile sind die Geschwindigkeitsvektoren bei B bzw. C.

Offensichtlich können Sie die Geschwindigkeiten nicht einfach zum Zustand hinzufügen$v_C = v_A + v_B$, aber Sie können die Rotationsgeschwindigkeiten hinzufügen.

Hier sind die Rotationsgeschwindigkeit der Körper

$$\begin{aligned} \omega_1 & = \dot \theta_1 & & \text{link #1} \\ \omega_2 & = \omega_1 + \dot \theta_2 & & \text{link #2} \\ \end{aligned}$$

Lassen Sie uns den Out-of-Plane-Vektor $\hat{z} zuweisen und das Obige in Vektorform bringen

$$\begin{aligned} \vec{\omega}_1 & = \hat{z} \dot \theta_1 & & \text{link #1} \\ \vec{\omega}_2 & = \vec{\omega}_1 + \hat{z} \dot \theta_2 & & \text{link #2} \\ \end{aligned}$$

Und das ist die Winkelgeschwindigkeitsvektoraddition. Aber was ist mit linearen Geschwindigkeiten? Hier ist, was Sie tun:

Wie groß ist die lineare Geschwindigkeit von #1 bei B ?

$$\vec{v}_B = \vec{\omega}_1 \times \vec{ \ell}$$

Und wie groß ist die relative Lineargeschwindigkeit von #2 bei B ? Nun, es ist null , da die beiden Körper am Gelenk viel Geschwindigkeit haben. Die Geschwindigkeit von #2 bei B ist es also auch$\vec{v}_B$was die Geschwindigkeit am Ende zu sein macht

$$\vec{v}_C = \vec{v}_B + \vec{\omega}_2 \times \vec{\ell}$$

Oder Sie können die Geschwindigkeit bei C direkt finden, indem Sie die Vektoraddition für Geschwindigkeiten verwenden . In Betracht ziehen$\vec{v}_C$ als Addition zweier Vektoren an einem gemeinsamen Ort, dem Punkt C .

Der erste Geschwindigkeitsvektor ist der von Körper Nr. 1, wenn er sich bis zu Punkt C erstreckt

$$\vec{v}_{C1} = \vec{\omega}_1 \times 2 \vec{\ell}$$

Der zweite Geschwindigkeitsvektor ist der der relativen Gelenkgeschwindigkeit, der ebenfalls bis zum Punkt C verlängert wird

$$\vec{v}_{C2} = \hat{z} \dot{\theta}_1 \times \vec{\ell}$$

und jetzt können wir Geschwindigkeitsvektoren hinzufügen

$$\boxed{ \vec{v}_C = \vec{v}_{C1} + \vec{v}_{C2} }$$

Das Obige wird so interpretiert, dass die Geschwindigkeit von Körper Nr. 2 an jedem Punkt gleich der Geschwindigkeit von Körper Nr. 1 an demselben Punkt plus der relativen Geschwindigkeit zwischen den beiden Körpern ebenfalls an demselben Punkt ist .

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• Zugehöriger Wiki-Artikel Theorem über das relative Rotationszentrum .

Wenn zwei planare starre Körper in Kontakt sind und jeder Körper sein eigenes Rotationszentrum hat, dann muss das relative Rotationszentrum zwischen den Körpern irgendwo auf der Linie liegen, die die beiden Zentren verbindet.

Es ist bekannt, dass die lineare Kombination zweier Punkte ein Punkt irgendwo auf der Linie ist, die die Punkte verbindet. Die obige Regel ist genau das, da jede Drehung ein Punkt im Raum für ihr Rotationszentrum ist und die Addition von zwei Drehungen eine Linearkombination ist$\boldsymbol{t}_{\rm rel} = \boldsymbol{t}_B - \boldsymbol{t}_A$

Intuitiv können Sie es so sehen. Stellen Sie sich vor, Sie fahren ein Auto und befinden sich auf einer kurvigen Straße. Offensichtlich müssen Sie beim Durchqueren der Straße die Richtung ändern und mit einer bestimmten Geschwindigkeit reisen. An dieser Richtungsänderung ist leicht zu erkennen, dass eine einzelne Zahl nicht ausreicht, um die Bewegung Ihres Autos zu beschreiben.

Die Geschwindigkeit ist ein Zeiger, der Ihnen sagt, wohin das Teilchen geht und mit welcher Geschwindigkeit es dorthin geht. Dies wird ausgedrückt als

$$\vec{v}=\frac{\mathrm{d} \vec{r}}{\mathrm{d} t},$$ Wo$\vec{r}$ist der Positionsvektor des Teilchens. Während das Addieren der Geschwindigkeiten zweier unabhängiger Autos oft keine physikalische Bedeutung hat, beschreibt es nicht die Bewegung von irgendetwas, aber wenn man die Autos aus irgendeinem Grund als ein einziges System betrachten muss, kann angenommen werden, dass sie die gleiche Masse haben Schwerpunkt des Systems ist $$\vec{R}_{\mathrm{cm}}=\frac{\vec{r}_{\mathrm{car,A}} + \vec{r}_{\mathrm{car,B}}}{2},$$ Die Geschwindigkeit des Massenschwerpunkts kann gefunden werden, um diese Beziehung zu differenzieren, $$\vec{V}_{\mathrm{cm}}=\frac{\vec{v}_{\mathrm{car,A}} + \vec{v}_{\mathrm{car,B}}}{2}.$$ Ich hoffe, dies könnte dem OP einen Einblick geben, was das Hinzufügen von Geschwindigkeiten bedeutet.

Die bessere Art, sich Vektoren vorzustellen, ist, wie Sie betonen, dass sie Elemente eines Vektorraums sind. In diesem Fall ist es der Vektorraum, in dem die Geschwindigkeit "lebt".$\mathbb{R}^3$, "mal" eine geeignete Einheit mit den üblichen Additions- und Skalierungsoperationen.

Vektoren werden nicht durch die Eigenschaften "mit Größe und Richtung" definiert , im Gegensatz zu dem, was Sie schreiben: Vielmehr sind Vektoren ein nützliches mathematisches Konstrukt, mit dem wir Informationen über Größe und Richtung gleichzeitig in einem einzigen Paket codieren können, das wir dann nützlich manipulieren können und intuitive Wege.

Insbesondere jeder Vektor in$\mathbb{R}^3$kann als Pfeil vom Ursprung zu einem Punkt dargestellt werden. Dieser Ursprung ist nicht der Ursprung des Raums, sondern ein Ursprung, den Sie überall dort platzieren können, wo Sie den Vektor "verwenden" müssen, und der Pfeil ist dann als in die codierte Richtung zeigend zu verstehen, während die Länge die codierte Größe ist. Im mathematischen Formalismus ist ein Vektor im Vektorraum durch ein Tripel reeller Zahlen gegeben:

$$\mathbf{v} := \langle v_x, v_y, v_z \rangle$$

und wir definieren seine Größe als

$$||\mathbf{v}|| := \sqrt{v_x^2 + v_y^2 + v_z^2}$$

und seine "Richtung" durch die Kugelwinkel

$$(v_\theta, v_\phi) := \left(\cos^{-1}\left(\frac{\sqrt{v_x^2 + v_y^2}}{v_z}\right), \tan^{-1}\left(\frac{v_y}{v_x}\right)\right)$$

Das heißt, wir spezifizieren "Decodierungsalgorithmen", mit denen wir die relevanten Informationen aus dem codierten Tupel extrahieren können, die auf Geometrie basieren: Wenn man die Tupelelemente als Koordinaten versteht, folgen diese aus dem Satz des Pythagoras und der Trigonometrie.

Um nun zu verstehen, warum die Geschwindigkeit ein Vektor ist , müssen wir zur Definition gehen. Die Definition ist die Ableitung der Position:

$$\mathbf{v}(t) := \left[\frac{dX}{dt}\right](t)$$

Aber hier ist der Trick: Position,$X(t)$, ist kein Vektor. Vielmehr ist es ein Punkt . Punkte werden auch durch Tripel dargestellt$\mathbb{R}^3$, aber die Semantik ist unterschiedlich: Wenn Sie möchten, sind Punkte und Vektoren unterschiedliche "Datentypen" (etwas, das wir mit getippter Sprache präzisieren können , um unsere Mathematik darin aufzubauen). Insbesondere repräsentiert ein Punkt einen Ort im tatsächlichen Raum. Die Strukturpunkte bilden, zumindest in der euklidischen Geometrie, in der sich die elementare Mechanik abspielt, einen sogenannten affinen Raum . Wir können keine Punkte addieren, aber wir können sie subtrahieren: und die Subtraktion von zwei Punkten$X_1$Und$X_2$ergibt einen Vektor. Das ist,$X_2 - X_1$hat "Datentyp"$\mathrm{Vector}$, kein Datentyp$\mathrm{Point}$. Semantisch kodiert dieser Vektor die Entfernung, die Sie zurücklegen müssen, um zu gehen$X_1$Zu$X_2$wenn Sie sich in einer geraden Linie bewegen, und die Richtung, in die Sie schauen müssen, um diese Bewegung auszuführen.

Und die Geschwindigkeit als zeitliche Ableitung der Position ist durch einen Differenzenquotienten definiert ...

$$\left[\frac{dX}{dt}\right](t) = \lim_{\Delta t \rightarrow 0} \frac{X(t + \Delta t) - X(t)}{\Delta t}$$

... und Sie können im Zähler sehen, wir haben

$$X(t + \Delta t) - X(t)$$

... ein Positions- bzw. Punkteunterschied! Und was ist das für ein Objekt? Was ist also Geschwindigkeit?

In der Relativitätstheorie bilden Geschwindigkeitsvektoren keinen Vektorunterraum. Ich nuanciere dies und erkläre im Folgenden, was ich meine.

Betrachten Sie die Minkowski-Raumzeit mit den üblichen Koordinaten$(t,x,y,z)$, und ein "stationärer" Beobachter$n^\mu = (1,0,0,0)$. Eine im Bezugssystem dieses Beobachters gemessene Geschwindigkeit ist ein Vektor$\mathbf v$was orthogonal zu ist$\mathbf n$, Bedeutung$n_\mu v^\mu = 0$. (Daher ist es räumlich oder der Nullvektor.) Für Objekte, die sich langsamer als Licht bewegen, haben wir$v_\mu v^\mu < 1$(unter Verwendung$c = 1$), und ich nehme dies als Definition von "Geschwindigkeit" für die Zwecke dieser Antwort. Diese$\mathbf v$sind Vektoren im Sinne von Elementen des Minkowski-Raums, der ein 4-dimensionaler Vektorraum (plus zusätzliche Struktur) ist, bilden jedoch keinen Vektorunterraum davon.

Betrachten Sie die Relativgeschwindigkeit$(0,2/3,0,0)$, die eine Bewegung mit 2/3 der Lichtgeschwindigkeit in der beschreibt$x$-Richtung. Das Summieren dieses Vektors mit sich selbst oder das Multiplizieren beispielsweise mit der Zahl 10 ergibt Vektoren, die nicht in unserem Satz von Geschwindigkeiten liegen.

Es gibt jedoch andere natürliche Strukturen, die Sie auf "The 3-Velocity Space" definieren können, wie Tsamparlis es nennt (2019,$\S6.5$,$\S15.4.3$). Er definiert darauf eine bestimmte Riemannsche Metrik, für die es zu einer dreidimensionalen Mannigfaltigkeit konstanter negativer Krümmung wird. Ich denke, Sie könnten wahrscheinlich eine Gruppenstruktur definieren, die einer relativistischen Zusammensetzung von Geschwindigkeiten entspricht - was nicht die vom Minkowski-Raum geerbte Vektoraddition ist. Damit wäre es eine Lie-Gruppe, also kein Vektorraum, aber dennoch ein nettes Objekt. Dies ist wahrscheinlich bereits geschehen. Tsamparlis sagt, dass bestimmte Ergebnisse „seit langer Zeit vorliegen“.

Wenn Auto A eine Geschwindigkeit v⃗ hat, können wir diese Geschwindigkeit zur Geschwindigkeit von Auto B addieren und einen anderen Vektor erhalten? Liegt die Geschwindigkeit des Autos B im selben Vektorraum? Welche physikalische Bedeutung hat eine solche Addition von Vektoren?

Das Addieren dieser Vektoren kann mathematisch definiert werden, wenn und nur wenn Sie festlegen, dass sie tatsächlich zu demselben Vektorraum gehören. Was sie in Wirklichkeit nicht tun.

Das Auto A hat eine Geschwindigkeit mit einem eigenen Vektorraum. Das Auto B hat eine Geschwindigkeit mit eigenem Vektorraum.$A+B$ist daher ungültig.

Wenn Sie jedoch die Geschwindigkeit A messen und die Position des Autos B als Bezugspunkt verwenden, erhalten Sie einen weiteren Vektorraum, dessen Mitglieder die Relativgeschwindigkeit der beiden Autos sind.

Nur weil die Vektorräume mathematisch identisch sind, heißt das nicht, dass sie gleich sind.