Wie findet man die Tangential-/Radial-/Winkelgeschwindigkeit für die Bewegung in einer beliebigen Kurve? [geschlossen]

Der Geschwindigkeitsvektor eines Teilchens, das einem vorgeschriebenen Weg folgt, ist parametrisiert als

$$\vec{v} = \vec{e} \,v$$

Wo$\vec{e}$ist der Tangentenvektor und$v$ist die Geschwindigkeit in diesem Moment. Das ist irgendwie offensichtlich. Aber Sie verwenden das Obige, um den Tangentenvektor zu finden, wenn Sie diesen Radialvektor kennen$\vec{r}$. Verwenden$\vec{v} = \frac{{\rm d}}{{\rm d}t} \vec{r} = \vec{e} v$. Also zum Beispiel wenn die Position eine Funktion eines Winkels ist$\theta$(wie bei Polarkoordinaten) haben Sie

$$\frac{\partial \vec{r}}{\partial \theta} \dot{\theta} = \vec{e}\,v$$

oder

$$v = \dot{\theta} \| \frac{\partial \vec{r}}{\partial \theta} \|$$

Und

$$\vec{e} = \frac{ \frac{\partial \vec{r}}{\partial \theta} }{ \| \frac{\partial \vec{r}}{\partial \theta} \| }$$

Jetzt ist hier der lustige Teil. Die Beschleunigung wird parametriert als

$$\vec{a} = \vec{e}\,\dot{v} + \vec{n}\, \frac{v^2}{\rho}$$

Wo$\vec{n}$ist eine normale Richtung zum Pfad und$\rho$der Krümmungsradius des Pfades. Der Teil der Beschleunigung entlang$\vec{n}$geht in Richtung wechseln der Bewegungsrichtung und das Teil entlang$\vec{e}$ändert die Geschwindigkeit.

Ein planares Teilchen, das sich mit Geschwindigkeit bewegt$(\dot{x},\dot{y})$hätte Krümmungsradius gleich

$$\frac{1}{\rho} = \frac{\dot{y} \ddot{x} - \ddot{y} \dot{x}}{\left( \dot{x}^2+\dot{y}^2\right)^\frac{3}{2}}$$

Dies bedeutet, dass in einem Koordinatensystem, in dem sich das Teilchen in Richtung der +x-Achse befindet, der Geschwindigkeitsvektor ist

$$\vec{v} = \begin{pmatrix} \dot{r} & r \dot{\theta} \end{pmatrix}$$

$$v = \sqrt{\dot{r}^2 + r^2 \dot{\theta}^2}$$

und der Beschleunigungsvektor

$$\vec{a} = \begin{pmatrix} \frac{\dot{r}}{v} & \frac{r \dot{\theta}}{v}\end{pmatrix} \frac{r^2\dot{\theta}\ddot{\theta}+r \dot{r}\dot{\theta}^2+\dot{r} \ddot{r}}{v} + \begin{pmatrix}\frac{r \dot{\theta}}{v} & -\frac{\dot{r}}{v}\end{pmatrix} \frac{r^2\dot{\theta}^3+r(\dot{r}\ddot{\theta}-\ddot{r}\dot{\theta})+2\dot{r}^2\dot{\theta}}{v}$$

$$\dot{v} = \frac{r^2\dot{\theta}\ddot{\theta}+r \dot{r}\dot{\theta}^2+\dot{r} \ddot{r}}{v}$$ $$\frac{v^2}{\rho} = \frac{r^2\dot{\theta}^3+r(\dot{r}\ddot{\theta}-\ddot{r}\dot{\theta})+2\dot{r}^2\dot{\theta}}{v}$$

Also die Radialbeschleunigung$\ddot{r}$enter ist beides (Geschwindigkeitsänderung und Richtungsänderung), wie Sie oben sehen können.

Dann vergiss die Vektoren. Sieh es einfach auf die intuitive physische Weise.

• Wenn Sie den Speeder zum Beschleunigen drücken, beschleunigen Sie vorwärts. Und die Geschwindigkeit steigt.
• Wenn Sie bremsen, dann bremsen Sie ab und reduzieren die Geschwindigkeit. Das ist wieder Beschleunigung, aber negativ. Oder wir könnten rückwärts sagen.

Was ist, wenn Sie einen Raketenmotor am Auto montiert haben, der zur Seite zeigt? Damit anzufangen hilft man dem Auto auf der Straße nicht weiter. Es beschleunigt das Auto nicht oder bremst es auf der Straße.

Vielmehr schiebt es das Auto zur Seite . Seitlich beschleunigen. Das bedeutet, dass Sie jetzt auch eine Seitwärtsgeschwindigkeit erhalten. Die Gesamtgeschwindigkeit ist also plötzlich sowohl die Vorwärts- als auch die Seitwärtsgeschwindigkeit; sie zu kombinieren ist wie sie als Vektoren hinzuzufügen. Das Ergebnis ist eine Geschwindigkeit unter einem Winkel !

Und nun, wer von ihnen war derjenige, der das Auto gedreht hat? Da die Geschwindigkeit jetzt leicht in eine andere Richtung geht, muss sie etwas gedreht haben. Und die Vorwärts- oder Rückwärtsbeschleunigung hat es nicht gedreht – es hat es nur beschleunigt oder verlangsamt, wie wir zu Beginn besprochen haben. Die Drehung erfolgt also nur aufgrund der aufgetretenen Seitwärtskomponente. Was aus der vorhandenen Querbeschleunigung hervorging.

Die allgemeine Schlussfolgerung ist nun, dass Vorwärts- oder Rückwärtsbeschleunigung (nennen wir es tangential , da es in die gleiche Richtung wie die Geschwindigkeit geht) die Geschwindigkeit ändert, während seitliche Beschleunigung (nennen wir es radial , weil warum nicht) eine Drehung verursacht.

(Es hört sich so an, als ob sich Ihre Benennung hier von meiner unterscheidet - radial ist normalerweise der Name für die senkrechte Komponente, da sie auf den Radius dieses imaginären Kreises zeigt, um den Sie sich bewegen würden, wenn Sie sich weiter drehen würden. Und tangential liegt daran, dass er tangential dazu ist dasselbe imaginärer Kreis.)

Wenn es eine winklige Beschleunigung gab, dann könnten Sie diese in Komponenten aufteilen, um zu zeigen, dass sie eigentlich nur aus einem bisschen tangential und einem bisschen radial besteht. Es beschleunigt (oder bremst) und dreht sich gleichzeitig.

Betrachten Sie eine beliebige Trajektorie$\vec{r}(t) = r \hat{r}$gemessen vom Ursprung, in Polarkoordinaten ( https://en.wikipedia.org/wiki/Polar_coordinate_system ).

Die Geschwindigkeit ist dann:$\vec{v} = \frac{d}{dt}\vec{r} = \frac{dr}{dt}\hat{r} + r \frac{d\theta}{dt}\hat{\theta}$. Bezogen auf den Ursprung ist also der radiale Anteil der Geschwindigkeit gerade$\frac{dr}{dt}$das ist die Änderung der Entfernung des Objekts vom Ursprung; der tangentiale Teil ist$r \frac{d\theta}{dt}$das ist nur die Änderung der Richtung des Objekts, mit der$r$Bestimmen der Bogenlänge, die von dem Objekt überstrichen wird, wenn es seine Richtung ändert.

Sie würden ziemlich genau sagen: "Die Radialgeschwindigkeit ist nur für die Änderung des Abstands zwischen Objekten verantwortlich, und die Komponente senkrecht dazu nur für die Richtungsänderung."

Warum?

Betrachten Sie jeden Fall einzeln:

1) Ein Objekt hat nur "Radialgeschwindigkeit", das heißt, es zeigt direkt vom Beobachter weg (oder auf ihn zu):$\mathbf v = v_0 \hat {\mathbf r}$.

Nun, es bewegt sich direkt auf Sie zu oder von Ihnen weg, so „direkt“ wie möglich.

2) Ein Objekt hat nur eine "Winkelgeschwindigkeit", die wir als in annehmen$\hat \theta$Richtung (stellen Sie sich eine 2D-Welt vor), so$\mathbf v = v_0 \hat {\mathbf \theta}$.

Dies ist der Fall bei etwas, dessen Radius von Ihnen sich nie ändert, da es sich immer in die 'Theta'-Richtung vom Beobachter bewegt. Dies ist eine kreisförmige Bewegung. Beachten Sie, dass sich dies mit der Position ändert! (und ist aus diesem Grund anders als kartesische Koordinaten, die zeit-/orientierungsunabhängig sind).