Gibt es einen Unterschied zwischen der Momentangeschwindigkeit und der Größe der Momentangeschwindigkeit?

Stellen Sie sich ein Teilchen vor, das sich um das Koordinatengitter bewegt. Nach$t$Sekunden hat es die Position

$$S(t)=(\cos t, \sin t) \quad 0 \leq t \leq \pi/2 \, .$$ Das Teilchen zeichnet einen Viertelbogen der Länge nach$\pi/2$um den Einheitskreis. Dies bedeutet, dass die mittlere Geschwindigkeit des Teilchens ist $$\frac{\text{distance travelled along the arc of the circle}}{\text{time}}=\frac{\pi/2}{\pi/2} = 1 \, .$$ Da die Bewegung des Teilchens jedoch kreisförmig ist, ist die zurückgelegte Strecke nicht gleich der Verschiebung. Die Verschiebung des Teilchens wäre$\sqrt{2}$, und so wäre die Durchschnittsgeschwindigkeit $$\frac{\text{straight line distance from initial position}}{\text{time}} = \frac{\sqrt{2}}{\pi/2} = \frac{2\sqrt{2}}{\pi} \text{ at angle of $\frac{3}{4}\pi$ with the positive $x$-axis} \, .$$ Hier ist der Teil, den ich nicht ganz verstehe: Über ein Intervall hinweg unterscheidet sich die Durchschnittsgeschwindigkeit des Teilchens von der Größe seiner Geschwindigkeit. Im obigen Beispiel ist ersteres der Fall$1$, wohingegen letzteres ist$\frac{2\sqrt{2}}{\pi}$. Die Größe der Momentangeschwindigkeit des Teilchens ist jedoch dieselbe wie die Momentangeschwindigkeit: Hier sind beide gleich$1$. Wir können dies mathematisch beweisen, indem wir die folgende Grenze betrachten $$|S'(t)| = \lim_{h \to 0}\frac{|S(t+h)-S(t)|}{|h|}=\lim_{h \to 0}\frac{\sqrt{\left(\sin(t+h)-\sin t \right)^2+\left( \cos(t+h)-\cos t\right)^2}}{|h|} \, ,$$ was sich als gleich herausstellt$1$. Daher ist die Größe der Momentangeschwindigkeit$1$. Und klar ist die Momentangeschwindigkeit des Teilchens $$\lim_{h \to 0}\frac{h}{h} = 1 \, ,$$ da die zurückgelegte Strecke entlang des Bogens zwischen$S(t+h)$Und$S(t)$ist einfach$h$Einheiten. Aber wird das immer so sein? Ist die Größe der Momentangeschwindigkeit eines Teilchens immer gleich seiner Momentangeschwindigkeit?