Ist eine komplexe Zahlenbehandlung von 2D-Vektoren gültig?

Question

Ist eine komplexe Zahlenbehandlung von 2D-Vektoren gültig?

Archimedes Prinzip

Kann ich beispielsweise einen 2D-Positionsvektor als komplexe Zahl anstelle eines Vektors behandeln, während ich versuche, die Formel für die Zentripetalbeschleunigung in einer gleichmäßigen Kreisbewegung abzuleiten.

R = R e^{ich θ} \dot{R} = R ich e^{ich θ} \dot{θ} \ddot{R} = - R e^{ich θ} {\dot{θ}}^{2}

$\mathbf{r}=re^{i\theta}\\ \mathbf{\dot{r}}=rie^{i\theta}\dot{\theta}\\ \mathbf{\ddot{r}}=-re^{i\theta}\dot{\theta}^2$

Das ist eine Beschleunigung, die antiparallel zur Richtung des Ortsvektors (also zur Mitte hin) gerichtet ist und vom Betrag $r\dot{\theta}^2$

Ich habe dies getan, weil es einfacher zu unterscheiden ist $e^{kx}$ anstatt die Vorzeichen von Sinus und Cosinus zu verfolgen.

Javier

Ja, solange Sie in zwei Dimensionen bleiben, ist dies vollkommen gültig. In komplizierteren Fällen ist es jedoch möglicherweise nicht so einfach, tangentiale und normale Komponenten zu trennen.

Michael Seifert

Kommentar Nr. 1: Ihre obigen Gleichungen gehen davon aus

r

$r$ ist eine Konstante. Das ist in Ordnung, sollte aber ausdrücklich angegeben werden und trifft unter Umständen nicht zu.

Michael Seifert

Kommentar Nr. 2: Diese Art von Trick wird ständig in der Physik verwendet. Besonders schön wird es bei 2D-Problemen, bei denen Magnetfelder oder Coriolis-Kräfte wichtig sind und man Kreuzprodukte nehmen muss. Es funktioniert, dass das Kreuzprodukt eines beliebigen Vektors in der

x y

$xy$ -Ebene mit einem Vektor in der

z

$z$ -Richtung ist gleichbedeutend mit der einfachen Multiplikation der entsprechenden komplexen Zahl mit

i

$i$ .

Archimedes Prinzip

ich nahm an

r

$r$ als Konstante, weil ich dies für Uniform Circular Motion abgeleitet habe.

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Ist eine komplexe Zahlenbehandlung von 2D-Vektoren gültig?

Ja, solange Sie in zwei Dimensionen bleiben, ist dies vollkommen gültig. In komplizierteren Fällen ist es jedoch möglicherweise nicht so einfach, tangentiale und normale Komponenten zu trennen.
Kommentar Nr. 1: Ihre obigen Gleichungen gehen davon aus $r$ ist eine Konstante. Das ist in Ordnung, sollte aber ausdrücklich angegeben werden und trifft unter Umständen nicht zu.
Kommentar Nr. 2: Diese Art von Trick wird ständig in der Physik verwendet. Besonders schön wird es bei 2D-Problemen, bei denen Magnetfelder oder Coriolis-Kräfte wichtig sind und man Kreuzprodukte nehmen muss. Es funktioniert, dass das Kreuzprodukt eines beliebigen Vektors in der $xy$ -Ebene mit einem Vektor in der $z$ -Richtung ist gleichbedeutend mit der einfachen Multiplikation der entsprechenden komplexen Zahl mit $i$ .
ich nahm an $r$ als Konstante, weil ich dies für Uniform Circular Motion abgeleitet habe.

Ruslan · Answer 1

Die Differenzierung beinhaltet keine imaginäre Einheit:

{\frac{D F}{D X} |}_{X_{0}} ≜ lim_{X \to X_{0}} \frac{F (X_{0}) - F (X)}{X_{0} - X} .

$\left.\frac{df}{dx}\right|_{x_0}\triangleq\lim_{x\to x_0}\frac{f(x_0)-f(x)}{x_0-x}.$

Darüber hinaus ist es auch linear, dh

\frac{D (A F (X) + B G (X))}{D X} = A \frac{D F (X)}{D X} + B \frac{D G (X)}{D X} .

$\frac{d(af(x)+bg(x))}{dx}=a\frac{df(x)}{dx}+b\frac{dg(x)}{dx}.$

Das bedeutet, dass Real- und Imaginärteil der Funktion unabhängig differenziert werden. Also, wenn Ihre Bewegung in $x$ Und $y$ Koordinaten wird durch eine Funktion wie dargestellt $r=x+iy$ , dann wird die Ableitung dieser Funktion sein $\dot r=\dot x+i\dot y$ , das ist genau das, was Sie wollen.

Also ja, eine solche Behandlung ist gültig.

StephenG - Helfen Sie der Ukraine · Answer 2

Ich denke, das ist ein schrecklicher Ansatz (und wie ich unten erkläre, die falsche Lösung für Ihr eigentliches Problem).

In Ihrer Definition ist das Problem Folgendes:

R \cdot R \neq R^{2}

$\mathbf r \cdot \mathbf r \neq r^2$

Um eine gültige Darstellung zu sein, sollte es gleich sein.

Sie brauchen daher besondere Sorgfalt beim Umgang mit Ihrer Vertretung.

Ich habe dies getan, weil es einfacher zu unterscheiden ist $e^{kx}$ anstatt die Vorzeichen von Sinus und Cosinus zu verfolgen.

Ehrlich gesagt ist dies ein sehr schlechter Grund. Sie müssen die (nicht sehr schwierige) Fähigkeit entwickeln, sich mit den trigonometrischen Funktionen vertraut zu machen und sie zu manipulieren, anstatt sie zu vermeiden.

Zeichen sind einfach zu wichtig (besonders in der Physik), um Ihre Zeit damit zu verbringen, sie zu vermeiden.

Ich würde nicht zustimmen, dass dies ein schrecklicher Ansatz ist. Es vereinfacht einige Berechnungen wirklich. Tatsächlich verwendet sogar Landau in seinen Büchern dies an einigen Stellen (z. B. Bewegung einer Ladung in einem konstanten Magnetfeld – $\S21$ in The Classical Theory of Fields ), und ich würde nicht annehmen, dass er mit trigonometrischen Funktionen nicht vertraut war.
@StephenG Ich habe keine Punktprodukte genommen. Ich habe differenziert. Ich behandelte $r$ als Konstante, weil dies für eine kreisförmige Bewegung war.
@StephenG Außerdem habe ich dasselbe zum Variieren versucht $r$ Und $\theta$

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Javier

Michael Seifert

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Ruslan

StephenG - Helfen Sie der Ukraine

Ruslan

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