Funktioniert die Newtonsche Mechanik in Polarkoordinaten?

Dein Lehrer ist falsch.$\vec F = m \vec a$gilt in jedem inertialen (nicht beschleunigenden) Koordinatensystem. Sie müssen die Tatsache berücksichtigen, dass die Einheitsvektoren für die Position in einigen Koordinatensystemen (z. B. polar) keine konstante Richtung haben und sich mit der Zeit ändern. Siehe einen guten Physik-Mechanik-Text, wie Symom Mechanics, für die richtige Beschleunigung$\vec a$in solchen Koordinatensystemen, wo die zeitlichen Ableitungen der Einheitspositionsvektoren korrekt berücksichtigt werden.

Tatsächlich kann die Newtonsche Mechanik dazu gebracht werden, über jeder Riemanschen Mannigfaltigkeit jeder Dimension zu arbeiten. Es ist eigentlich eine Spezialisierung der Lagrange-Mechanik.

Dies wird geometrische Mechanik genannt, wie sie in Calin & Chungs Buch Geometric Mechanics over Riemannian Manifolds beschrieben wird, siehe insbesondere Abschnitt 3.8, wo sie die natürliche Lagrange-Funktion auf einer solchen Mannigfaltigkeit als Differenz zwischen kinetischer und potentieller Energie beschreiben. Sie beschreiben auch die Arbeits- und Impulsformen und einen Ausdruck, der Arbeit mit Impuls in Beziehung setzt.

Dann sagen sie in Satz 3.20, dass ein Teilchen auf der Mannigfaltigkeit einen Weg beschreibt$c$ist ein Extremisierer der natürlichen Lagrangedichte genau dann, wenn sie Newtons 2. Bewegungsgesetz in diesem Zusammenhang verifiziert, das heißt:

$F = \ddot{c} = \nabla_{\dot{c}} \dot{c}$

Hier$F$ist die Kraft gegeben durch$-\nabla V$Wo$V$ist ein gewisses Energiepotential auf der Mannigfaltigkeit.

Das bedeutet übrigens, dass die Newtonsche Mechanik in Polarkoordinaten oder in jedem anderen Koordinatensystem arbeitet.

Es ist erwähnenswert, dass hier, wenn die Kraft$F$verschwindet, erhalten wir die Gleichung für eine Geodäte: eine Kurve$c$ist eine Geodäte, wenn:

$\ddot{c} = 0$

Somit haben wir das Analogon von Newtons erstem Gesetz auf Riemannsche Mannigfaltigkeiten: Wenn die Kraft auf ein Teilchen verschwindet, bewegt sich das Teilchen auf einer Geodäte. Und wenn diese Mannigfaltigkeit ein gewöhnlicher affiner euklidischer Raum ist, sind dies nur gerade Linien.

All das Obige gilt für semi-Riemannsche Mannigfaltigkeiten, insbesondere Lorentzsche Mannigfaltigkeiten. Eine Möglichkeit, die geodätische Gleichung in GR zu beschreiben, ist also zu sagen, dass dies der Weg ist, dem ein Teilchen in Ruhe folgt, wobei ein Teilchen in Ruhe ist, wenn keine Kraft auf es einwirkt. Normalerweise wird gesagt, dass es keine absoluten Ruherahmen gibt, aber in dieser Sprache gibt es den Rahmen des Lichts oder Luxons (masselose Teilchen).

Dein Lehrer liegt definitiv falsch. Eigentlich der springende Punkt$\vec{F}=m\vec{a}$als Vektorgleichung geschrieben ist, soll betonen, dass die Gleichung nicht von dem Koordinatensystem abhängt, das Sie zur Darstellung der Vektoren wählen.

Lassen Sie uns tatsächlich das Gegenbeispiel Ihres Lehrers entlarven, indem wir es verifizieren$\vec{F}=m\vec{a}$in kartesischen und Polarkoordinaten. Nehmen Sie an, dass das Teilchen der von Ihrem Lehrer beschriebenen Flugbahn folgt, ohne die Allgemeingültigkeit zu verlieren, nehmen Sie den Anfang an$x$Die Koordinate ist Null und die auf das Teilchen wirkende Kraft ist zu jeder Zeit Null.

Kartesisches Koordinatensystem

Schreiben Sie zuerst die Trajektorie in kartesischen Koordinaten auf und überprüfen Sie, ob sie das zweite Newtonsche Gesetz erfüllt.

Der Positionsvektor des Teilchens ist (Ohne Beschränkung der Allgemeinheit nehmen wir den Anfangsbuchstaben an$x$Koordinate ist 0):

Daher kann man das durch direkte Differenzierung sehen$\vec{a} = \vec{0}$. Dies erfüllt das 2. Newtonsche Gesetz, weil durch$\vec{F} = m\vec{a}$, Wenn$\vec{F}=0$,$\vec{a}=0$.

Polarkoordinatensystem

Wie wäre es mit Polarkoordinaten? Denken Sie daran, dass in Polarkoordinaten der radiale Einheitsvektor$\hat{r}$zeigt immer entlang des Verschiebungsvektors$\vec{r}$und der Einheitsvektor$\hat{\theta}$definiert ist$\hat{r}$gedreht$90^o$im Uhrzeigersinn. Was ist nun$\vec{r}$in Polarkoordinaten dargestellt? Ganz einfach, nur:

Wie sieht es also mit der Geschwindigkeit des Teilchens aus?

Hier ist der Hauptunterschied zwischen kartesischen und Polarkoordinaten: In kartesischen Koordinaten ist der Basisvektor im Raum fixiert, daher ist der zweite Term immer Null und wir müssen nur die Komponente differenzieren. Wie man sich jedoch vorstellen kann, in Polarkoordinaten der Einheitsvektor$\hat{r}$ändert tatsächlich die Richtung, wenn sich die Partikel bewegen! Daher haben wir zusätzliche Terme in unseren Geschwindigkeiten (eigentlich ähnlich für die Beschleunigung).

Was ist nun die zeitliche Ableitung von$\hat{r}$(und ähnlich$\hat{\theta}$da wir diesen Begriff sowieso in der Beschleunigung haben werden). Der übliche Weg, es zu finden, besteht darin, zuerst zu konvertieren$\hat{r}$Und$\hat{\theta}$in kartesisch und nimm die Zeitableitung. Da die Argumentation dadurch jedoch kreisförmig klingen könnte, betrachten wir das Problem geometrisch

Erstens, wann wird$\hat{r}$Und$\hat{\theta}$ändern und wie würde es sich ändern? Nun, etwas Phantasie wird uns das schon sagen$\hat{r},\hat{\theta}$sind beide Einheitsvektoren , die sich nur ändern können, wenn sie sich drehen. Außerdem seit$\hat{r}$zeigt in die gleiche Richtung wie$\vec{r}$Und$\hat{\theta}$relativ zu "gesperrt" ist$\hat{r}$, wissen wir, dass sich die beiden nur ändern, wenn sich der Verschiebungsvektor um einen bestimmten Winkel um den Ursprung dreht$d\theta$.

Betrachten wir als nächstes die folgende Abbildung:

Wie Sie sehen können, wann$d\theta$ist klein,$d\hat{r}$ist entlang der Richtung von$\hat{\theta}$Und$d\hat{\theta}$ist entlang der Richtung von$-d\hat{r}$. Außerdem, wenn$d\theta$ist im Bogenmaß, die Länge dieser Vektoren sind alle$d\theta \times 1$(d. h. die Bogenlänge des Bogens, um den er ausstreicht$\hat{r}$Und$\hat{\theta}$). Damit erhalten wir folgende Gleichung:

Teilen Sie daher beide Seiten durch$dt$, wir haben:

Mit diesen Gleichungen und einfach durch Differenzieren$\vec{r}$, wir werden haben:

Was ist nun$\theta(t)$Und$r(t)$im Beispiel deines Lehrers? Nun, per Definition:

Also haben wir nur:

Setzen wir alles wieder in die von uns abgeleitete Beschleunigungsformel ein:

Nach etwas Algebra (Sie können WolframAlpha das schwere Heben überlassen) sind beide Komponenten$0$. Die in Polarkoordinaten gemessene Beschleunigung ist also tatsächlich 0, was mit dem Newtonschen Bewegungsgesetz übereinstimmt.

Dies ist ein Beispiel dafür, wie Bediener im Allgemeinen nicht pendeln. Das heißt: wenn$x$Und$y$sind Variablen,$xy=yx$, aber falls$f$Und$g$sind Operatoren,$fg$ist im Allgemeinen nicht gleich$gf$. Ein Operator ist eine Reihe von Anweisungen, was mit dem darauf folgenden Ausdruck zu tun ist. Betrachten Sie als einfaches Beispiel$f =$"füge 5 hinzu" und$g =$„mit 10 multiplizieren“. Dann$fgx = 10x+5$Und$gfx = 10x + 50$. Wenn wir die Operatoren umkehren wollen, brauchen wir einen dritten Operator, der die Wirkung der Umkehrung der Reihenfolge rückgängig macht. Angenommen, wir begannen mit$gx$und operieren wollte$x$mit$f$. In diesem Fall könnten wir einführen$h =$„subtrahiere 45“. Dann$fgx = hgfx$.

Oder wir könnten einen Operator einführen, der rückgängig macht$g$, verwenden$g^{-1}$= "durch 10 teilen". Dann können wir die Identität verwenden$gfg^{-1}gx=gfx$.

Hier sind "Kartesisch in Polar umwandeln" und "Zeitableitung nehmen" Operatoren. Die Newtonsche Mechanik ist kartesisch formuliert, wenn wir also mit der Zeitableitung arbeiten und Newtonsche Ergebnisse erhalten wollen, brauchen wir entweder einen kartesischen Koordinatenausdruck oder einen dritten Operator. Das heißt: entweder "Polar nach Kartesisch umwandeln" als$g^{-1}$oder "Rückgängig machen der Folge der Operation auf 'Kartesisch in Polar umwandeln' mit 'Zeitableitung nehmen'" als$h$.

das sind die NEWTON-Gleichungen in kartesischen Koordinaten (Ihr Fall)

und die Anfangsbedingungen$\dot x(0)=v_0~,\dot y(0)=0~$Und$~x(0)=0~,y(0)=y_0$

mit :

Sie übertragen die EOMs in den Polarraum und erhalten zwei Differentialgleichungen$~\ddot r=\ldots~,\ddot\phi=\ldots$

Sie müssen auch die Anfangsbedingungen übertragen

aus

und von

Sie können jetzt die polaren EOM's lösen und erhalten$~r(t)~,\phi(t)~$und mit den Gleichungen (1) ,(2)$~x(t)~,y(t)$

Allgemeine Lösung

Sie erhalten die gleiche Lösung mit kartesischen Koordinaten

Abschluss

dieselbe Lösung in kartesischen Koordinaten und Polarkoordinaten erhält man nur, wenn man die Anfangsbedingungen abbilden kann. dies ist der Fall, wenn

mit

Die Newtonsche Mechanik ist unabhängig von jedem Koordinatensystem.

Es ist jedoch viel einfacher, die Gleichungen in kartesischen Koordinaten aufzuschreiben als in Polarkoordinaten.

Es kommt darauf an, was man unter "in diesen Koordinaten arbeiten" versteht. In zweidimensionalen kartesischen Koordinaten hat ein Objekt, das sich mit konstanter Geschwindigkeit bewegt, Koordinaten$(x_0+v_xt,y_0+v_yt)$. Wenn man das so einfach in Polarkoordinaten übersetzen will$(r_o+v_rt,\theta_0+v_{\theta}t)$, das wird in der Tat "nicht funktionieren". Die Form der Gleichungen der Newtonschen Mechanik wird in Polarkoordinaten nicht dieselbe sein, und daher werden die kartesischen Koordinatenformen dieser Gleichungen "nicht funktionieren".

Denken Sie daran, dass ein Koordinatensystem einfach ein System ist, um Punkten im Raum (oder in der Relativitätstheorie Ereignissen in der Raumzeit) Zahlen zuzuweisen. Ein Koordinatensystem hat per Definition eine Möglichkeit, allem, was passiert, Zahlen zuzuweisen, es ist nur so, dass die Mathematik in einigen Koordinatensystemen einfacher ist als in anderen. Der Raum existiert unabhängig vom Koordinatensystem, ebenso die Physik. Das einzige, was sich zwischen den Koordinatensystemen unterscheidet, sind die Nummern, die den Punkten zugewiesen sind. Das einzige, was "nicht funktionieren" könnte, sind Dinge mit diesen Nummern, nicht die Mechanik selbst.

Beispielsweise können in kartesischen Koordinaten die Zahlen, die die Summe zweier Vektoren darstellen, erhalten werden, indem die Summe der Zahlen genommen wird, die die beiden addierten Vektoren darstellen, aber dies funktioniert nicht in Polarkoordinaten. Wenn Sie in kartesischen Koordinaten den Positionsvektor haben (der eigentlich kein Vektor ist, sondern sich tatsächlich im affinen Raum befindet, aber die Dinge sind bereits kompliziert genug, ohne darauf einzugehen), wird er in Form einer Funktion angegeben, die die x-Koordinate und eine andere Funktion angibt Bei Angabe der y-Koordinate kann der Geschwindigkeitsvektor erhalten werden, indem man einfach die Ableitungen dieser Funktionen nimmt, aber das funktioniert nicht in Polarkoordinaten. Die Zahlen, die einen Punkt darstellen, sind jedoch nicht identisch mit dem Punkt selbst, und Fakten über erstere sollten nicht mit Fakten über letztere verwechselt werden.

Der Vorteil kartesischer Koordinaten besteht darin, dass wir Vektoren als einfache indizierte Funktionen nehmen können. Aber es gibt ein zusätzliches Feature, das man beim Ändern von Variablen nicht vergessen darf: Koordinatenbasis.

Der Geschwindigkeitsvektor des OP-Beispiels kann in seiner vollständigen Form ausgedrückt werden als:

$v_1(X^1, X^2) = V^1B_{11} + V^2B_{21}$
$v_2(X^1, X^2) = V^1B_{12} + V^2B_{22}$

In kartesischen Koordinaten,$X^1 = x$,$X^2 = y$,$V^1 = v_x$,$V^2 = v_y$,$B_{11} = 1$,$B_{12} = 0$,$B_{21} = 0$,$B_{22} = 1$

Dieser Weg:
$v_1(x,y) = V^1$Und$v_2(x,y) = V^2$sind die bekannten kartesischen Komponenten der indizierten Funktion (und des Vektors)$v(x,y)$.

Bei der Transformation in Polarkoordinaten ist eine Ableitung möglich$B_{ab}$Und$V^a$so dass$v_b$nicht ändern. Hier:
$B_{11} = cos(\theta)$,$B_{12} = sin(\theta)$,$B_{21} = -Rsin(\theta)$,$B_{22} = Rcos(\theta)$,$X^1 = R$,$X^2 = \theta$,$V^1 = v_R$,$V^2 = v_{\theta}$

So:
$v_1(R, \theta) = v_Rcos(\theta) - v_{\theta}Rsin(\theta)$
$v_2(R, \theta) = v_Rsin(\theta) + v_{\theta}Rcos(\theta)$

Im Beispiel$v_1 = v_0$Und$v_2 = 0$. Es ist leicht zu erkennen, dass, um die gleichen Werte beizubehalten:

In Polarkoordinaten ändern sich die Komponenten mit der Zeit, damit dieser Vektor wie gewünscht mit der Zeit konstant ist. Die Vektorgleichungen der Newtonschen Gesetze sind gültig, aber die Vorstellung, was ein Vektor ist, muss genau verstanden werden.

Ich denke, Ihr Lehrer wollte darauf hinweisen, dass durch die Verwendung von Polarkoordinaten$\mathbf{F} = m \mathbf{a}$wird nicht allgemein (komponentenweise) gelten. Natürlich gelten physikalische Gesetze in jedem Koordinatensystem, aber die Beschleunigung in Polarkoordinaten zu schreiben ist schwierig.

Betrachten Sie das obige Beispiel mit dem Zug. Die Geschwindigkeit des Zuges in Polarkoordinaten ändert sich deutlich in Komponenten. Es gibt eine Radialgeschwindigkeit, die dadurch entsteht, dass der Abstand zwischen dem Ursprung und dem Zug nicht linear wächst. Und es gibt auch eine Polargeschwindigkeit, die von der nichtlinearen Änderung des Polarwinkels herrührt. Die Geschwindigkeit des Zuges in Polarkoordinaten ändert sich also. Genauer gesagt ändern sich die Komponenten der Geschwindigkeit . Die Gesamtgeschwindigkeit ist eindeutig konstant, da keine Nettokraft auf den Zug wirkt.

Ich denke, Ihr Lehrer hat versucht, darauf hinzuweisen, dass Sie durch die komponentenweise Verwendung von Newtons zweitem Gesetz einen Unsinn für die Physik bekommen, wenn Sie nicht aufpassen. Aber wie die vorherige Antwort betonte, ist es möglich, die Newtonsche Mechanik auch auf andere Geometrien zu verallgemeinern.

Newtonsche Gesetze sind Vektorrelationen, die unabhängig von den Koordinatensystemen sind. Es ist wahrscheinlich, dass das OP die Aussage des Professors falsch interpretiert. Einer der folgenden Fälle könnte z. B. der Fall sein:

• Diese Addition von Komponenten von Vektoren in krummlinigen Koordinaten (z. B. Polarkoordinaten) ist nicht so einfach wie in rechtwinkligen Koordinaten
• Dass die Newtonschen Gesetze in einem rotierenden Bezugsrahmen nicht funktionieren.

Es ist auch möglich, dass der Professor das gesagt hat, was er tatsächlich gesagt hat, einfach um die vorhersehbaren Fehler zu vermeiden, die die meisten Studenten machen (leider sind die Fehler und Fragen nach ein oder zwei Jahren des Unterrichtens desselben Kurses sehr vorhersehbar), aber diese Vereinfachung wurde vorgenommen die Aussage ist bei genauerer Prüfung in der Tat falsch.