Wann genau tendiert der Fehler in der Infinitesimalrechnung gegen Null?

Question

Wann genau tendiert der Fehler in der Infinitesimalrechnung gegen Null?

Xasthor

Ich bin auf viele Fälle gestoßen, in denen der Fehler manchmal gegen Null tendiert, andere Male jedoch nicht. Lassen Sie mich Ihnen einige Beispiele geben.

1. Wenn ich die Fläche einer Kugel berechne, indem ich Höhenscheiben aufsummiere $dy$ von -R bis +R tendiert der Volumenfehler gegen Null als $\Delta y->0$ aber wenn ich die Oberfläche mit Höhenringen berechne $dy$ , dieser Fehler geht nicht gegen Null. Dasselbe gilt für einen Hohlkegel im Vergleich zu einem Vollkegel.

2. $ds$ ist die Bogenlänge. Wir wissen $ds/dt$ = Geschwindigkeit = $|dr/dt|$ da der Fehler gegen Null geht.

In einem anderen Fall jedoch, insbesondere aufgrund von Irodovs Problemen:

3. Ich versuche, die Arbeit zu finden, die von der Feder geleistet wird, wenn sich der Block von einem Ende zum anderen bewegt (Ja, ich bin mir bewusst, dass es einfachere Möglichkeiten gibt, dies zu tun).

Hier, wo ich glaube, dass ich falsch liege, gehe ich davon aus, dass die Federkraft im Intervall konstant ist $dy$ wenn sie nur während einer infinitesimalen Verschiebung entlang der Feder konstant bleiben kann.

Allerdings nehmen wir hier an, dass der Druck im Intervall konstant ist $Rd\theta$ wenn es wirklich nur im Intervall konstant ist $dH$ da es eine Funktion von ist $h$ Und hier nehmen wir an, dass die potentielle Energie der Kette im Intervall konstant ist $Rd\theta$ wenn es nur konstant sein soll $dh$ dennoch geht der Fehler in diesen beiden Fällen gegen Null, im ersten Fall jedoch nicht.

JMac

In Ihrem ersten ist der Weg, auf dem es sich bewegt, der Bogen, also ist ds offensichtlich derselbe Teil des Bogens wie dr. Wie JMLCarter in seiner Antwort erwähnte; es ist kein Fehler. Es ist normalerweise eine physikalische Bedeutung.

Sammy Rennmaus

-1. Unklar. Ihre Frage enthält zu viele verwirrende Inhalte und zu viele verschiedene Stile. Es wäre viel besser, wenn Sie sich auf ein Problem konzentrieren - das erste ist wahrscheinlich gut genug.

Sammy Rennmaus

Ihr erstes Beispiel wird in den Math SE-Fragen behandelt. Warum funktioniert derselbe Grenzwert in einem Fall, versagt aber in einem anderen? und Warum steht die Bogenlänge nicht in der Formel für das Volumen eines Rotationskörpers?

Xasthor

@sammygerbil Ich habe all diese Beispiele gegeben, damit der Antwortende eine klarere Vorstellung davon hat, wo ich falsch liege.

Benutzer2956

Ich finde die Frage gut. Schreiben Sie der Übersichtlichkeit halber vorzugsweise mit Latex auf, was auf dem Bild zu sehen ist.

Antworten (2)

Wann genau tendiert der Fehler in der Infinitesimalrechnung gegen Null?

In Ihrem ersten ist der Weg, auf dem es sich bewegt, der Bogen, also ist ds offensichtlich derselbe Teil des Bogens wie dr. Wie JMLCarter in seiner Antwort erwähnte; es ist kein Fehler. Es ist normalerweise eine physikalische Bedeutung.
-1. Unklar. Ihre Frage enthält zu viele verwirrende Inhalte und zu viele verschiedene Stile. Es wäre viel besser, wenn Sie sich auf ein Problem konzentrieren - das erste ist wahrscheinlich gut genug.
Ihr erstes Beispiel wird in den Math SE-Fragen behandelt. Warum funktioniert derselbe Grenzwert in einem Fall, versagt aber in einem anderen? und Warum steht die Bogenlänge nicht in der Formel für das Volumen eines Rotationskörpers?
@sammygerbil Ich habe all diese Beispiele gegeben, damit der Antwortende eine klarere Vorstellung davon hat, wo ich falsch liege.
Ich finde die Frage gut. Schreiben Sie der Übersichtlichkeit halber vorzugsweise mit Latex auf, was auf dem Bild zu sehen ist.

Sammy Rennmaus · Answer 1

Ich denke, es gibt keine allgemeine Regel für die Entscheidung, wann der Fehler gegen Null tendiert. Es gibt eine unendliche Vielfalt von Fällen – wie Sie illustrieren. Die Angemessenheit der vorgenommenen Annäherung müssen Sie jeweils prüfen.

Nehmen Sie Ihr erstes Beispiel, das ich auf die 2D-Probleme der Bestimmung der Fläche und des Umfangs eines Kreises vereinfachen werde.

Nähern Sie die Fläche des Kreises mit horizontalen Streifen an, die nicht über den Umfang hinausragen. Wenn die Streifen schmaler gemacht werden, nimmt die Gesamtfläche der Streifen zu, folglich nimmt der Fehler ab. Im Grenzfall infinitesimal dünner Streifen erhalten wir den genauen Wert der Fläche.

Nähern Sie den Umfang des Kreises mit horizontalen und vertikalen geraden Linien an, wie es im Paradoxon in der Math SE-Frage Is gemacht wird $\pi = 4$ ?

Beginnen Sie, indem Sie den Kreis mit einem Quadrat mit Umfang 4 annähern. Machen Sie dann Einkerbungen, indem Sie Ecken entfernen - der Umfang beträgt immer noch 4. Je mehr Ecken entfernt werden, desto mehr nähert sich die resultierende Treppenkurve dem Kreis an, der Umfang bleibt jedoch gleich . Der Fehler wird nie kleiner.

Der richtige Weg, diese Annäherung durchzuführen, besteht darin, die Hypotenuse der Dreiecke als Element des Umfangs zu verwenden. Während die Länge der Treppenkurve nie kleiner wird, nimmt die Gesamtlänge der Hypotenusen zum Kreisumfang hin ab.

In den Math SE-Antworten wird darauf hingewiesen, dass sich die Treppenkurve nicht glatt an den Kreis annähert . Glätte hängt mit Ableitungen zusammen, also kann man dies auch anders ausdrücken: Während zwei Kurven an einem Punkt willkürlich nahe beieinander liegen können, können ihre Ableitungen an diesem Punkt erheblich unterschiedlich sein.

Der Schlüssel, um sicherzustellen, dass die Annäherung beim Integrieren das richtige Ergebnis liefert, besteht darin, die Glätte der Annäherung zu untersuchen. Sie können sehen, dass die Treppenkurve nie glatter wird - sie ist immer gezackt, wenn Sie sie in einem ausreichend kleinen Maßstab betrachten. Daher kann es niemals eine genaue Annäherung an den Kreis liefern.

In der Praxis bedeutet die Überprüfung der Glätte einer Annäherung dasselbe wie das, wonach Sie eine Abkürzung verlangen - dh die Überprüfung, ob der Fehler gegen Null tendiert. Ich denke, es gibt keine Abkürzung, keine einfache Alternative, um in jedem Fall zu prüfen, ob die Annäherung tatsächlich näher an das herankommt, was sie annähert, wenn die Schrittgröße abnimmt. In vielen Fällen wissen Sie aus Erfahrung, dass es funktioniert. Andernfalls müssen Sie sich davon überzeugen, dass der Fehler mit abnehmender Schrittweite gegen Null abnimmt.

Deine anderen Beispiele:

Während $ds=r\delta \theta$ funktioniert, wenn das Zentrum der Ursprung O ist (und $s=r\theta$ ist sogar für endliche Winkel exakt), es funktioniert nicht, wenn ein Punkt auf dem Umfang der Ursprung ist. Bei OA ist das Verhältnis ein Durchmesser $ds=r\delta\theta$ ist gut wie $\delta\theta \to 0$ , aber wenn A sich O nähert, dann schrumpft OA auf Null und die Annäherung wird zunehmend schlechter - wie Ihr handgezeichnetes Diagramm zeigt. Ihre Vermutung ("Wahrscheinlich Fehler: $r\delta\theta \ne ds$ ") ist richtig.
(i) Feder und Block. Sie haben die Federkraft in Bezug auf ausgedrückt $y$ , Ihr Fehler besteht also nicht darin, dies zu tun. Ihr Fehler ist, sich nicht zu beziehen $dx, dy$ richtig: $dy=\sin\theta dx$ . Dann ist die Arbeit getan $kxdx=kxdy/\sin\theta$ . Eine Diagrammverknüpfung $dx$ Und $dy$ hilft Ihnen, diesen Fehler zu vermeiden.

(ii) PE der Kette. Die Höhe des CM ist $h=R(1-\cos\theta)$ So $dh=R\sin\theta d\theta$ nicht $R d\theta$ . Ihr Fehler ist wieder, dass Sie kein Diagramm gezeichnet haben, um sich darauf zu beziehen $dh$ Zu $Rd\theta$ .

(iii) Druck in der Schüssel. Nicht genug Erklärung für das, was Sie tun. Du scheinst es ignoriert zu haben $l=2\pi R\cos\theta$ .

Im Feder- und Blocksystem habe ich x auf korrigiert $x = l/cos\theta -l$ was mir die richtige Antwort gab. Für die Kette wollte ich fragen, warum ich die potentielle Energie so behandeln kann, dass sie im gesamten Element von konstant ist $Rd\theta$ wenn potentielle Energie, die eine Funktion von ist $h$ sollte nur im Intervall konstant sein $dh$ , und nicht $Rd\theta$ Ich glaube, meine Frage war nicht klar, aber was ich zu fragen versuchte, ist, warum ich eine Truppe behandeln kann $F(x)$ was ich dachte, ist nur im Intervall konstant $[x,x+dx)$ , in unabhängigen infinitesimalen Intervallen wie konstant zu sein $dy, Rd\theta$ usw.

JMLCarter · Answer 2

Wenn Ihr Ausdruck für eine auf euklidisches Trigger angewendete infinitesimale Schrittanalyse eine Entfernung oder geleistete Arbeit darstellt (was Sie "den Fehler" nennen?) nicht gegen 0 tendiert, da die Schrittgröße gegen Null tendiert, ist der Ausdruck falsch. Dies gilt sicherlich für Ihre aktuellen Antworten in Abschnitt 2 und 3.
Jeder Term in dem zu integrierenden oder zu differenzierenden Ausdruck muss so ausgedrückt werden, dass seine Abhängigkeit von der Integrations-/Differenzierungsvariablen erfasst und der eh-Integration/Differenzierung unterzogen wird

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Xasthor

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Sammy Rennmaus

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