Null Geschwindigkeit, Null Beschleunigung?

Question

Null Geschwindigkeit, Null Beschleunigung?

7453rfg

In einer Dimension kann die Beschleunigung eines Teilchens geschrieben werden als:

a = \frac{d v}{d t} = \frac{d v}{d x} \frac{d x}{d t} = v \frac{d v}{d x}

$a = \frac{dv}{dt} = \frac{dv}{dx} \frac{dx}{dt} = v \frac{dv}{dx}$

Bedeutet diese Gleichung, dass wenn:

v = 0

$v = 0$

Dann,

\Rightarrow a = 0

$\Rightarrow a = 0$

Ich kann mir mehrere Situationen vorstellen, in denen ein Teilchen eine Beschleunigung ungleich Null hat, obwohl es sich in sofortiger Ruhe befindet. Was ist denn hier los?

Heiße Licks

Wirf einen Ball in die Luft. Sobald es Ihre Hand verlässt, beschleunigt es kontinuierlich (ohne Berücksichtigung des Luftwiderstands) mit 32 f / s / s nach unten. Irgendwann erreicht der Ball die Spitze des Bogens und hat eine Geschwindigkeit von Null, aber er wird an diesem Punkt immer noch nach unten beschleunigt. (Wenn es nicht nach unten beschleunigt würde, würde es in der Luft "stecken bleiben".)

Erich Lippert

Ich habe einige Schwierigkeiten, Ihrer Mathematik hier zu folgen, weil Sie v anscheinend sowohl als Funktion der Zeit als auch als Funktion der Position definieren. Auch wenn Sie "v = 0" sagen, meinen Sie "es gibt eine Zeit, in der die Geschwindigkeit Null ist" oder "es gibt eine Position, in der die Geschwindigkeit Null ist", oder "die Geschwindigkeitsfunktion ist die Funktion, die überall Null ist"? Ich denke, wenn Sie genauer definieren, was v ist, werden Sie Ihre Verwirrung beseitigen.

Erich Lippert

@HotLicks: Die ursprüngliche Frage lautet nicht "Was ist eine Situation, in der die Geschwindigkeit Null ist, die Beschleunigung jedoch nicht?" - Das OP stellt fest, dass es viele solcher Situationen gibt. Die Frage ist: "Was ist falsch an meiner Mathematik?", und was an der Mathematik falsch ist, ist die Verschmelzung von v als Funktion der Zeit mit v als Funktion der Position. Ihr Beispiel ist jedoch sehr nützlich, weil es das grundlegende Problem veranschaulicht: Für die eindimensionale Bewegung eines Balls, der hochgeworfen wird und wieder herunterfällt, ist die Geschwindigkeit keine Funktion des Ortes, weil es Orte gibt, die zwei verschiedene Geschwindigkeiten haben!

Antworten (7)

Null Geschwindigkeit, Null Beschleunigung?

Wirf einen Ball in die Luft. Sobald es Ihre Hand verlässt, beschleunigt es kontinuierlich (ohne Berücksichtigung des Luftwiderstands) mit 32 f / s / s nach unten. Irgendwann erreicht der Ball die Spitze des Bogens und hat eine Geschwindigkeit von Null, aber er wird an diesem Punkt immer noch nach unten beschleunigt. (Wenn es nicht nach unten beschleunigt würde, würde es in der Luft "stecken bleiben".)
Ich habe einige Schwierigkeiten, Ihrer Mathematik hier zu folgen, weil Sie v anscheinend sowohl als Funktion der Zeit als auch als Funktion der Position definieren. Auch wenn Sie "v = 0" sagen, meinen Sie "es gibt eine Zeit, in der die Geschwindigkeit Null ist" oder "es gibt eine Position, in der die Geschwindigkeit Null ist", oder "die Geschwindigkeitsfunktion ist die Funktion, die überall Null ist"? Ich denke, wenn Sie genauer definieren, was v ist, werden Sie Ihre Verwirrung beseitigen.
@HotLicks: Die ursprüngliche Frage lautet nicht "Was ist eine Situation, in der die Geschwindigkeit Null ist, die Beschleunigung jedoch nicht?" - Das OP stellt fest, dass es viele solcher Situationen gibt. Die Frage ist: "Was ist falsch an meiner Mathematik?", und was an der Mathematik falsch ist, ist die Verschmelzung von v als Funktion der Zeit mit v als Funktion der Position. Ihr Beispiel ist jedoch sehr nützlich, weil es das grundlegende Problem veranschaulicht: Für die eindimensionale Bewegung eines Balls, der hochgeworfen wird und wieder herunterfällt, ist die Geschwindigkeit keine Funktion des Ortes, weil es Orte gibt, die zwei verschiedene Geschwindigkeiten haben!

hft · Answer 1

Richtig wäre zu sagen "wenn v=0 und dv/dx endlich ist, dann a=0".

Ein einfaches Beispiel, um zu veranschaulichen, was vor sich geht, ist der bekannte Fall einer konstanten Beschleunigung "-g" in der Nähe der Erdoberfläche. In diesem Beispiel betrachten wir "x" als die Höhe über dem Boden und nehmen an, dass das anfängliche x Null ist.

In diesem Fall

x = - \frac{g t^{2}}{2} + v_{0} t

$x=-\frac{gt^2}{2}+v_0t$

v = v_{0} - g t

$v=v_0-gt$ und

a = - g

$a=-g$ und natürlich kann "a" niemals Null sein, aber "v" kann Null sein ... was gibt es also? Nun ... das Auflösen nach t(x) ergibt

t (x) = \frac{1}{g} (v_{0} \pm \sqrt{v_{0}^{2} - 2 g x})

$t(x)=\frac{1}{g}(v_0\pm\sqrt{v_0^2-2gx})$ und

v (x) \equiv v (t (x)) = \pm \sqrt{v_{0}^{2} - 2 g x}

$v(x)\equiv v(t(x))=\pm\sqrt{v_0^2-2gx}$ und so

\frac{d v}{d x} = \frac{\pm g}{\sqrt{v_{0}^{2} - 2 g x}}

$\frac{dv}{dx}=\frac{\pm g}{\sqrt{v_0^2-2gx}}$ ... was bequem unendlich ist, wenn v null ist.

Darüber hinaus denke ich, dass eine natürlichere Art, über dieses Thema nachzudenken, gefunden werden kann, wenn man darüber nachdenkt, was wir wirklich meinen

v (x)

$v(x)$ und wie wir die Ableitung wrtx nehmen

Was wir wirklich meinen ist, dass bei gegebener funktionaler Form für „v“ als Funktion von „t“, genannt „v(t)“, und gegebener funktionaler Form für „x“ als Funktion von „t“, genannt „x( t)", und vorausgesetzt, dass "x(t)" invertiert werden kann, um "t(x)" zu finden, dann, wie oben erwähnt

v (x) = v (t (x)),

$v(x)=v(t(x))\;,$ Das ist eine dumme Physikernotation. Es ist eindeutig eine dumme Notation, weil das "v()" auf der linken Seite nicht dieselbe Form wie das "v()" auf der rechten Seite haben kann. Also nennen wir es wirklich

\tilde{v}

$\tilde v$ . Dh,

\tilde{v} (x) = v (t (x))

$\tilde v(x)=v(t(x))$ Diese Funktion

\tilde{v}

$\tilde v$ eine Funktion von x ist und die Ableitung nach x ist

\frac{d \tilde{v}}{d x} (x) = \frac{d v}{d t} (t (x)) \frac{d t}{d x} = \frac{\frac{d v}{d t} (t (x))}{\frac{d x}{d t}} = \frac{a (t (x))}{v (t (x))}

$\frac{d\tilde v}{dx}(x)=\frac{dv}{dt}(t(x))\frac{dt}{dx}=\frac{\frac{dv}{dt}(t(x))}{\frac{dx}{dt}}=\frac{a(t(x))}{v(t(x))}$ Dh (Zurückschalten auf dumme Notation und keine Argumente von Funktionen schreiben)

\frac{d v}{d x} = \frac{a}{v},

$\frac{dv}{dx}=\frac{a}{v}\;,$ für Konstante a ist also dv/dx immer dann unendlich, wenn v=0.

"Unendlich"? Bist du dir sicher? Sie verschmelzen anscheinend undefinierte Werte (an Grenzen) mit unendlich, insbesondere wenn Sie einen negativen Wert quadrieren (vermutlich verbieten Sie komplexe Zahlen): Das Ergebnis ist nicht vorhanden, nicht unendlich.
Das ist nicht umgangssprachlich, das ist falsch ... Ich glaube nicht, dass es weniger klar wäre
Bedenken Sie, dass mein in die Luft geworfener Ball zum Zeitpunkt T eine Geschwindigkeit von genau Null haben kann, aber jedes Delta-T von diesem Zeitpunkt entfernt (zumindest in der Newtonschen Mechanik) wird er notwendigerweise eine Geschwindigkeit ungleich Null haben. Ich denke, die Mathematik ist falsch.
Sie denken, was Mathe falsch ist? Offensichtlich ist die Geschwindigkeit in dem Beispiel am Scheitelpunkt der Flugbahn null und davor und danach ungleich null ... na und?
Ich denke, sein Punkt ist, dass Sie eine Asymptote bei v = 0 haben, die linke Grenze +infty ist, während die rechte Grenze -infty ist. Das mathematische Problem ist, dass es bei v = 0 undefiniert ist, aber die Diskussion der Unendlichkeit gibt Aufschluss darüber, warum dies der Fall ist

Alfred Centauri · Answer 2

Nein, das impliziert es nicht $a = 0$ .

Wenn, zu einem gewissen Wert $t = t_0$ , die Beschleunigung nicht Null ist, während die Geschwindigkeit Null ist, ist die Positionsfunktion entweder ein Minimum oder ein Maximum. Das ist, $x(t)$ steht dort :

x (t_{0} + d t) = x (t_{0})

$x(t_0 + dt) = x(t_0)$

was bedeutet, dass bei $t = t_0$

\frac{d x}{d \dot{x}} = \frac{d x}{d v} = 0

$\frac{dx}{d\dot x} = \frac{dx}{dv} = 0$

daher $\frac{dv}{dx}$ ist bei undefiniert $t = t_0$ .

Paul · Answer 3

Sie können die Kettenregel anwenden, wenn $v$ ist differenzierbar bzgl $x$ und $x$ ist differenzierbar bzgl $t$ . Ich denke, es gibt keine anderen Bedingungen, wie dieser Beitrag auf MathSE zu sagen scheint, https://math.stackexchange.com/questions/688152/necessary-conditions-for-the-chain-rule-of-differentiation-to-be -gültig# =

und diese Bedingung ist nicht immer verfügbar. Wann $v=0$ ,vergewissere dich $\frac{dv}{dx}$ existieren.

Verwandter Beitrag: Wann darf man schreiben $a=v \cdot dv/dx$ ?

Zucht · Answer 4

Zucht

Beachten Sie, dass Sie beim Anwenden der Kettenregel davon ausgehen, dass dx nicht Null ist. Das wird es für dich klären.

Ruslan

Niemand multipliziert oder dividiert mit

d x

$dx$ . Wir verwenden nur die Kettenregel .

Zucht

das ist dasselbe. Der Beweis der Kettenregel erfordert dieses Kriterium. Ich werde die Antwort dann bearbeiten.

Ruslan

Nein, ist es nicht. Die Kettenregel stützt sich überhaupt nicht auf Differentiale.

Zucht

@Ruslan was ist dann der Beweis? Ich dachte, die Kettenregel diente der Differenzierung, also hätte ihr Beweis dieses Konzept.

Ruslan

Lesen Sie einfach den Wikipedia-Artikel .

Erich Lippert · Answer 5

Ich möchte einen anderen Weg einschlagen als die anderen Antworten. Dies wird eher eine große Handbewegung als ein strenges mathematisches Argument sein, aber ich hoffe, dass es die Idee intuitiv vermittelt.

Zunächst einmal, wie ich in einem Kommentar und als hft-Notizen angemerkt habe, verwenden Sie "v", um sowohl "Geschwindigkeit als Funktion der Zeit" als auch "Geschwindigkeit als Funktion der Position" zu bedeuten. Das ist verwirrend, aber da gibt es kein grundsätzliches Problem. Außer...

Abgesehen davon, dass Ihre Mathematik davon abhängt, dass Sie die Geschwindigkeit in Bezug auf die Position unterscheiden können. Dies erfordert, dass die Geschwindigkeit tatsächlich eine Funktion der Position ist.

Unter welchen Umständen kann die eindimensionale Geschwindigkeit tatsächlich eine Funktion der Position sein? Für jede Position muss es genau eine Geschwindigkeit geben. Was bedeutet das für unsere Geschwindigkeit? Dass es niemals das Vorzeichen wechseln darf! Denn wenn es das Vorzeichen ändert, bewegt sich unser Teilchen manchmal vorwärts und manchmal rückwärts, und daher muss es eine Position geben , die sowohl rückwärts als auch vorwärts durchquert wird, und daher wäre die Geschwindigkeit keine Funktion der Position.

Nehmen wir also ohne Beschränkung der Allgemeinheit an, dass die Geschwindigkeit niemals negativ ist. Nehmen wir auch an, dass Positions-, Geschwindigkeits- und Beschleunigungsfunktionen kontinuierlich und differenzierbar sind und all das gute Zeug.

Lassen Sie uns nun über die Physikalität dieser Situation in Bezug auf die Beschleunigung nachdenken.

Angenommen, die Geschwindigkeit ist positiv und die Beschleunigung ist Null oder positiv.

Das Teilchen rast nach rechts, seine Position wird immer positiver, immer schneller, wenn die Beschleunigung positiv ist, und nicht langsamer, wenn sie null ist. Offensichtlich wird die Geschwindigkeit niemals Null sein, wenn dies so weitergeht.

Nehmen wir also an, die Geschwindigkeit ist positiv und die Beschleunigung negativ. Unser Teilchen wird immer langsamer. Sich immer nach rechts bewegen, wohlgemerkt, denn nach Annahme ist die Geschwindigkeit eine Funktion der Position. Aber es wird immer langsamer und langsamer.

Nehmen wir nun an, es wird langsamer und langsamer und langsamer, erreicht aber zu keinem Zeitpunkt die Geschwindigkeit Null. Kein Problem dort. Die Beschleunigung muss immer näher an Null herankommen, aber weder die Beschleunigung noch die Geschwindigkeit kommen auf Null.

OK, also haben wir eine Reihe von Fällen aus der Betrachtung ausgeschlossen – den Fall, in dem die Beschleunigung Null ist und sich die Geschwindigkeit nie ändert, der Fall, in dem die Beschleunigung positiv ist und die Geschwindigkeit nie kleiner wird, und der Fall, in dem die Beschleunigung negativ ist und die Geschwindigkeit näher kommt und näher an Null, kommt aber nie dort an. Wir kümmern uns nur um Situationen, in denen die Geschwindigkeit auf Null geht.

Betrachten wir nun den Fall, in dem die Geschwindigkeit positiv beginnt, die Beschleunigung negativ ist und die Geschwindigkeit infolgedessen irgendwann auf Null geht. Was muss mit der Beschleunigung passieren, wenn die Geschwindigkeit Null wird ? Die Beschleunigung kann an diesem Punkt nicht negativ sein, denn wenn dies der Fall wäre, würde das Teilchen anfangen, sich rückwärts zu bewegen, und wir wissen, dass es das nicht tut. Die Beschleunigung muss an diesem Punkt entweder Null oder positiv sein.

Angenommen, die Beschleunigung ist in dem Moment positiv, in dem die Geschwindigkeit Null ist. Offensichtlich war sie negativ, bevor die Geschwindigkeit Null wurde; wir hätten von einer positiven Geschwindigkeit nicht auf null verlangsamen können, wenn die Beschleunigung positiv oder null gewesen wäre. Aber das widerspricht unserer Annahme, dass die Beschleunigungsfunktion eine schön glatt differenzierbare Funktion war! Die Beschleunigung ging sofort von einem negativen Wert zu einem positiven Wert, ohne durch Null zu gehen, und war daher keine schöne kontinuierliche Funktion.

Die einzige verbleibende Möglichkeit ist, dass die Beschleunigung dort Null ist, wo die Geschwindigkeit Null ist. Genau das wollten Sie zeigen.

Ich kann mir mehrere Situationen vorstellen, in denen ein Teilchen eine Beschleunigung ungleich Null hat, obwohl es sich in sofortiger Ruhe befindet. Was ist denn hier los?

Was los ist, ist, dass in all diesen Situationen entweder die Beschleunigung an diesem Punkt diskontinuierlich ist oder die Geschwindigkeit nicht wirklich eine Funktion der Position ist, wie es Ihre Mathematik erfordert.

Paparazzo · Answer 6

Wo bekommt man diesen Ersatz?

Das ist kein Bruch wie bei Zahlen mit Bruchregeln

Es ist dv(t) / dt - Sie können dt nicht so ersetzen
. Das ist v in Bezug auf t

Ableitungen haben offensichtlich unterschiedliche Produktregeln
d(uv)/dx = u ⋅ dv/dx + v ⋅ du /dx

Es gibt keine Regel für die von Ihnen vorgenommene Ersetzung oder Äquivalente.
Dafür gibt es keine Grundlage

Agnius Wassilauskas · Answer 7

Nein.

Ausdruck

a = v \frac{d v}{d x}

$a = v \frac{dv}{dx}$

impliziert das für den Fall $v=0$ , Position ändert sich in diesem Fall nicht $dx=0$ und so

\frac{d v}{d x} = \infty

$\frac {dv}{dx} = \infty$ , daher :

a_{(v = 0)} = 0 \cdot \infty = nicht definiert

$a_{(v=0)} = 0 \cdot \infty = \text{undefined}$

Was Sie tatsächlich abgeleitet haben, ist eine Möglichkeit, die Körperbeschleunigung angesichts ihres Geschwindigkeitsgradienten zu messen:

a = v (\frac{\partial v}{\partial x} ich + \frac{\partial v}{\partial j} j + \frac{\partial v}{\partial z} k) = v_{_{x, j, z}} \nabla v

$\mathbf a=v \left({\frac {\partial v}{\partial x}}\mathbf {i} +{\frac {\partial v}{\partial y}}\mathbf {j} +{\frac {\partial v}{\partial z}}\mathbf {k} \right) = v_{_{x,y,z}} \nabla v$

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