Wann kann man a=v⋅dv/dxa=v⋅dv/dxa=v \cdot dv/dx schreiben?

Das wird im Wesentlichen derselbe Inhalt wie Jerry Schirmers Antwort sein, aber ich dachte, Sie möchten es vielleicht in mathematischerer Hinsicht hören. Die Geschwindigkeitsfunktion$v$ist definiert als

$$v(t) = \dot{ x}(t)$$ Nehmen wir den Definitionsbereich der Positionsfunktion als offenes Intervall an $(t_1, t_2)$und nehmen Sie an, dass es die Eigenschaft hat, dass irgendein Punkt gegeben ist $x_0$in Reichweite von $x$, gibt es einen einzigartigen Punkt $t_0$in seiner Domäne $(t_1, t_2)$so dass $x(t_0) = x_0$. Dann existiert eine Funktion $x^{-1}$(das Gegenteil von $x$) definiert im Bereich von $x$befriedigend $$x^{-1}(x(t)) = t$$ Nun definieren wir eine Funktion $\bar v$im Bereich von $x$von $$\bar v(x) = v(x^{-1}(x))$$ Es ist üblich, hier Notationen zu missbrauchen und zu verwenden $v$anstelle von $\bar v$für diese Funktion, aber lassen Sie uns die Dinge notational rigoros halten. Dann gibt einerseits die Kettenregel $$\frac{d}{dt}\bar v(x(t)) = \frac{d\bar v}{dx}(x(t))\,\dot x(t) = \frac{d\bar v}{dx}(x(t))\,v(t)$$ Auf der anderen Seite verwenden wir die Definition von $\bar v$schreiben $$\frac{d}{dt}\bar v(x(t)) = \frac{d}{dt} v(x^{-1}(x(t))) = \frac{dv}{dt}(t) = a(t)$$ und die Kombination dieser Beobachtungen ergibt die gewünschte Identität $$a(t) = \frac{d\bar v}{dx}(x(t))\,v(t)$$ Beachten Sie, dass wir dies einfach als schreiben können, wenn wir uns dem üblichen Notationsmissbrauch hingeben $$a = v \frac{dv}{dx}$$

Es ist auf jeden Fall möglich, wo die Geschwindigkeit als Funktion der Position geschrieben werden kann. Dies ist möglich, wenn die Geschwindigkeit nicht konstant ist und es keine Wendepunkte in der Bewegung gibt. Betrachten Sie zum Beispiel$x = r\sin(\omega t)$,$v = \omega r \cos(\omega t)$.

Dann haben wir:

$$\begin{align} x &= r \sin(\omega t)\\ t &= \frac{1}{\omega}\sin^{-1}(x/r)\\ v &= \omega r \cos (sin^{-1}(x/r))\\ &= \omega \sqrt{r^{2} - x^{2}} \end{align}$$

Was eine gültige Transformation ist, solange$\sin^{-1}(x/r)$definiert, was bedeutet, dass Sie nur die rechte Hälfte des Einheitskreises abdecken.

Im Allgemeinen kann die Gesamtableitung in eine Summe partieller Ableitungen zerlegt werden. Wenn die Beschleunigung$a$wird nur als Funktion von angenommen$x$Und$t$, dann ist die totale Ableitung

$$\begin{equation} a=\frac{\mathrm{d} v}{\mathrm{d} t} = \frac{\partial v}{\partial t} + \frac{\partial v}{\partial x}\frac{\partial x}{\partial t} \end{equation}$$

Man kann ruhig schreiben$\mathbf{a}=\mathbf{v}\cdot\nabla \mathbf v$, dann wenn$\partial v /\partial t=0$. Dies gilt, wenn Sie ein einzelnes Partikel oder Objekt betrachten, da sich die Geschwindigkeit des Partikels an einem Punkt, an dem das Partikel nicht existiert, nicht ändert. Für Verteilungen von Partikeln ist die Unterscheidung jedoch sinnvoll.