Mittlere Geschwindigkeit (v¯⃗v¯→\vec{\bar{v}}) Intuition und Analogie für ungleichförmige Beschleunigung

Hintergrund

Also habe ich versucht, der Kinematik durch Intuition möglichst viel Sinn zu geben, nachdem ich mein erstes Semester Physik an der Universität absolviert hatte, und bin auf ein Dilemma gestoßen, das ich scheinbar nicht umgehen kann.

Insbesondere stecke ich bei der Frage der Durchschnittsgeschwindigkeit fest. Soweit ich weiß, gibt es in der Kinematik zwei Definitionen, durch die alles andere abgeleitet werden kann ($\Delta{t}\neq 0$):

$$\begin{align} \vec{\bar{v}} &= \frac{\Delta{\vec{x}}}{\Delta{t}} \tag{1}\label{1}\\ \vec{\bar{a}} &= \frac{\Delta{\vec{v}}}{\Delta{t}} \tag{2}\label{2} \end{align}$$

Wenn mein Wissen mich nicht im Stich lässt, gibt es mehrere Methoden, um Gleichungen über diesen Punkt hinaus abzuleiten. Einer ist über Kalkül; Integrieren, um zum Beispiel Gleichungen zu lösen, die die Verschiebung in Bezug auf eine konstante Beschleunigung beschreiben.

Die andere ist über die Annahme, dass, wann immer$\vec{\bar{a}}$konstant ist (in Größe und Richtung, korrigiere mich, wenn ich falsch liege), dass:

$$\vec{\bar{v}} = \frac{\vec{v}(t)+\vec{v}_i}{2}\tag{3}\label{3}$$

Dadurch können Sie Gleichungen algebraisch kombinieren, um zu denselben Gleichungen zu gelangen, die Sie sonst durch Analysis erhalten würden.

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Frage 1

Das brachte mich jedoch zum Nachdenken - was ist die Intuition hinter dieser einheitlichen beschleunigungsspezifischen Gleichung?$\eqref{3}$?

Wenn mein Cal I mich nicht fehlschlägt, ist der Durchschnittswert für das Intervall einer bestimmten Funktion:

$$\bar{f} = \frac{\int_{a}^{b}f(x)dx}{b-a} \tag{4}$$

Wenn wir diese Idee auf die Durchschnittsgeschwindigkeit anwenden (vorausgesetzt, wir können die Logik auf Vektoren erweitern), erhalten wir Folgendes:

$$\vec{\bar{v}} = \frac{\int_{t_1}^{t_2} \vec{v}(t)dt}{\Delta{t}} \tag{5}\label{5}$$ (Hinweis: Ich bin mir nicht sicher, ob die Durchschnittsgeschwindigkeit als Funktion der Zeit betrachtet wird. Wenn ja, gehe ich davon aus, dass sie angegeben ist$\vec{\bar{v}}(t)$. Korrigieren Sie mich bitte noch einmal, wenn ich falsch liege.)

Aus$\eqref{2}$wir können lösen$\vec{v}(t)$und einstecken$\eqref{5}$(Andernfalls reduziert sich das Integral auf$\eqref{1}$).

Als Ergebnis erhalten wir:

$$\begin{equation}\begin{aligned} \vec{\bar{v}} &= \frac{\int_{t_1}^{t_2} (\vec{v}_i+\vec{\bar{a}}\Delta{t})dt}{\Delta{t}}\\ &= \frac{\vec{v}_i\Delta{t}+\frac{1}{2}\vec{\bar{a}}\Delta{t^2}}{\Delta{t}}\\ &= \vec{v}_i+\frac{1}{2}\vec{\bar{a}}\Delta{t} \end{aligned}\end{equation}\tag{6}$$ Durch Ersetzen$\vec{\bar{a}}$mit $\eqref{2}$, landen wir bei $\eqref{3}$, das ist genau das, womit wir beginnen wollten. Aber warum funktioniert das?

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Frage 2

Meine zweite Frage bezieht sich darauf, ob eine ähnliche Gleichung für die Durchschnittsgeschwindigkeit darüber hinaus existiert$\eqref{1}$, vorzugsweise in Bezug auf$\vec{v}_i$Und$\vec{v}(t)$mit ungleichmäßiger Beschleunigung. Entweder speziell im Fall von Ruck , definiert als

$$\vec{\bar{j}} = \frac{\Delta\vec{{a}}}{\Delta{t}}\tag{7}$$ oder, noch besser, verallgemeinert auf eine beliebige Geschwindigkeitsfunktion$\vec{v}(t)$!

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Fortschritt bisher

Ich habe an drei verschiedene Möglichkeiten gedacht, um diese schwer fassbare verallgemeinerte Durchschnittsgeschwindigkeitsfunktion zu finden, wobei jede Hypothese weniger wünschenswert ist als die letzte. Das erste ist, dass es vielleicht von der Form ist

$$\vec{\bar{v}} = \frac{\vec{v}(t)+\vec{v}_i}{k}$$ wobei k eine einheitslose Konstante ist, die von der spezifischen Geschwindigkeitsfunktion des betreffenden Teilchens oder Objekts abhängen kann.

Das zweite ist, dass es viel komplizierter ist, wahrscheinlich nicht die oben genannte Form hat und vielleicht nicht ausdrückbar ist, ohne weitere Variablen hinzuzufügen (wie z$\vec{a}_i?$) in die Mischung.

Das letzte ist, dass es keine solche Funktion gibt, ich vermute, vielleicht aufgrund$\vec{v}(t)$nicht linear, wie$\vec{a}(t)$nicht mehr konstant ist (Null eingeschlossen).

Hilfe wäre sehr willkommen! Außerdem können Sie gerne alle meine Notationen korrigieren, da dies mein erster Beitrag ist und ich Verbesserungen benötige.