Untersuchung der Periode eines Pendels, Problem bei der Erstellung einer Gleichung zur Summierung der dynamischen Geschwindigkeit

Ich untersuche die Periode eines Pendelschwungs . Dies ist ein einfaches harmonisches Pendel, und ich kenne bereits das übliche, aber etwas ungenaue, 2 π L G Formel.

Mein Problem ist, dass ich nicht herausfinden kann, wie ich die Gesamtstrecke ermitteln kann, die der Bob seit dem Winkel dazwischen zurückgelegt hat F G und die Saite ändert sich ständig, wenn der Bob fällt, und daher ist die Beschleunigung nicht konstant.

Frage: Also, meine Frage ist, wie berechne ich die Entfernung, wenn die Beschleunigung nicht konstant ist?

Anmerkungen:

  • F G ist die Schwerkraft, die den Bob nach unten zieht.

  • Sünde ⁡ θ ist die Tangentialkraft des Pendels und stellt die Kraft dar, die auf den Bob ausgeübt wird und den Schwung verursacht. Es ist die Projektion von F G auf die Saite.

  • θ ist der Winkel dazwischen F G und die Saite

  • Die Bewegung dieses Bobs wird so betrachtet, als würde er von 0 Grad (in Bezug auf den Einheitskreis) fallen gelassen und fortgesetzt, bis er eine Entfernung von erreicht R ∗ π 2 Wo R ist die Länge der Schnur und der Radius der Kreisbahn.

  • Die verwendete Entfernungsformel ist D = v 1 ∗ T + 1 2 ∗ A ∗ T 2 aber da die Anfangsgeschwindigkeit 0 ist, wird sie nicht berücksichtigt. Ich halte diese Formel auch für ungenau, da die Beschleunigung nicht konstant ist.

Diagramm: Meine Überlegungen

Antworten (1)

Da die Beschleunigung nicht konstant ist, müssen Sie von der Bewegungsgleichung ausgehen und diese direkt lösen.

Das geht am einfachsten, wenn man das momentane Kräftegleichgewicht tangential zum Kreis betrachtet. Das Gewicht hat eine Komponente M G Sünde ⁡ θ in dieser Richtung, und die Beschleunigung ist A = R θ ¨ . (Das ist übrigens nicht trivial: Überlegen Sie es sich gut. Tatsächlich ist es auch eine Annäherung .) Das zweite Newtonsche Gesetz lautet dann

θ ¨ = − G R Sünde ⁡ θ .
Jetzt müssen Sie diese Gleichung lösen, die eine Differentialgleichung für die Funktion ist θ = θ ( T ) . Wenn Sie sich in einem Regime mit großen Verschiebungen befinden, können Sie einige Dinge tun (insbesondere können Sie einen schönen Ausdruck für die Umkehrfunktion finden T = T ( θ ) in Bezug auf ein Integral, aber Sie können dieses nicht genau lösen und Sie können die Beziehung nicht umkehren), aber sie sind ziemlich begrenzt.

Wenn Sie sich in einem Regime mit kleinen Verschiebungen befinden, können Sie sich annähern Sünde ⁡ θ ≈ θ , und Sie haben einen harmonischen Oszillator;

θ ¨ = − G R θ .
Beachten Sie, dass die Beschleunigung ist R θ ¨ = − G θ und es ist nicht konstant; sie ist proportional zur Verschiebung, wenn diese klein ist. Das ist viel einfacher zu lösen: Probieren Sie es mit den Funktionen aus θ ( T ) = θ 0 Sünde ⁡ ( ω T ) Und cos ⁡ ( ω T ) ergibt zwei linear unabhängige Lösungen mit ω = G / R , und das reicht aus, um das allgemeine Problem zu lösen.

(Und ja, die Formel D = v 1 T + 1 2 A T 2 ist nur für konstante Beschleunigungen, also können Sie es hier nicht verwenden.)
Ich würde gerne wissen, ob diese Funktion invers ist T = T ( θ ) bestehen oder nicht.
@experimentX Es hängt davon ab, was Sie mit "existieren" meinen. Versuchen Sie zum Beispiel Exakte Lösung für das nichtlineare Pendel, A. Beléndez et al. Rev. BHs. Ensino Fis. 29 Nr. 4 (2007), p. 645-648 .
Die T = T ( θ ) ist selbst eine Näherungsfunktion. Natürlich würde ich eine Annäherungsfunktion erwarten. Scheint, dass es aus der Gleichung existiert ( 31 ) in diesem Papier. (+1)
Ich schätze die sehr ausführliche Antwort Emilio. Ich muss ein paar Anschlussfragen stellen, da ich zu dem, worüber Sie sprechen, noch nicht studiert habe (ich mache Physik im ersten Jahr der High School und dies ist eher eine persönliche Untersuchung, obwohl ich bereits Calculus belegt habe). Später werde ich mir das von Ihnen erwähnte Papier genau ansehen. 1. Das verstehe ich M G ∗ Sünde ⁡ θ Wird die Kraft betrachtet, aber ich weiß nicht, wie Sie sie auf a = rx theta (dots) gebracht haben ? 2. Ich weiß nicht, was die beiden Punkte über Theta anzeigen; könnten Sie bitte näher darauf eingehen? 3. Wie können Sie annähern Sünde ⁡ θ Zu θ
@Klik, es war schwer genau zu wissen, auf welcher Ebene diese Antwort stehen sollte. θ ¨ = D 2 θ / D T 2 ist die zweite zeitliche Ableitung von θ ; Sünde ⁡ θ nähert sich an θ für kleine Winkel . Ich sollte Sie wirklich auf Ihr nächstgelegenes Lehrbuch verweisen, um ehrlich zu sein! Wie gut ist Ihr Kalkül?
Ich habe 95 % in Calculus und es schien ein ziemlich detaillierter Kurs zu sein. Es enthielt keine Integrale, aber ich verstehe, dass Integrale Stammfunktionen sind (dh das Integral der Beschleunigung ist die Geschwindigkeit). Mit welcher Gleichung hast du die Ableitung von for gebildet? θ ? Ich hatte dafür eine Gleichung aufgestellt θ = A R C l e N G T H R A D ich u S aber ich bin da in meiner Gleichung für die Entfernung hängen geblieben, es hängt davon ab θ und meine Gleichung für θ abhängig vom Abstand (Bogenlänge).
Nun, Sie sollten sich wirklich festlegen R = ( R cos ⁡ θ , R Sünde ⁡ θ ) als die 2D-Koordinaten des Bobs. Sie differenzieren dann zweimal, um zu finden R ¨ (in Erinnerung daran R konstant ist), was der Beschleunigungsvektor ist. Setzen Sie dies mit dem Kraftvektor gleich und projizieren Sie auf den Vektor ( − Sünde ⁡ θ , cos ⁡ θ ) Tangente an den Kreis (beachten Sie jedoch, dass Sie einige Terme vernachlässigen und approximieren müssen!).
Oh, ich verstehe ... Bitte korrigieren Sie mich, wenn ich falsch liege. Wenn Sie differenzieren R zweimal bzgl θ dann bekommst du die beschleunigung der drehung (vom mittelpunkt aus) als θ Änderungen. Dies wäre ein generischer Beschleunigungsvektor eines Kreises in Bezug auf die Winkeländerung. Es besteht eine Beziehung zwischen dieser Änderungsrate und dem Anteil der Gravitationskraft, der im Laufe der Zeit auf die Tangentialkraft des Bobs projiziert wird.
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