Maximierung der Flugzeit in der Projektilbewegung [geschlossen]

Ist ( oder wie ) ist es möglich, die Flugzeit des Projektils unter den folgenden Bedingungen zu maximieren ?

Gegeben :

  1. Fester horizontaler Bereich

  2. Intervall, in dem die Geschwindigkeit liegt

Lassen Sie die Reichweite beispielsweise 100 Fuß betragen. Die Projektilgeschwindigkeit liegt im geschlossenen Intervall [40√2,80] F T S . Die gegebene Erdbeschleunigung ist 32 F T S 2 . Wenn man dann die Reibungskräfte ( genauer gesagt den viskosen Widerstand ) außer Acht lässt, was wird der maximale Wert der Flugzeit des Projektils sein?

Wenn Sie die Flugzeit maximieren möchten, entspricht dies der Maximierung der y-Komponente der Anfangsgeschwindigkeit, nicht wahr?
Wählen Sie die maximale Geschwindigkeit im zulässigen Bereich. Das muss sein ≥ 4 G R Wo R ist Reichweite. Für diese Geschwindigkeit der Startwinkel θ muss so sein R = v 2 G Sünde ⁡ 2 θ . Die maximale Flugzeit ist dann T = 2 v G Sünde ⁡ θ .
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Antworten (2)

Die Reichweite ist gegeben durch

R ( v 0 , θ 0 ) = v 0 2 Sünde ⁡ 2 θ 0 G

Die Flugzeit ergibt sich aus:

τ ( v 0 , θ 0 ) = 2 v 0 Sünde ⁡ θ 0 G

Die maximale Punktzahl ergibt sich aus:

∇ τ ( v 0 , θ 0 ) = 0

Unsere Einschränkung hier ist das R Ist repariert. So λ R ist auch fest. Also füge es hinzu τ ( v 0 , θ 0 ) ändert sich nicht ∇ τ ( v 0 , θ 0 ) .

Lagrange hat diesen Trick erfunden. Das λ ist die Ausgleichskonstante, die die Einheiten, Skalierungen usw. korrigiert. Jetzt verwenden wir is.

∇ ( τ ( v 0 , θ 0 ) + λ R ) = 0

∇ ( 2 v 0 Sünde ⁡ θ 0 G + λ v 0 2 Sünde ⁡ 2 θ 0 G ) = 0

∇ ( 2 v 0 Sünde ⁡ θ 0 + λ v 0 2 Sünde ⁡ 2 θ 0 ) = 0

( Sünde ⁡ θ 0 + λ v 0 Sünde ⁡ 2 θ 0 , cos ⁡ θ 0 + λ v 0 cos ⁡ 2 θ 0 ) = 0

gibt,

− λ v 0 = 1 2 cos ⁡ θ 0     ,     cos ⁡ θ 0 = − λ v 0 cos ⁡ 2 θ 0

Sünde 2 ⁡ θ 0 + cos 2 ⁡ θ 0 = 1     ,     v 0 = − 1 2 λ cos ⁡ θ 0

Angesichts L − ≤ v 0 ≤ L + , wir bekommen,

− 1 2 λ L + ≤ cos ⁡ θ 0 ≤ − 1 2 λ L −

So θ 0 kann alles sein, solange es die obige Bedingung erfüllt, und in der oberen Zeile haben wir v 0 als Funktion von θ 0 . Also alles gelöst.

Bis auf eine Sache habe ich nicht studiert, wie man findet λ noch. :D Tut mir leid. Andere, die mit der Methode von Lagrange vertraut sind, können mir helfen, meine Antwort zu vervollständigen.

Ich denke nicht, dass es notwendig sein sollte, Lagrange-Multiplikatoren zu verwenden, um die Antwort zu erhalten. Siehe meinen Kommentar oben. Das Maximieren der Flugzeit ist äquivalent zum Maximieren der y-Komponente der Anfangsgeschwindigkeit unter der Bedingung, dass die Reichweite 100 Fuß beträgt. Dies sollte eine relativ einfache Berechnung auf der Rückseite des Umschlags sein.
Ich habe die Methode gefunden. Lassen Sie mich es beenden und sehen, ob unsere Antworten übereinstimmen. dann musst du recht haben.

Verwenden Sie die Trajektoriengleichung für eine gleichmäßige Beschleunigung und nehmen Sie den Ableitungssatz auf Null, um kritische Punkte zu finden. Maximal verwenden. Normalerweise ist Theta 45, wenn man den Luftzug ignoriert.

Da hier die Geschwindigkeit eingeschränkt und die Reichweite festgelegt ist, kann der Winkel etwas anderes als 45 sein.
Daher mein Vorschlag, die Ableitung zu nehmen, um max t innerhalb des Geschwindigkeitsbereichs zu finden. Diese Einschränkungen sind nicht gut definiert, sind es zwei mögliche Vektorgrößen oder x- und y-Komponenten? Und sorry, aber ohne Luftwiderstand wird der Winkel 45 als optimaler Flugbahnwinkel akzeptiert. Auch hier ist die Lösung die Ableitung, um das Maximum zu finden.
@ShuddaBeenCodin - 45 Grad ist der Winkel für die maximale Entfernung (ohne Luftwiderstand). Die Frage fragt nach dem Winkel für die maximale Flugzeit mit bestimmten Einschränkungen, nicht nach dem Winkel der maximalen Entfernung.
Ok, ich dachte, ich hätte klargestellt, dass die Lösung darin besteht, den maximal kritischen Punkt zu finden, indem die Ableitung der auf Null gesetzten Flugbahn verwendet wird. Entschuldigung, wenn ich unklar war.
Maximierung der Flugzeit in der Projektilbewegung [geschlossen]
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