Wie lauten die skalaren Gleichungen für Geschwindigkeit und Verschiebung, wenn die Beschleunigung dem Abstandsgesetz folgt?

In Physik/Rechnenlehre an der Oberstufe lernen Sie, dass Sie Gleichungen für Geschwindigkeit und Verschiebung unter konstanter Beschleunigung formulieren können als:

A ( T ) = A 0

v ( T ) = A 0 T + v 0

X ( T ) = 1 2 A 0 T 2 + v 0 T + X 0

Meine Frage ist, wie würden Sie eine ähnliche Gleichung formulieren, wenn die Beschleunigung vom umgekehrten Quadrat der Entfernung von einem Punkt abhängt, wie z. B. dem Coulomb-Gesetz oder dem umgekehrten Quadratgesetz der universellen Gravitation von Isaac Newton?

Wo:

A ( X ) = k / X 2

v ( T ) = ? + v 0

X ( T ) = ? + X 0

Auch bilde ich mir ein, dass es da keine Lösung geben kann X nähert sich Null und die Beschleunigung geht gegen unendlich. Aber nehmen wir an, wir haben zwei positive Ladungen, die in einiger Entfernung ruhen R voneinander entfernt im endlosen Raum. Was wird ihre Verdrängung zu einem späteren Zeitpunkt sein? T ?

Das ist eine interessante Frage, die durchaus diskutiert werden kann. Die Antwort ist nicht einfach (in dem Sinne, dass Sie keinen einfachen Ausdruck für x(t) haben) und erfordert außerdem zumindest operative Kenntnisse der Analysis. Wie gut kennst du dich aus?
Bei so etwas wie einem Planeten nähert sich x NICHT Null. „x“ wird vom Zentrum des Planeten aus gemessen, sodass die Oberfläche des Planeten begrenzt, wie tief „x“ sinken kann.
@DavidWhite Für einen Planeten gibt es eine andere einfache harmonische Gleichung, die beschreiben würde, was passieren würde, wenn Sie ein Loch durch den Erdmittelpunkt bohren würden. Aber was ist mit einem sehr kleinen geladenen Teilchen ohne Radius, wie einer Punktladung?
Für Punktladungen gilt das umgekehrte quadratische Gesetz, bis Sie der Ladung sehr nahe kommen. An diesem Punkt nähern sich abstoßende oder anziehende Kräfte der Unendlichkeit, wenn „x“ sich Null nähert. Natürlich wechselt man in der realen Welt in diesem Fall von der Newtonschen Mechanik (dem Gesetz der umgekehrten Quadrate) zur Quantenmechanik.

Antworten (1)

Seit A = D v D T = D X D T D v D X = v D v D X = D D X ( 1 2 v 2 ) , Integration gibt v 2 = v ∞ 2 − 2 k X . Dann T = ∫ D X v = ∫ D X v ∞ 2 − 2 k X . Wenn Sie dieses Integral auswerten (Hinweis: substituieren X = 2 k v ∞ 2 csc 2 ⁡ θ ), du wirst haben T als Funktion von X , Nicht umgekehrt.

Ich verstehe diese Mathematik nicht wirklich, aber ich versuche, einen Partikelbewegungssimulator zu erstellen, der dieses Gesetz des umgekehrten Quadrats verwendet, und wenn ich einfach die Zeit schneide und dann zu einem bestimmten Zeitpunkt Beschleunigung verwende, werden die Geschwindigkeiten der Partikel extrem hoch Partikel kommen dicht zusammen und verlassen sie am Ende mit viel höheren Geschwindigkeiten, als wenn sie sich einander näherten. Wollen Sie damit sagen, dass es nicht möglich ist, 'a' als Funktion von 't' zu erhalten?
@NickSotiros Seit wir bekommen können T als Funktion von X , können wir auch bekommen v = 1 / ( D T / D X ) als Funktion von X , dann bekommen A = D ( v 2 / 2 ) / D X als Funktion von X . Ich denke mit etwas Mühe bekommt man das auch hin X , somit A , als Funktion von T .
Wie lauten die skalaren Gleichungen für Geschwindigkeit und Verschiebung, wenn die Beschleunigung dem Abstandsgesetz folgt?
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