Ich habe Arnolds Mathematical Methods in Classical Mechanics gelesen und es ist mir nicht klar, was genau er zu erreichen versucht, indem er einen affinen Raum einführt, um die Menge aller "Positionen im Universum" zu modellieren. Es ist sicherlich ein intuitiveres Modell der Welt, das nicht mehr Struktur als erforderlich voraussetzt, aber gleich nach der Einführung der affinen Struktur fährt er fort, „Bewegung“ als eine glatte Karte zu definieren aus irgendeinem Intervall zum Vektorraum . Die Geschwindigkeit und Beschleunigung sind als Ableitungen dieses Kennfelds definiert. Danach bezieht er sich meiner Meinung nach nirgendwo anders im Buch auf die Affine-Struktur und spricht nur über die Karte .
Fragen -
1) Was genau ist die Bewegungskarte? soll sein? Ist es als eine Art Verschiebungsvektor zu interpretieren, der sich im Laufe der Zeit entwickelt und uns die Nettoverschiebung eines bestimmten Teilchens liefert? Ist dies außerdem ein Element des Vektorraums, das auf den affinen Raum einwirkt, um Übersetzungen zu erzeugen?
2) Was genau ist der strukturelle Unterschied, der dadurch entsteht, dass man einen affinen Raum von Positionen anstelle eines Vektorraums hat? Ist es nur so, dass wir von weniger Struktur ausgehen, oder gibt es eine echte Motivation, es einzuführen?
Arnolds Ziel ist es, Raum und Raumzeit koordinatenfrei zu modellieren. Dazu identifiziert er Orte und Ereignisse als Punkte in abstrakt affinen Räumen ( bzw).
Das Problem ist, wenn Sie Koordinaten entfernen, wird es sehr schwierig, viele wichtige dynamische Konzepte und Größen (z. B. Kraft und Beschleunigung) zu definieren, ohne übermäßig abstrakt zu werden.
Um dies zu umgehen, richten Sie eine Bijektion zwischen dem abstrakten affinen Raum ein und einem konkreten (koordinierten) affinen Raum . Sie können sich letzteres als ein numerisches Gitter vorstellen, das über dem ersteren platziert wird. Sie können jetzt Ihre dynamischen Konstrukte in Form von Koordinaten definieren (z. B. indem Sie die Vorteile der Analysis nutzen) und ihre abstrakten Gegenstücke indirekt definieren.
Um Ihr Beispiel zu verwenden, eine Bewegung (eines einzelnen Partikels) wird von Arnold als Karte definiert , was offensichtlich eine Definition im Koordinatenraum ist . Wenn Sie jedoch weiterlesen, werden Sie sehen, dass er eine Weltlinie als eine Kurve im affinen Raum beschreibt, die als Bewegung im Koordinatenraum erscheint .
Eine Weltlinie wird dabei koordinatenfrei definiert, indem der Begriff einer Bewegung als Gerüst verwendet wird. Dies gibt Ihnen eine Vorstellung davon, wie abstrakte, koordinatenfreie Definitionen häufig erhalten werden, indem Definitionen in kanonischen Koordinatenräumen „zurückgezogen“ werden.
Es lohnt sich, sich damit auseinanderzusetzen, denn genau so verhält es sich im Fach Differentialgeometrie , wo koordinatenfreie Mannigfaltigkeiten (zB Raum und Raumzeit darstellend) durch Einarbeiten in ein Koordinatenbild und anschließendes Ziehen allerlei aufwendige Strukturen erhalten das Ergebnis auf die Mannigfaltigkeit zurückführen (und umgekehrt).
Es liegt zwar nicht falsch, sich eine Bewegung als eine kontinuierliche Folge von Verschiebungsvektoren vorzustellen, aber die Interpretation, die ich hier skizziere, bereitet Sie viel besser auf das Studium der Differentialgeometrie vor, die das Herz und die Seele praktisch der gesamten Physik ist.