Mindestabstand zwischen zwei durch eine Feder befestigten Körpern

Das ist meine Lösung. Ort$m$nach links durch die Koordinate beschrieben$x_1$Und$M$nach rechts, beschrieben durch die Koordinate$x_2$, beide Koordinaten nach rechts steigend. Nehmen$\vec{F}$zu handeln$M$nach rechts u$\eta_0$um die natürliche Trennung der Quelle zu sein. Schließlich nehmen$x$der Schwerpunkt des Systems sein und$\eta$der Abstand zwischen beiden Massen sein, so dass die Federkraft eindeutig groß ist$\|\vec{F}_s\|=k|\eta-l|$.

Zuerst analysieren wir die Bewegung des Massenmittelpunkts. Da die konstante Kraft$\vec{F}$ist die einzige externe Kraft, die wir haben

$$(m+M)\ddot{x}=F\implies \ddot{x}=\frac{F}{m+M}$$

Dann schreiben wir die Koordinaten$x_1$Und$x_2$bezüglich$x$Und$\eta$. Aus unseren Definitionen haben wir

$$(m+M)x=mx_1+Mx_2$$ $$\eta=x_2-x_1$$ Richten wir unsere Aufmerksamkeit auf $x_1$(wenn Sie das gleiche Verfahren mit machen $x_2$Sie erhalten die gleiche Antwort). Dieses Gleichungssystem kann invertiert werden, um zu ergeben $$(m+M)x_1=(m+M)x-M\eta$$ Durch zweimaliges Differenzieren erhalten wir $$(m+M)\ddot{x}_1=(m+M)\ddot{x}-M\ddot{\eta}=F-M\ddot{\eta}$$ Nun richten wir unsere Aufmerksamkeit auf die Masse $m$, haben wir das zweite Newtonsche Gesetz $$m\ddot{x}_1=\frac{m}{m+M}(F-M\ddot{\eta})=k(\eta-l)$$ Auflösen für $\eta$man kommt an $$\ddot{\eta}+\frac{m+M}{mM}k\eta=\frac{F}{M}+\frac{m+M}{mM}kl$$ Durch Definieren $\omega=\sqrt{k\frac{m+M}{mM}}$, ist die Lösung dieser Differentialgleichung $$\eta(t)=A\cos(\omega t+\phi)+\frac{F}{M\omega^2}+l$$ Das ist leicht zu sehen $$\dot{\eta}(t)=-A\omega\sin(\omega t + \phi)$$ Da das System im Ruhezustand startet, $$\dot{\eta}(0)=0=-A\omega\sin(\phi)\implies\phi=k\pi,\quad k\in \mathbb{Z}$$ Und $$\eta(0)=l=A\cos(k\pi)+\frac{F}{M\omega^2}+l\implies A=\pm\frac{F}{m\omega^2}$$ Daher sind das Maximum und das Minimum $$\eta_{\text{max}}=\frac{2|F|}{M\omega^2}+l$$ $$\eta_{\text{min}}=l$$ Ich hoffe, das ist nützlich!