Wie schreibt man das 2. Newtonsche Gesetz in der Formensprache?

Das sagt das zweite Newtonsche Gesetz F = M A .

Angenommen, die Kraft ist konservativ und kann daher in Form eines Potentials ausgedrückt werden v wir haben das F = − D v .

Wir haben das v , da es sich um eine Funktion handelt, kann auch als 0-Form betrachtet werden; So D v , und deshalb F ist eine 1-Form.

Das sollten wir also bedenken M A muss als 1-Form ausgedrückt werden; der natürliche Vorschlag ist A D X ; Aber A ist eine zweite Ableitung.

Wie drücke ich aus A als 1-Form natürlich?

Mögliche Duplikate: physical.stackexchange.com/q/54912/2451 und Links darin.

Antworten (2)

Meiner Meinung nach macht die Newtonsche Gleichung als Gleichung von Vektorfeldern am meisten Sinn. Lassen ( M , G ) eine (Pseudo-)Riemannsche Mannigfaltigkeit mit Riemannschem Zusammenhang sein ∇ . Dann die Bewegungsgleichungen für eine ortsabhängige konservative Kraft F werden von gegeben

M γ ∇ D D T D γ D T = F ∘ γ = − ( ∇ v ) ∘ γ ,
Wo γ : R ⊃ ICH → M ist die gesuchte Kurve, γ ∇ D D T ist der Rückzug der Riemannschen Verbindung, und ∇ v das Gradientenvektorfeld von ist v definiert durch D v ( ⋅ ) = G ( ∇ v , ⋅ ) .

Wenn Sie dies nun in Form von Differentialformen schreiben möchten, müssen Sie umwandeln γ ∇ D D T D γ D T in die Formensprache. Überlegen Sie so etwas wie

M ( G ∘ γ ) ( γ ∇ D D T D γ D T , ⋅ ) = − ( D v ∘ γ ) ( ⋅ )
als Gleichung für Differentialformen entlang γ natürlich? Ich nicht, und ich sehe keinen "natürlichen" Weg, dies zu umgehen.

Du kannst schreiben

D v = − M v D v

Wo v ist die Geschwindigkeit.

Können Sie die Formel erläutern, die Sie in Ihrer Antwort geschrieben haben? Übrigens lesen Sie bitte diesen Hilfebeitrag, um zu lernen, wie Sie Ihre Gleichungen schöner schreiben können, dh in L A T E X , um die Lesbarkeit zu verbessern. Ich habe es dieses Mal für dich gemacht, aber es ist besser, wenn du es selbst machst. Danke!
Wie schreibt man das 2. Newtonsche Gesetz in der Formensprache?
AntwortenHierDatenschutz-Bestimmungen1y, 0v