Warum wird die Produktregel nicht in der Definition der mechanischen Arbeit verwendet?

Mechanische Leistung wird normalerweise definiert als$P = \mathrm{d}W/\mathrm{d}t$, und Arbeit wird normalerweise definiert als$W = \vec F \cdot \vec x$. Heute wies ein Student auf eine Verwirrung hin, die er aus dem E&M-Buch von Griffiths hatte, wo er die Linie hat

Das ist eine Definition von Macht, die ich schon einmal gesehen habe. Aber der Student war verwirrt, weil es so aussieht, als ob Sie eine zeitabhängige Kraft haben$\vec F(t)$, sollte die Mathematik wie folgt funktionieren:

(Aus der Produktregel.)

Ich habe die obige Formel jedoch noch nie gesehen, daher vermute ich, dass sie falsch ist. Außerdem kollidiert es mit der$\vec F \cdot \vec v$Version, von der ich mir ziemlich sicher bin, dass sie mit einer zeitabhängigen Kraft einwandfrei funktioniert.

Ich habe ihm eine ziemlich schwache Antwort gegeben und ihn gewarnt, dass es wahrscheinlich nicht richtig ist: Ich habe ihm gesagt, dass, wenn Sie mit der differentiellen Form der Arbeit beginnen,$dW = \vec F \cdot d \vec x$, es scheint anzunehmen, dass die Kraft in diesem Winzling gleich bleibt$d\vec x$, also ist es dort konstant, und dann werden beide durch dividiert$dt$gibt Ihnen die Gleichung, nach der wir suchen.

Wikipedia scheint etwas Ähnliches zu sagen, im Grunde mit dem Schritt von$d\vec x = \vec v \ dt$zu bekommen$\vec F \cdot \vec v$, was auch davon ausgeht$\vec v$ist ständig vorbei$d \vec x$.

Unter der Annahme, dass einer von ihnen richtig ist, sehe ich, wie sie werden$\vec F \cdot \vec v$. Aber was ist der Fehler in der Sache mit den Produktregeln?