Warum muss der Arbeitsenergiesatz innere Kräfte enthalten?

Dies ist eine bizarre Frage.

Die Newtonschen Gesetze beinhalten innere Kräfte. Das dritte Newtonsche Gesetz hebt jedoch zufällig ihre Gesamtwirkung auf einen Massenschwerpunkt auf . Aber wenn Sie die Bewegungen der Bestandteile des Systems verstehen wollen, müssen Sie ihre inneren Kräfte verstehen.

Nehmen wir also an, wir haben eine Ansammlung von Teilchen$\{i\}$mit Massen$m_i$und (Vektor-)Positionen$x_i$jeder spürt äußere Kräfte$F_i$und innere Kräfte$V_{ij} = -V_{ji}.$Wir beschreiben sie normalerweise ganz als Masse$M = \sum_i m_i$an der Schwerpunktposition$X = \sum_i \frac{m_i}M x_i.$Die Newtonschen Gesetze besagen, dass die EOM für den Massenschwerpunkt (mit Punkten als Zeitableitungen)

$$M \ddot X = \sum_i m_i \ddot x_i = \sum_{i}\left(F_i + \sum_j V_{ij}\right) = \sum_i F_i = F.$$ Hier $F$ist die "effektive Kraft" auf den Massenmittelpunkt. Etwas detaillierter könnten wir diese Stornierung als "seit $V_{ij} = -V_{ji}$Wir können den Durchschnitt zwischen diesen finden $V_{ij} = (V_{ij} - V_{ji})/2,$dann wenn wir rechnen $\sum_{ij} V_{ij}$wir erweitern es in diese beiden Begriffe, $\left(\sum_{ij} V_{ij} - \sum_{ji} V_{ji}\right)/2.$Im zweiten Term benennen wir um $i \leftrightarrow j$gleichzeitig und wir finden $\sum_{ij} (V_{ij} - V_{ij})/2 = \sum_{ij} 0 = 0$direkt." In ein oder zwei Absätzen werde ich dies den "antisymmetrischen Aufhebungstrick" nennen.

Ebenso können wir den üblichen Arbeit-Energie-Trick anwenden und beide Seiten mit multiplizieren$\dot X,$nachgeben

$$\frac{dK}{dt} = \frac d{dt} \left( \frac 12 M \dot X ^2 \right) = F \dot X = P$$ wo hier $K$bedeutet "die kinetische Energie des Massenschwerpunkts" und $P$bedeutet "die Kraft der wirksamen Kraft auf den Massenmittelpunkt". Es gibt jedoch eine Menge kinetischer Energie im System, die auf diesem Bild nicht zu sehen ist! Der einfachste Weg, darüber nachzudenken, ist, sich ein Kreisel vorzustellen, das sich dreht, aber stillsteht: Die gesamte kinetische Rotationsenergie wird von diesem Bild ignoriert.

Wenn wir stattdessen die gesamte kinetische Energie wollen , dann stellen wir fest, dass dies der Fall ist

$$T = \sum_i\frac 12 m_i \dot x_i^2 = \sum_i \left( F_i \dot x_i+ \sum_j V_{ij} \dot x_i \right)$$ Der $V_{ij}$Terme verschwinden hier nicht durch den antisymmetrischen Streichungstrick! Das liegt daran, dass Sie bekommen $\sum_{ij} V_{ij} (\dot x_i - \dot x_j) / 2$nach der Umetikettierung, aber dafür gibt es keine Garantie $\dot x_i = \dot x_j.$

Ich werde nur ein paar Beispiele geben: Fälle, in denen es offensichtlich ist, dass die inneren Kräfte den kinetischen Energiezustand des gesamten Systems ändern.

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• Stellen Sie sich ein System aus zwei Massen vor, die auf einer reibungsfreien, horizontalen Oberfläche ruhen, wobei eine leichte Feder zwischen ihnen gehalten wird, aber mit keiner der Massen verbunden ist. Im Ausgangszustand wird die Feder durch einen Riegelmechanismus straff gewickelt gehalten und ist dauerhaft an einer der Massen befestigt. Die anfängliche kinetische Energie und Impuls ist Null. Wenn die Feder losgelassen wird, werden die beiden Massen auseinander geschleudert (durch innere Kräfte, die positive Netzarbeit leisten) und bewegen sich auseinander. Der Impuls des Endzustands ist Null, aber die kinetische Energie (die gesamte Energie) ist positiv.

• Stellen Sie sich eine ringförmige, sich drehende Raumstation vor. Geben Sie ihm zwei Aufzüge für Symmetrie und lassen Sie jeden gleichzeitig eine Masse anheben$m$von der Felge bis zur Nabe. Berechnen Sie die Änderung der kinetischen Winkelenergie, wenn dies geschieht, und vergleichen Sie sie mit der Arbeit, die beim Anheben der Massen geleistet wird. Auch hier leisten innere Kräfte positive Arbeit, was zu einer Erhöhung der gesamten kinetischen Energie führt.

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Newtons 3. sagt Ihnen, dass das System Impuls und nicht Energie konserviert hat. Dies liegt zum Teil daran, dass die kinetische Energie eine positiv definierte Größe ist.

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Ich fange einige Kritik für Benutzer ein, die das Arbeitsenergie-Theorem so interpretieren, dass es die interne kinetische Energie des Systems ausschließt. Das ist nicht die Regel, die Goldstein oder Marion & Thornton anwenden.

Insbesondere schreibt Goldstein (in Abschnitt 1.2 (über Teilchensysteme) der 2. Auflage, Seite 9 in meinem Exemplar)

Daher kann die geleistete Arbeit immer noch als Differenz der kinetischen End- und Anfangsenergie geschrieben werden

$$W = T_2 - T_1$$ Wo $T$, die gesamte kinetische Energie des Systems , ist $$T = \frac{1}{2}\sum_i m_i v_i^2 \,.$$

Die Betonung liegt hier bei mir. Diese Definition beinhaltet eindeutig die interne kinetische Energie des Systems im Arbeits-Energie-Theorem, und dies erfordert die Einbeziehung der internen Kraft, wie oben beschrieben.

Ich nehme an, es ist möglich, dass es dazu zwei Lager gibt (ich habe keine Referenzen, die die andere Form angeben, daher kann ich es nicht mit Sicherheit sagen), aber wenn ja, sind die Professoren des OP eindeutig im selben Lager wie Goldstein und Marion & Thornton. Die andere Interpretation stößt auf ernsthafte Probleme, sobald Sie Systeme rollen lassen. In diesem Fall wird die externe Arbeit in kinetische Translations- und Rotationsenergien unterteilt, sodass wir die internen Bewegungen in die Berechnung einbeziehen müssen , damit das Arbeits-Energie-Theorem wie angekündigt funktioniert.