Arbeit, die an einem Objekt ausgeführt wird, während es angehoben wird

Question

Arbeit, die an einem Objekt ausgeführt wird, während es angehoben wird

Kinka-Byo

Stellen Sie sich vor, Sie würden ein Objekt mit Masse anheben $m$ aus der Höhe $h_1$ zur Höhe $h_2$ und die Reibung mit Luft vernachlässigen. Wie viel Arbeit haben Sie an dem Objekt geleistet?

Meine Antworten (große Zweifel in der zweiten!):

Antwort 1. Lassen Sie uns zuweisen $0$ zur Gravitationspotentialenergie des Objekts in der Höhe $h_1$ . Da ist es nach wie vor hypothetisch seine mechanische Energie $E_1$ ist rein potenziell daher in dieser Situation ist $0$ :

E_{1} = 0

$E_1 = 0$

Am Ende ist das Objekt immer noch daher seine mechanische Energie $E_2$ ist rein potentiell, das heißt, es ist gleich:

E_{2} = M G (H_{2} - H_{1})

$E_2 = mg(h_2-h_1)$

Daher ist die am Körper verrichtete Arbeit:

W = E_{2} - E_{1} = M G (H_{2} - H_{1})

$W = E_2 - E_1 = mg(h_2-h_1)$

Hinweis: Ich würde sagen, diese Menge entspricht nicht der Arbeit des Hebers, da er die Menge ersetzen sollte $m$ mit der Gesamtmasse des Objekts plus dem Körperteil, den der Heber zusammen mit dem Objekt bewegt, um den Hebevorgang auszuführen.

Antwort 2 . Bewerten wir die Arbeit anhand ihrer Definition und nicht anhand des Energie-Arbeits-Theorems:

W = \int_{H_{1}}^{H_{2}} \vec{F} \cdot D \vec{S}

$W = \int_{h_1}^{h_2} \vec F \cdot d \vec s$

Erster Zweifel : Um das gleiche Ergebnis wie Antwort 1 zu erhalten, muss ich an dieser Stelle davon ausgehen $\vec F$ Und $d \vec s$ sind parallel. Das bedeutet, dass die Kraft vertikal sein muss, da Sie das Objekt hypothetisch auf einem vertikalen Weg anheben. Warum ignoriert Antwort 1 eine solche Annahme?

Setzen wir die Auswertung mit einer solchen Annahme fort:

W = \int_{H_{1}}^{H_{2}} F D S

$W = \int_{h_1}^{h_2} F ds$

Jetzt sollte ich aufhören. Ich erhalte den gleichen Arbeitsaufwand wie Antwort 1, wenn ich die Substitution vornehme $F = mg$ . Aber das ist nicht richtig. In der Tat, wenn sich das Objekt bewegt $h_1$ Zu $h_2$ , das ist, weil die Kraft $F$ höher ist als die Gewichtskraft des Objekts. Und dann reduziert sich eine solche Kraft auf das Gewicht des Objekts, wenn das Objekt still in der Höhe gehalten wird $h_2$ . Mit anderen Worten, ich würde sagen, dass die Kraft $F$ ist entlang der Bewegung nicht konstant ( $F = F(s)$ ):

W = \int_{H_{1}}^{H_{2}} F (S) D S

$W = \int_{h_1}^{h_2} F(s) ds$

Am Anfang ist es höher als $mg$ , am Ende ist es gleich $mg$ .

Zweiter Zweifel : Wie kann der Bereich von F (Integral) im Pfad gleich der von geleisteten Arbeit sein? $mg$ wenn F am Anfang größer und gleich ist $mg$ Am Ende? Es sollte einen Moment geben, wenn $F(s)$ wird niedriger als $mg$ . Ich stelle mir vor, dass dies vor dem Ende passieren könnte, als eine Art Versuch, das Objekt zu verlangsamen. Wenn wir das Objekt mit beschleunigen würden $F > mg$ und dann eine Kraft anwenden $F = mg$ , würde es sich aufgrund des ersten Newtonschen Gesetzes weiterbewegen. Also, das würde ich sagen $F$ muss wachsen, abnehmen und aufhören $mg$ , mit der Eigenschaft, die gleiche Fläche zu haben $mg$ .

Ich denke, es kann eine richtige Analyse sein. Aber ich bin mir nicht sicher, da ich dieses "wellige" Verhalten meiner Kraft nicht wahrnehmen kann $F$ Wenn ich einen Gegenstand hebe :(

Soham Patil

Sie haben absolut Recht, aber nehmen Sie an, ob Sie die Kraft anwenden

F = m g + ϵ

$F=mg+\epsilon$ aber auf diese Weise gibst du dem Körper eine kinetische Energie

ϵ (h_{2} - h_{1})

$\epsilon(h_2-h_1)$ aber wir nehmen an, dass der Prozess so langsam abläuft, dass die

ϵ

$\epsilon$ ist sehr klein im Vergleich zur Kraft.

gs

Wenn Sie wollen, dass ds ein beliebiges Differentialelement der Weglänge bleibt, müssen Sie ein Wegintegral verwenden (und einen Computer, um es zu lösen, es sei denn, Ihr Weg hat eine geeignete Symmetrie). Wenn Sie nur über die Höhe integrieren ,

d \vec{s}

$d\vec s$ kann nur das differentielle Element der Höhe sein , also

\vec{F} \cdot d \vec{s}

$\vec F \cdot d\vec s$ Ist

F s i n (θ) d h

$Fsin(\theta) dh$

Kinka-Byo

@gs Ich habe implizit angenommen, dass F konservativ ist ... Ist es falsch?

Antworten (2)

Arbeit, die an einem Objekt ausgeführt wird, während es angehoben wird

Sie haben absolut Recht, aber nehmen Sie an, ob Sie die Kraft anwenden $F=mg+\epsilon$ aber auf diese Weise gibst du dem Körper eine kinetische Energie $\epsilon(h_2-h_1)$ aber wir nehmen an, dass der Prozess so langsam abläuft, dass die $\epsilon$ ist sehr klein im Vergleich zur Kraft.
Wenn Sie wollen, dass ds ein beliebiges Differentialelement der Weglänge bleibt, müssen Sie ein Wegintegral verwenden (und einen Computer, um es zu lösen, es sei denn, Ihr Weg hat eine geeignete Symmetrie). Wenn Sie nur über die Höhe integrieren , $d\vec s$ kann nur das differentielle Element der Höhe sein , also $\vec F \cdot d\vec s$ Ist $Fsin(\theta) dh$
@gs Ich habe implizit angenommen, dass F konservativ ist ... Ist es falsch?

Johannes Jäger · Answer 1

Das Objekt konnte abgehoben werden $h_1$ Zu $h_2$ langsam, ohne viel kinetische Energie zu erzeugen (blaue Linie), hier entspricht die Kraft dem Gewicht. Die Antworten 1) und 2) wären gleich.

Wenn beim Start eine höhere Kraft als nötig aufgebracht würde (rote Linie), würde das Objekt zunächst viel kinetische Energie gewinnen, um dann die Kraft zu reduzieren, wenn das Objekt ins Ziel kommen soll $h_2$ ohne kinetische Energie.

Oder die gelbe Linie könnte ein realistischer Fall sein, es wird etwas kinetische Energie erzeugt, aber nicht viel.

Wenn die Fläche unter den Linien gleich ist, endet das Objekt bei $h_2$ jeweils ohne kinetische Energie.

Der Bereich unter den Linien stellt die am Objekt geleistete Arbeit dar.

Die Arbeit, die im „roten Aufzug“ für die erste Hälfte des Aufzugs geleistet wird, ist also größer als im blauen Aufzug. Da das Objekt in beiden Fällen auf halbem Weg die gleiche Höhe erreicht, wurde im roten Fall während der ersten Hälfte des Auftriebs kinetische Energie erzeugt.

Biophysiker · Answer 2

Das bedeutet, dass die Kraft vertikal sein muss, da Sie das Objekt hypothetisch auf einem vertikalen Weg anheben. Warum ignoriert Antwort 1 eine solche Annahme?

Dies wird ignoriert, da Sie tatsächlich davon ausgehen, dass die von Ihnen verwendete Kraft genau gleich und entgegengesetzt zur Gewichtskraft ist. Aber technisch gesehen betrachtet Ansatz 1 nur die Arbeit, die von der Schwerkraft geleistet wird, nicht von Ihnen, wenn Sie das Objekt anheben.

Also, das würde ich sagen $F$ muss wachsen, abnehmen und aufhören $mg$ , mit der Eigenschaft, die gleiche Fläche zu haben $mg$ .

Wenn Sie zuerst eine Kraft anwenden, die größer ist als $mg$ , dann müssten Sie irgendwann eine Kraft von weniger als aufbringen $mg$ um das Objekt zum Stillstand zu bringen.

Sie haben das Problem mit solchen Fragen aufgedeckt, das für Schüler (und Lehrer), die tatsächlich aufpassen und nicht nur "stecken und tuckern", wirklich verwirrend ist: Uns wird nicht mitgeteilt, in welchem Endzustand sich das Objekt befindet, das angehoben wird. Wir könnten das Objekt einfach nach oben schleudern und so weiter $h_2$ wir haben eine Menge Arbeit geleistet. Die Aufgabe sollte entweder angeben, dass das Objekt im Ruhezustand beginnt und endet, oder es sollte fragen, wie viel Arbeit Sie mindestens tun müssen, um das Objekt abzuheben $h_1$ Zu $h_2$ . Dies ist höchstwahrscheinlich das, was der Autor der Frage im Sinn hatte, wo die eigentlich richtige Antwort ist $mg\Delta h$

Anmerkung: Ich würde sagen, diese Menge ist nicht gleich der vom Heber geleisteten Arbeit, da er die Menge m durch die Gesamtmasse des Objekts plus den Körperteil ersetzen sollte, den der Heber zusammen mit dem auszuführenden Objekt bewegt der Lift.

Wir können die Massen der Körperteile ignorieren; Es ist nicht nötig, die Dinge komplizierter zu machen, als es für Übungen wie diese erforderlich ist, die sich auf ein bestimmtes Konzept konzentrieren.

Vielen Dank für die Erklärung. Zu der Tatsache, dass "Ansatz 1 nur die Arbeit betrachtet, die durch die Schwerkraft geleistet wird, nicht von Ihnen, wenn Sie das Objekt anheben", können Sie mir sagen, was ein "Energiesparweg" sein könnte, um die geleistete Arbeit theoretisch zu bewerten von der Heber?
@Kinka-Bye $Δ K + Δ U = W_{ext}$ $\Delta K+\Delta U=W_\text{ext}$ $\frac{1}{2} M Δ (v^{2}) + M G Δ H = W_{Aufzug}$ $\frac12m\Delta(v^2)+mg\Delta h=W_\text{lift}$
Wird diese Gleichung nicht zu der gleichen Arbeit führen, die die Schwerkraft verrichtet, falls das Objekt angehoben und dann auf der endgültigen Höhe still gehalten wird?
@Kinka-Byo Ja. Tut mir leid, dass ich Ihre Annahme über das frühere Starten und Stoppen in Ruhe verpasst hatte

Arbeit, die an einem Objekt ausgeführt wird, während es angehoben wird

Kinka-Byo

Soham Patil

gs

Kinka-Byo

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