Trennen der potentiellen Energie eines Teilchensystems.

Question

Trennen der potentiellen Energie eines Teilchensystems.

Benutzer58536

Unter der Annahme, dass alle Kräfte aus einer konservativen Quelle stammen und dass alle Kräfte die starke Form des dritten Hauptsatzes einhalten, wie gelangen wir dann zu der folgenden Gleichung?

v = \sum_{ich} v_{ich} + \frac{1}{2} \sum_{ich} \sum_{J, J \neq ich} v_{ich J}

$\begin{equation} V=\sum _i V_i+\frac 12 \sum _i \sum _{j,j\neq i}V_{ij} \end{equation}$

Okay, hier sind meine Gedanken.

Zunächst unterteilen wir die Arbeit in interne und externe Komponenten:

\sum_{ich} \int_{R_{1}}^{R_{2}} {\vec{F_{ich}}}^{(e)} \cdot D {\vec{S}}_{ich} + \sum_{ich, J} \int_{R_{1}}^{R_{2}} \vec{F_{ich J}} \cdot D {\vec{S}}_{ich}

$\begin{equation} \sum _i\int ^{r_2}_{r_1}\vec{F_i}^{(e)}\cdot d\vec s _i+\sum _{i,j}\int ^{r_2}_{r_1}\vec {F_{ij}}\cdot d\vec s _i \end{equation}$ Der Faktor der Hälfte kommt hinzu, da wir über beide summieren

i

$i$ Und

j

$j$ , und (glaube ich) davon können wir ausgehen

V_{i j} = V_{j i}

$V_{ij}=V_{ji}$ (Warum?).

lassen,

{\vec{F}}_{ich}^{(e)} = - \nabla_{ich} v_{ich} ({\vec{R}}_{1}, . . ., {\vec{R}}_{N}) {\vec{F}}_{ich J} = - \nabla_{ich J} v_{ich J} (| {\vec{R}}_{ich} - {\vec{R}}_{J} |)

$\begin{equation} \vec F_i ^{(e)}=-\nabla_iV_i(\vec r_1,...,\vec r_n)\\ \vec F_{ij}=-\nabla_{ij}V_{ij}(|\vec r_i -\vec r_j|) \end{equation}$

Der $|\vec r_i -\vec r_j|$ ist nur die Größe der Partikeltrennung.

Jetzt wird die Arbeit gegeben von:

W = \sum_{ich} \int_{R_{1}}^{R_{2}} - \frac{\partial}{\partial {\vec{R}}_{ich}} v_{ich} \cdot D {\vec{R}}_{ich} + \frac{1}{2} \sum_{ich, J} \int_{R_{1}}^{R_{2}} - \frac{\partial}{\partial {\vec{R}}_{ich J}} v_{ich J} \cdot D {\vec{R}}_{ich J}

$\begin{equation} W=\sum _i\int ^{r_2}_{r_1}-\frac{\partial }{\partial \vec r_i}V_i\cdot d\vec r_i+\frac 12 \sum _{i,j}\int^{r_2}_{r_1}-\frac{\partial }{\partial \vec r_{ij}}V_{ij}\cdot d\vec r_{ij} \end{equation}$

W = - \sum_{ich} \int_{v_{1}}^{v_{2}} D v_{ich} - \frac{1}{2} \sum_{ich, J} \int_{v_{1}}^{v_{2}} D v_{ich J}

$\begin{equation} W=-\sum _i\int^{V_2}_{V_1}dV_i-\frac 12 \sum _{i,j}\int ^{V_2}_{V_1}dV_{ij} \end{equation}$ Meine Frage ist also, wie wir zum Endschritt gekommen sind? Das ist alles aus Goldstein im 1. Kapitel. Leider kann ich der Herleitung überhaupt nicht folgen...

Antworten (1)

Trennen der potentiellen Energie eines Teilchensystems.

David Hammen · Answer 1

Zunächst unterteilen wir die Arbeit in interne und externe Komponenten:
$\sum_{ich} \int_{R_{1}}^{R_{2}} {\vec{F_{ich}}}^{(e)} \cdot D {\vec{S}}_{ich} + \sum_{ich, J} \int_{R_{1}}^{R_{2}} \vec{F_{ich J}} \cdot D {\vec{S}}_{ich}$ $\begin{equation} \sum _i\int ^{r_2}_{r_1}\vec{F_i}^{(e)}\cdot d\vec s _i+\sum _{i,j}\int ^{r_2}_{r_1}\vec {F_{ij}}\cdot d\vec s _i \end{equation}$ Der Faktor der Hälfte kommt hinzu, da wir über beide summieren $i$ Und $j$ , und (glaube ich) davon können wir ausgehen $V_{ij}=V_{ji}$ (Warum?).

Sie müssen nicht gleich sein. Sie müssen nur innerhalb einer beliebigen Konstante gleich sein. Das Hinzufügen einer beliebigen Konstante zu einem Potential macht keinen kleinen Unterschied (zumindest in der klassischen Mechanik), also könnte man diese Konstante genauso gut Null nennen.

Um zu sehen, warum sie gleich sein müssen (innerhalb einer Konstante), nehmen Sie an $V_{ij} = V_{ji} + \Delta V_{ij}$ , Wo $\Delta V_{ij}$ ist eine nicht konstante Funktion. Dann $\vec F_{ij} = -\vec\nabla_{ij} V_{ij}$ $= -\vec\nabla_{ij} V_{ji} - \vec\nabla_{ij} \Delta V_{ij}$ . Beachten Sie, dass $\vec\nabla_{ij} V_{ji} = -\vec\nabla_{ji}V_{ji} = \vec F_{ji}$ Daher $\vec F_{ij} = - \vec F_{ji} - \vec\nabla_{ij} \Delta V_{ij}$ . Die einzige Möglichkeit, Newtons drittes Gesetz zu erfüllen, ist, wenn $\vec\nabla_{ij} \Delta V_{ij} = 0$ . Dies widerspricht der Annahme, dass $\Delta V_{ij}$ ist eine nicht konstante Funktion.

lassen,
${\vec{F}}_{ich}^{(e)} = - \nabla_{ich} v_{ich} ({\vec{R}}_{1}, . . ., {\vec{R}}_{N}) {\vec{F}}_{ich J} = - \nabla_{ich J} v_{ich J} (| {\vec{R}}_{ich} - {\vec{R}}_{J} |)$ $\begin{equation} \vec F_i ^{(e)}=-\nabla_iV_i(\vec r_1,...,\vec r_n)\\ \vec F_{ij}=-\nabla_{ij}V_{ij}(|\vec r_i -\vec r_j|) \end{equation}$

Der $|\vec r_i -\vec r_j|$ ist nur die Größe der Partikeltrennung.

Sie haben hier ein Missverständnis bezüglich der äußeren Kräfte. Die Kraft $\vec F_i^{(e)}$ und damit das Potenzial $V_i$ hängt nur davon ab $\vec r_i$ . Es besteht keine Abhängigkeit von $\vec r_j$ Wo $j \ne i$ . Diese erste Zeile sollte sein $\vec F_i^{(e)} = -\nabla_i V_i(\vec r_1)$ .

Jetzt wird die Arbeit gegeben von:
$W = \sum_{ich} \int_{R_{1}}^{R_{2}} - \frac{\partial}{\partial {\vec{R}}_{ich}} v_{ich} \cdot D {\vec{R}}_{ich} + \frac{1}{2} \sum_{ich, J} \int_{R_{1}}^{R_{2}} - \frac{\partial}{\partial {\vec{R}}_{ich J}} v_{ich J} \cdot D {\vec{R}}_{ich J}$ $\begin{equation} W=\sum _i\int ^{r_2}_{r_1}-\frac{\partial }{\partial \vec r_i}V_i\cdot d\vec r_i+\frac 12 \sum _{i,j}\int^{r_2}_{r_1}-\frac{\partial }{\partial \vec r_{ij}}V_{ij}\cdot d\vec r_{ij} \end{equation}$ $W = - \sum_{ich} \int_{v_{1}}^{v_{2}} D v_{ich} - \frac{1}{2} \sum_{ich, J} \int_{v_{1}}^{v_{2}} D v_{ich J}$ $\begin{equation} W=-\sum _i\int^{V_2}_{V_1}dV_i-\frac 12 \sum _{i,j}\int ^{V_2}_{V_1}dV_{ij} \end{equation}$ Meine Frage ist also, wie wir zum Endschritt gekommen sind? Das ist alles aus Goldstein im 1. Kapitel. Leider kann ich der Herleitung überhaupt nicht folgen...

Goldstein verwendet $\int_1^2$ , nicht $\int_{r_1}^{r_2}$ oder $\int_{V_1}^{V_2}$ Dies kann Teil Ihres Problems sein. Ihre eigene Schreibweise kann Sie verwirren.

Die zweite Zeile folgt aus der ersten als Konsequenz daraus, dass $dV = \vec{\nabla} V \cdot d\vec r$ für ein gewisses Potenzial $V$ .

Vielen Dank für Ihre Antwort! Ich verstehe jetzt, warum die Potentiale bis auf eine Konstante gleich sind! Ist die Kraft nur eine Funktion der Wechselwirkung zwischen einem Teilchen und dem Ursprung des Koordinatensystems? Das halte ich für sinnvoller! Könnte ich stattdessen schreiben $\vec F ^{(e)}_{i}=-\nabla _iV_i(\vec r_i)$ stattdessen? Ihr letzter Punkt trifft auf mein großes Missverständnis !! Ich hoffe, Sie können vielleicht etwas erweitern ... Was ist Goldsteins $1$ Und $2$ ... das große Problem, das ich habe, ist die Konvertierung der Integrale von $r$ Zu $V$ ... das ist der Kern meiner Frage.
Die äußere Kraft auf das i-te Teilchen ist eine Wechselwirkung zwischen diesem Teilchen und Dingen (anderen Teilchen), die außerhalb der Systemgrenze liegen. Denken Sie daran, dass die Newtonsche Mechanik letztendlich ein auf "Partikeln" basierendes System ist (wobei "Partikel" nicht ganz genau definiert sind) und Wechselwirkungen von Partikel zu Partikel stattfinden. Das dritte Newtonsche Gesetz funktioniert nicht mit einer Drei-Teilchen-Wechselwirkung (und es gibt einige Drei-Teilchen-Wechselwirkungen in der QM). Also, ja, du könntest schreiben $vec F_i^(e) = -\nabla_i V_i(\vec r_i)$ stattdessen. Das ist genau das, was Ihr erster Arbeitsintegral sagt.
In Bezug auf Goldsteins 1 und 2: Diese repräsentieren Anfangs- und Endkonfigurationen aller Teilchen. Da das externe Potenzial $V_i$ hängt nur davon ab $r_i$ , dieses erste Integral wird besser geschrieben als $\int_{\vec r_i;1}^{\vec r_i;2} -\nabla_i V_i(\vec r_i) \cdot d\vec r_i$ Wo $\vec r_{i,1}$ Und $\vec r_{i,2}$ stellt die Anfangs- und Endposition des i-ten Teilchens dar. Als Integral über Potential wird dies $\int_{V_{i;1}}^{V_{i;2}} d V_i$ Wo $V_{i;1}$ Und $V_{i;2}$ sind die Anfangs- und Endwerte von $V_i$ . Die internen Potentiale werden ähnlich behandelt.
Vielen Dank für Ihre Zeit ... Ich glaube, ich bin kurz davor, das zu verstehen ... ein letzter Punkt ... (und obwohl dies einfach sein mag, hat es mich wirklich verblüfft ... davon zu wechseln $\int^{\vec {r}_i;2}_{\vec {r}_i;1}-\nabla _iV_i(\vec {r}_i)\cdot d\vec r_i$ Zu $\int ^{V_i;2}_{V_i;1}dV_i$ kündigen Sie buchstäblich nur die $\frac {1}{\partial r_i}$ für die $d\vec r_i$ ?
Nein, Sie kündigen die nicht buchstäblich einfach $1/\frac \partial r_i$ für die d\vec $f_i$ . Das nenne ich "Physik-Mathe" und es wird Sie in Schwierigkeiten bringen. Es scheint in diesem Fall aus zwei (oder drei) Gründen zu funktionieren: (1) $V_i$ ist eine Funktion von $\vec r_i$ nur 2) $d V_i$ ein exaktes Differential ist und (3) die resultierende Kraft konservativ und daher wegunabhängig ist. Beachten Sie jedoch, dass (3) eine Folge von (2) ist.

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