Arbeit an Kreisbewegung

Ich versuche, die Gesamtarbeit zu finden, die an einem Ball geleistet wird,$m=0.8kg$, an einem Seil von r=1,6m Länge befestigt und in einem vertikalen Kreis geschwungen.

Ich verstehe, dass die Gesamtarbeit, die sowohl von der Spannung in der Saite als auch von der Schwerkraft geleistet wird, für einen vollständigen Kreis 0 ist, aber ich habe Probleme, die Arbeit zu finden, die von der Schwerkraft geleistet wird, wenn sich der Ball an seinem niedrigsten Punkt und an seinem höchsten Punkt befindet Arbeit während eines Halbkreises durchgeführt.

Ich weiß, dass der Ball beim Schwingen ständig die Richtung ändert und daher die$\theta$zwischen$F_g$Und$\Delta s$Änderungen.

Es gibt also ein variierendes Theta, das mit beiden verbunden ist$F_g,\Delta S$

ich weiß, dass

$$W_{g}=\int_0^\pi -F_g \cdot dl$$

Wenn$\Delta S = r\theta$

Dann

$dl=ds=rd\theta$

Und$F_g=mg$

$$W_{g}=\int_0^\pi -mgrcos\theta d\theta$$

$$W_{g}=-mgr[sin(\pi)-sin(0)]=0J$$

Ich verstehe nicht, was ich falsch mache, die Antwort ist -25.1J. Es ist sinnvoll, dass die Antwort 0 ist, denn wenn der Ball unten und oben ist,$\Delta s$Und$F_g$senkrecht zueinander stehen und die Gesamtarbeit bis zunimmt$\frac{\pi}{2}$nimmt dann ab, was zu einem 0J führt.

Also was mache ich falsch?

Hier ist die Lösung: Das habe ich herausgefunden$\Delta s = 2r$seit es angefangen hat$y_o=0,y_f=2r=3.2m$Dafür da$W_g=F_g\Delta s cos\theta=3.2mgcos(180)=-25.1J$

Okay, da die eigentliche Lösung so viel einfacher war, was genau habe ich bei meinem anfänglichen Gedanken, es zu lösen, falsch gemacht?

Und ironischerweise, wenn wir das tun:

$$W_{g}=-2mgr\int_0^{\frac{\pi}{2}} cos\theta d\theta$$

$$W_{g}=-mgr[sin(\frac{\pi}{2})-sin(0)]=-25.1J$$