Arbeitet eine Kraft mehr an einem ausgedehnten Körper?

Sie können in beiden Fällen eine gleich große Kraft aufbringen, und die Arbeit wird unterschiedlich sein. Der Grund ist, dass die Verschiebungen unterschiedlich sind. Das CM verdrängt den gleichen Betrag, sodass die endgültige kinetische Energie des CM in beiden Fällen gleich ist. Aber beim erweiterten Objekt verschiebt sich der Angriffspunkt mehr als das CM, deshalb ist die Arbeit größer. Diese zusätzliche Arbeit wird als kinetische Rotationsenergie enden.

zylindrischer Stab der Masse M und der Länge l. Angenommen, eine Kraft$\mathbf{F}$von konstanter Größe und Richtung (obwohl beweglich) wird auf die Stange in der Ferne aufgebracht$r$von der COM für eine Verschiebung$\boxed{d}$.

Ich gehe davon aus$d$ist die Verschiebung des CM. Korrigieren Sie mich, wenn ich falsch liege.

Ich werde das Setup kurz beschreiben (damit Sie mich korrigieren können, wenn es nicht das von Ihnen beschriebene Setup ist):

Lassen Sie einen einheitlichen Massestab$M$und Länge$L$in Ruhe sein mit seinem CM am Ursprung und seiner Achse, die entlang des ausgerichtet ist$y$-Achse [Die Endpunkte sind bei$(0,-L/2)$Und$(0,L/2)$]. Nun, eine konstante Kraft$\mathbf{F}=F\hat{i}$wird auf den entfernten Punkt aufgebracht$r$über dem CM der Stange (nennen wir diesen Punkt$P$). Lassen$\theta$sei der Winkel, den die Stange mit der vertikalen Richtung bildet [Anfangs,$\theta=0$]. Nehmen wir an, die Bewegung beginnt um$t=0$und endet bei$t=T$, und bewerten Sie die geleistete Arbeit von$\mathbf{F}$während dieser Periode.

Die von einer Kraft verrichtete Arbeit$\mathbf{F}$auf einem starren Körper =$W$=$\int \mathbf{F} \cdot\mathbf{v}_{\text{of the point of application of $\mathbf{F}$}}\;dt=\int \mathbf{F} \cdot \mathbf{v}_P \; dt$

Nach deiner Vermutung,

Die Arbeit mit Gewalt erledigt$\mathbf{F}$ist größer als$Fd$und die überschüssige Arbeit ist für die Bereitstellung der kinetischen Rotationsenergie des Stabs verantwortlich.

Wenn es eine Punktmasse unter der Wirkung von gewesen wäre$\mathbf{F}$, dann wäre die Arbeit erledigt gewesen$W=Fd = \frac{1}{2}Mv_{\text{of the point mass | final}}^2$

$^*$ $\mathbf{v}_P = \mathbf{v}_{\text{P wrt CM}} + \mathbf{v}_{CM}$

Bedenken von OP:

Da eine Kraft$\mathbf{F}$Auf die Stange wird dann eine Arbeit aufgebracht

$$W_{translational} = \mathbf F \cdot \mathbf d$$

Was Sie hier gesagt haben, ist richtig. Ich glaube, Sie nehmen hier die Verschiebung des Punktes an$P$sein$\mathbf{d}$und nicht die Verdrängung von CM sein$\mathbf{d}$. Um die Konsistenz meiner Antwort zu wahren, werde ich die Verschiebung des CM als sein bezeichnen$\mathbf{d}$wie zuvor und finden Sie die Verschiebung des Punktes$P$gegeben von$\Delta \mathbf{s}_P$.

Nehmen wir an, die endgültige Ausrichtung der Stange ist$\theta=\theta_{\text{final}}$. Dann finden wir$\Delta \mathbf{s}_P = (d + r\sin \theta_{\text{final}})\hat{i}+(r-r\cos \theta_{\text{final}})\hat{j}$. Setzen Sie es ein$(5)$zu bekommen:

Das Ergebnis stimmt mit überein$(3)$wenn Sie ersetzen$\ddot{\theta}=\dot{\theta}\frac{d\dot{\theta}}{d\theta}$und integrieren.

Wie also verrichtet die gleiche Kraft bei gleicher Verschiebung eine unterschiedliche Arbeit?

Von hier aus können Sie das sehen$\Delta \mathbf{s}_P \neq \Delta \mathbf{s}_{CM}=\mathbf{d}$. Die Verschiebungen sind also nicht gleich.

Wenn Sie die Kraft über eine Distanz anwenden$r$entlang der Stange und dreht sich während dieser Zeit um eine Strecke$d_{cm}$und kleiner Winkel$\theta$, dann bewegt sich der Punkt, an dem Sie die Kraft anwenden, vorbei$d_{cm} + r \theta$.

Das heißt, die geleistete Arbeit und Energie hinzugefügt wird$F d_{cm} + F r \theta$.

Der erste Term ist die Erhöhung der Translationsenergie und der zweite die Erhöhung der Rotationsenergie.

Für größere Winkel beinhaltet die Berechnung etwas Trigonometrie, aber das grundlegende Ergebnis ist das gleiche.