Beschleunigung der geschwenkten Stange

Interessante Frage, wenn man einmal über die Tatsache hinausschaut, dass der Endpunkt weiter vom Drehpunkt entfernt ist und somit eine höhere Tangentialbeschleunigung hat. Das Interessante ist, sich anzusehen, wo genau die Tangentialbeschleunigung ist$g$. Dieser besondere Punkt liegt in einiger Entfernung$x$vom Drehpunkt

Dieser Punkt wird durch Lösen gefunden$g = x \, \alpha$und die Lösung ist

Dieser Punkt wird Schlagachse des Stabes genannt .

Jeder Punkt darüber hinaus$x$wird mehr als beschleunigen$g$und jeder Punkt inbound von$x$weniger als$g$aufgrund der Kinematik des Problems. Was also ist daran so besonders?$x$?

Eine Kraft durch$x$würde die Stange ohne Reaktion vom Drehpunkt drehen. Aber es gibt noch eine andere Definition der Schlagachse. Es ist genau der Punkt, an dem ein Impuls angewendet wird, der gleich, aber entgegengesetzt zum Impuls ist, und der Körper gleichzeitig aufhören würde, sich zu verschieben und zu drehen.

Es gibt eine Verbindung zwischen dem Punkt, wo Beschleunigung ist$g$und die Schlagachse (IAP). Die Verbindung ist dieser Punkt$x$Hier würden Sie die effektive Masse platzieren$m_x$um dieses Problem in ein Problem der konzentrierten Masse umzuwandeln. Ersetzen Sie den Stab mit verteilter Masse durch ein Punktteilchen mit Masse$m_x = \tfrac{3}{4} m$am IAP und am Gerät sollten dynamisch äquivalent sein. Die dynamische Reaktion einer konzentrierten Masse entspricht der des freien Falls$g$.

Wie finden wir die effektive Masse$m_x$. Der einfachste Weg besteht darin, eine kinetische Energieäquivalenz zwischen einem rotierenden Stab von einem Ende und einer sich verschiebenden beweglichen Masse durchzuführen

Wo$v_x = \omega\, x$,$I_{\rm pivot} = \tfrac{m}{3} L^2$Und$x$wie oben definiert. Schließen Sie das obige an und lösen Sie nach$m_x = \tfrac{3}{4} m$.

Dies bedeutet, dass die sich bewegende Stange Sie an einem bestimmten Punkt am Kopf trifft$x$, du würdest dich wie eine Masse fühlen$m_x$dich schlagen. Je weiter weg$x$ist, desto geringer ist die effektive Masse. Aber die effektive Masse eines rotierenden Objekts ist eine andere Diskussion, die woanders geführt werden muss.

Ja, das liegt daran, dass die Kraft von der Wand tatsächlich ein Drehmoment auf die Stange ausübt. Jetzt vermittelt das Drehmoment keinen linearen Impuls, sondern einen Drehimpuls.

Genauer gesagt schiebt die Wand die Stange nach oben, da der Stoß nicht am COM erfolgt, übt sie ein Drehmoment auf die Stange aus. Dadurch wird die gegenüberliegende Seite nach unten gedrückt.

Warum hat das rechte Ende eine Beschleunigung > g?

Um dies explizit zu sehen, nutzen wir die Tatsache, dass "Jeder komplizierte Antrag in einen Antrag der KOM und einen Antrag über die KOM zerlegt werden kann ".

BILD 1 - Bewegung des COM -
Hier führt der COM in diesem Moment einen einfachen Fall unter der Schwerkraft aus. dh COM hat eine Beschleunigung von g. Um dies zu veranschaulichen, stellen Sie sich vor, dass derselbe Stab unabhängig vom Drehpunkt horizontal ist und unter der Schwerkraft fällt, dh jeder Punkt des Stabs hat eine Beschleunigung gleich g.

BILD 2 – Bewegung um COM –
Stellen Sie sich vor, dass sich der Stab einfach um den COM dreht und der COM in Ruhe ist. Das Drehmoment, das diese Drehung verursacht, ist gleich dem Drehmoment, das in diesem Moment durch den Drehpunkt übertragen wird. Um dies zu veranschaulichen, betrachten wir unser Gefährt im Ruhezustand, aber rotierend um die momentane Rotationsachse , die hier COM ist.

Überlagern Sie nun diese beiden Bilder. Illustrieren mit dem äußerst rechten Punkt. Von Bild 1 hat dieser Punkt eine Beschleunigung gleich g und von Bild zu diesem Punkt hat eine Beschleunigung in die gleiche Richtung aufgrund des von der Wand ausgeübten Drehmoments. Daher hat der äußerste rechte Punkt eine Beschleunigung nach unten, die größer als g ist.