Die Richtung der Zentripetalkraft bei einer vertikalen Kreisbewegung unter gleichmäßiger Schwerkraft

Question

Die Richtung der Zentripetalkraft bei einer vertikalen Kreisbewegung unter gleichmäßiger Schwerkraft

kurz vor dem Start

Betrachten Sie die vertikale kreisförmige Bewegung einer Punktmasse, die durch eine starre Schnur mit dem Zentrum verbunden ist. Hier die gleichmäßige Schwerkraft $m\vec{g}$ handelt.

Ich habe die Situation im Diagramm unten dargestellt.

Hier, wenn wir eine Vektoraddition von machen $\vec{T}$ Und $m\vec{g}$ dann bekommen wir die Zentripetalkraft einer seltsamen Richtung. Es soll auf die Mitte zeigen, oder?

Ich werde die Schwerkraft weiter in die radiale und die tangentiale Komponente zerlegen. Siehe unten.

Also was passiert damit $mg \sin \theta$ Komponente? Stört es nicht die kreisförmige Bewegung?

Hinweis: Wenn ich versuche, die Nettokraft direkt zum Zentrum zu machen, muss ich die Richtung der Spannung absichtlich ändern, und das erscheint mir sehr seltsam, da wir ein durch eine Schnur begrenztes Objekt betrachten. Wenn wir es also "natürlich" halten (Spannung zum Zentrum), können wir dann wirklich sagen, dass das Objekt eine kreisförmige Bewegung erfährt?
Eine andere Frage: Ich verstehe das in dieser Situation, als $mg \cos \theta$ ändert sich die Größe der Radialkraft und damit die Geschwindigkeit des Objekts. Stellen wir uns das als eine lokale Kreisbewegung vor, wo für die Geschwindigkeit $\vec{v}(t_1)$ zu einer bestimmten Zeit $t=t_1$ , die Zentripetalkraft $\frac{m|\vec{v}(t_1)|^2}{r} \hat{r}$ gilt nur für das infinitesimal kleine Zeitintervall $[t, t + dt]$ ?
Fassen wir die beiden obigen Fragen zusammen – wir können überlegen, ob sich das Objekt oben oder unten befindet. Dann müssen wir nicht über die Komponenten der Kräfte nachdenken, da sie alle in derselben vertikalen Linie liegen. Können wir dann argumentieren, dass es sich für das kurze Zeitintervall lokal um eine kreisförmige Bewegung handelt? $[t, t + dt]$ ?

Umaxo

Ist die Saite seitlich biegbar?

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@Umaxo Nein. Ich habe die Frage bearbeitet.

Antworten (2)

Die Richtung der Zentripetalkraft bei einer vertikalen Kreisbewegung unter gleichmäßiger Schwerkraft

Phy_Amateur · Answer 1

$mg\sin\theta$ trägt nicht zur Zentripetalkraft bei, es ist eine Tangentialbeschleunigung, die der Masse m zugeführt wird. Es bewirkt die Abnahme der Geschwindigkeit der Masse während des Aufstiegs und die Zunahme während des Abstiegs. Hierbei handelt es sich nicht um eine gleichförmige Kreisbewegung. Aufgrund dieser Komplikation verwenden wir im Allgemeinen den Arbeitsenergiesatz, um Fragen zu diesem Unterthema zu lösen. Auch die Zentripetalkraft ist nicht die vektorielle Addition der Gravitationskraft und der Spannung, sondern die Summe der Kräfte, die auf den Kreismittelpunkt gerichtet sind. Zentripetalkraft ist also gleich Spannung + $mg\sin\theta$ welches ist $mv^2/R$ .

Ich würde vorschlagen, Mathjax zu lernen: math.meta.stackexchange.com/questions/5020/…

Biophysiker · Answer 2

Bei Kreisbewegungen ist das nicht immer der Fall $F_\text{net}=mv^2/r$ . Dies gilt nur für gleichförmige Kreisbewegungen. Allgemein $mv^2/r$ ist gleich der Komponente der Nettokraft, die zum Mittelpunkt des Kreises zeigt. Es gibt eine weitere Komponente, die Sie berücksichtigen sollten: die Komponente, die die Kreisbahn tangiert.

Für eine planare Bewegung in Polarkoordinaten zerlegen wir die Nettokraft in zwei Komponenten: zentripetal (oder radial) und tangential:

F_{Netz} = M A = M (\ddot{R} - R {\dot{θ}}^{2}) \hat{R} + M (R \ddot{θ} + 2 \dot{R} \dot{θ}) \hat{θ}

$\mathbf F_\text{net}=m\mathbf a=m\left(\ddot r-r\dot\theta^2\right)\,\hat r+m\left(r\ddot\theta+2\dot r\dot\theta\right)\,\hat\theta$

Wo $r$ ist die Entfernung vom Ursprung, $\theta$ der Polarwinkel ist und ein Punkt eine zeitliche Änderungsrate darstellt. Für Kreisbewegungen $r$ konstant ist, also reduziert sich Newtons zweites Gesetz für Kreisbewegungen auf

F_{Netz} = M A = - M R {\dot{θ}}^{2} \hat{R} + M R \ddot{θ} \hat{θ}

$\mathbf F_\text{net}=m\mathbf a=-mr\dot\theta^2\,\hat r+mr\ddot\theta\,\hat\theta$

Für Ihr Objekt, das sich in einem konstanten Gravitationsfeld im vertikalen Kreis bewegt, der am Ursprung zentriert ist, können wir die beiden Komponenten betrachten (beachten Sie, dass negativ zum Ursprung zeigt).

F_{R} = - M G \cos θ - T = - M R {\dot{θ}}^{2} = - \frac{M v^{2}}{R}

$F_r=-mg\cos\theta-T=-mr\dot\theta^2=-\frac{mv^2}{r}$

F_{θ} = M G Sünde θ = M R \ddot{θ}

$F_\theta=mg\sin\theta=mr\ddot\theta$

$F_r$ ändert nur die Richtung der Geschwindigkeit, da diese Kraftkomponente immer senkrecht zur Geschwindigkeit steht, und $F_\theta$ ändert nur den Betrag der Geschwindigkeit, da diese Kraftkomponente immer parallel/antiparallel zur Geschwindigkeit ist.

Die Größe der Nettokraft ist dann gegeben durch

F_{Netz} = \sqrt{F_{R}^{2} + F_{θ}^{2}} = M R \sqrt{{\dot{θ}}^{4} + {\ddot{θ}}^{2}}

$F_\text{net}=\sqrt{F_r^2+F_\theta^2}=mr\sqrt{\dot\theta^4+\ddot\theta^2}$

Was reduziert sich auf $mv^2/r$ für gleichmäßige Kreisbewegung ( $\ddot\theta=0$ , Und $\dot\theta=v/r=\text{constant}$ ).

Das Obige sollte Ihre Bedenken zerstreuen, dass wir nur lokale Kreisbewegungen betrachten. Das ist nur eine Kreisbewegung. Keine Notwendigkeit, unnötige Komplikationen einzuleiten.

Die Richtung der Zentripetalkraft bei einer vertikalen Kreisbewegung unter gleichmäßiger Schwerkraft

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