Zylinder gegen Zylinder mit doppeltem Radius rollen eine schiefe Ebene hinunter, welcher gewinnt?

Die folgende Gleichung von @R. Romeros Analyse ist richtig:

$$Mgh=\frac{1}{2}Mv^2+\frac{1}{2}I\left(\frac{v^2}{R^2}\right)\tag{1}$$ Das Trägheitsmoment eines Zylinders ist jedoch gegeben durch: $$I=M\frac{R^2}{2}\tag{2}$$ Kombiniert man also Gl. 1 und 2 ergibt: $$Mgh=\frac{1}{2}Mv^2+\frac{1}{4}Mv^2\tag{3}$$ Die Berechnung von M von beiden Seiten der Gleichung ergibt: $$gh=\frac{1}{2}v^2+\frac{1}{4}v^2\tag{4}$$ Wenn wir also nach v auflösen, haben wir: $$v=\sqrt{\frac{4gh}{3}}$$ Beachten Sie, dass dies unabhängig vom Radius des Zylinders ist. Beide Zylinder rollen also in gleicher Zeit die Rampe hinunter.

Die Energieerhaltung sagt uns, dass potenzielle Energie zu kinetischer Energie wird, wenn die Scheiben fallen. Wenn sie ohne Schlupf rollen, geht ein Teil der Energie in kinetische Translationsenergie und ein Teil in kinetische Rotationsenergie über.

Der Zustand des Rollens ohne Schlupf erfordert, dass die Geschwindigkeit der Platte gleich der Rotationsgeschwindigkeit multipliziert mit dem Radius ist$v=\omega R$.

Gesamte kinetische Energie =$\frac{1}{2}Mv^2+\frac{1}{2}I\omega^2$

So:

$$Mgh=\frac{1}{2}Mv_1^2+\frac{1}{2}I_1(\frac{v_1^2}{R^2})=\frac{1}{2}Mv_2^2+\frac{1}{2}I_2\frac{v_2^2}{4R^2}$$

$I_1=\frac{1}{2}MR^2$

$I_2=\frac{1}{2}4MR^2=2MR^2$

Wir können das Verhältnis der quadrierten Geschwindigkeiten nehmen:

$$\frac{1}{2}Mv_1^2+\frac{1}{2}(\frac{1}{2}MR^2)(\frac{v_1^2}{R^2})=\frac{1}{2}Mv_2^2+\frac{1}{2}(2MR^2)\frac{v_2^2}{4R^2}$$

$$\frac{1}{2}Mv_1^2+\frac{1}{4}(M)(v_1^2)=\frac{1}{2}Mv_2^2+\frac{1}{4}(M)v_2^2$$

$$\frac{v_1^2}{v_2^2}=\frac{1+\frac{I_2}{4MR^2}}{1+\frac{I_1}{MR^2}}=\frac{\frac{3}{2}}{\frac{3}{2}}=1$$

So stehe ich korrigiert. Bei konsequenter Verwendung der richtigen Radien sind die Geschwindigkeiten gleich.

Mein Gedankengang war, dass, da sich der Radius verdoppelt hat, c=2

$c$ist nicht das Trägheitsmoment selbst, sondern die Konstante in$I = cMR^2$. Für Ihre beiden Vollzylinder ist die Konstante jedoch gleich$I$wird sich unterscheiden, weil$R$wird sich unterscheiden.

In ähnlicher Weise nimmt die Winkel- und Linearbeschleunigung ab, wenn das Trägheitsmoment zunimmt.

Sie haben Recht, dass die Winkelbeschleunigung abnimmt. Aber das bedeutet nicht, dass die lineare Beschleunigung abnimmt.

Wenn wir die gleiche Rotationsenergie in die Zylinder stecken, muss sich der größere langsamer drehen. Wie viel langsamer?

$$E = \frac{1}{2} I \omega^2$$ $$\omega ^2 = \frac {2 E}{I}$$ $$\omega = \sqrt{ \frac {2 E}{MR^2} }$$

Da Masse und Energie hier konstant sind, können wir sie und den Faktor zwei durch eine einzige Konstante ersetzen$k$.

$$\omega = \frac{k}{R}$$

Wenn ich also nach oben gehe (und Energie und Masse konstant sind), hat es eine Winkelgeschwindigkeit, die umgekehrt proportional zu R ist. Aber weil es rollt, wissen wir das$v = \omega R$.

$$v = \omega R$$ $$v = \frac{k}{R} R = k$$

Der Radius ist herausgefallen. Die Rotationsgeschwindigkeit hängt vom Radius ab, die Lineargeschwindigkeit jedoch nicht.