Eine Frage zum Impuls der yyy-Achse bei einem elastischen Stoß mit Billardkugeln gleicher Masse

Question

Eine Frage zum Impuls der yyy-Achse bei einem elastischen Stoß mit Billardkugeln gleicher Masse

Pregunto

Mein Physiklehrbuch fordert mich auf, zu beweisen, dass, wenn eine Billardkugel, die sich entlang der x-Achse bewegt, eine andere Billardkugel gleicher Masse in einer elastischen Kollision ohne Kopf trifft, sich die beiden Kugeln in einem Winkel von 90 Grad voneinander entfernen (Siehe beigefügtes Bild).

Ich verstehe ihre Erklärung bis auf ein Detail: Die Analyse beginnt - wie zu erwarten - mit den Impulsformeln für beide $x$ - und das $y$ -Bestandteile der Kugelbewegung. Für denjenigen, der sich mit der y-Zutat befasst, geben sie an: $v_1\sin\Theta_1-v_2\sin\Theta_2=0$ .

Dies basiert natürlich darauf, dass wir die x-Achse gemäß der Anfangsbewegung der sich bewegenden Kugel definiert haben, was bedeutet, dass es keine y-Komponente des Impulses gab, sodass die y-Komponente nach dem Zusammenstoß 0 betragen muss Also.

Mein Problem ist folgendes: als Formel habe ich das gelernt $m\mathbf{V}_1 + m\mathbf{V}_2 = m\mathbf{v}_1 + m\mathbf{v}_2$ , nicht $m\mathbf{V}_1 + m\mathbf{V}_2 = m\mathbf{v}_1 - m\mathbf{v}_2$ .

Ich nehme an, dass das Minus in der Antwort vorhanden ist, weil wir wissen, dass die Geschwindigkeit des zweiten Balls entlang der y-Achse in die entgegengesetzte Richtung des anderen Balls verläuft.

Aber das führt zu einer weiteren Kuriosität, nämlich dass ich, wenn ich die Formel umstelle, bekomme: $v_1\sin\Theta_1=v_2\sin\Theta_2$ statt $v_1\sin\Theta_1=-v_2\sin\Theta_2$ .

Die Geschwindigkeiten sind also identisch, obwohl sie in entgegengesetzte Richtungen gehen …

Könnte jemand die Verwirrung aufklären?

Danke schön!

Die Antwort:

Benutzer197851

Ihr Diagramm definiert nicht

Θ_{1}

$\Theta_1$ Und

Θ_{2}

$\Theta_2$ , was entscheidend ist. Ich vermute, dass sie beide als positive Größen definiert sind, obwohl die Winkel tatsächlich im entgegengesetzten Sinne sind (im Uhrzeigersinn und gegen den Uhrzeigersinn). Bei der Betrachtung der Impulserhaltung sind die Vorzeichen wichtig. Die Definitionen sollen praktisch und nicht verwirrend sein, aber sie müssen sorgfältig durchdacht werden.

Antworten (1)

Eine Frage zum Impuls der yyy-Achse bei einem elastischen Stoß mit Billardkugeln gleicher Masse

Ihr Diagramm definiert nicht $\Theta_1$ Und $\Theta_2$ , was entscheidend ist. Ich vermute, dass sie beide als positive Größen definiert sind, obwohl die Winkel tatsächlich im entgegengesetzten Sinne sind (im Uhrzeigersinn und gegen den Uhrzeigersinn). Bei der Betrachtung der Impulserhaltung sind die Vorzeichen wichtig. Die Definitionen sollen praktisch und nicht verwirrend sein, aber sie müssen sorgfältig durchdacht werden.

Färcher · Answer 1

Beide Gleichungen sind "richtig".

Bei dieser Aufgabe nutzen Sie die Tatsache, dass der Anfangsimpuls in der $\hat y$ Richtung ist Null und damit der endgültige Impuls in der $\hat y$ Richtung muss ebenfalls Null sein.

$m \,\vec 0 = m \,\vec v_{\rm 1y} + m \,\vec v_{\rm 2y}$

$\vec v_{\rm 1y}$ ist kein Problem, weil $\vec v_{\rm 1y}= v_{\rm 1y} \, \hat y$ Wo $v_{\rm 1y}$ ist entweder die Komponente in der $\hat y$ Richtung oder Betrag des Vektors $\vec v_{\rm 1y}$ und beide Darstellungen erzeugen einen positiven Wert für $v_{\rm 1y}$ .

Nun, was ist mit $\vec v_{\rm 2y}$ ?

Das könntest du sagen $\vec v_{\rm 2y} = v_{\rm 2y} \hat y$ Wo $v_{\rm 2y}$ ist die Komponente von $\vec v_{\rm 2y}$ im $\hat y$ Richtung und wenn die Berechnungen durchgeführt sind, wird es gefunden werden $v_{\rm 2y}$ ist eine negative Größe, dh $\vec v_{\rm 2y}$ ist in dem $(-\hat y)$ Richtung.
Verwenden Sie diese Notation

\vec{0} = {\vec{v}}_{1 j} + {\vec{v}}_{2 j} \Rightarrow 0 \hat{j} = v_{1 j} \hat{j} + v_{2 j} \hat{j} \Rightarrow v_{1 j} = - v_{2 j}

$\vec 0 = \vec v_{\rm 1y} + \vec v_{\rm 2y} \Rightarrow 0 \,\hat y= v_{\rm 1y}\,\hat y + v_{\rm 2y} \, \hat y \Rightarrow v_{\rm 1y}= - v_{\rm 2y}$

Andererseits könnte man das sagen $\vec v_{\rm 2y} = v_{\rm 2y} (-\hat y)$ Wo $v_{\rm 2y}$ ist die Komponente von $\vec v_{\rm 2y}$ im $(-\hat y)$ Richtung und wenn die Berechnungen durchgeführt sind, wird es gefunden werden $v_{\rm 2y}$ ist eine positive Größe.
Verwenden Sie diese Notation

\vec{0} = {\vec{v}}_{1 j} + {\vec{v}}_{2 j} \Rightarrow 0 \hat{j} = v_{1 j} \hat{j} + v_{2 j} (- \hat{j}) \Rightarrow v_{1 j} = v_{2 j}

$\vec 0 = \vec v_{\rm 1y} + \vec v_{\rm 2y} \Rightarrow 0 \,\hat y= v_{\rm 1y}\,\hat y + v_{\rm 2y} \, (-\hat y) \Rightarrow v_{\rm 1y}= v_{\rm 2y}$

Eine äquivalente Aussage in diesem Fall ist, dass zu sagen $\vec v_{\rm 2y} = (-v_{\rm 2y}) \hat y$ Wo $v_{\rm 2y}$ ist die Größenordnung von $\vec v_{\rm 2y}$ und wenn die Berechnungen abgeschlossen sind, wird sich herausstellen, dass $v_{\rm 2y}$ ist eine positive Größe, die so sein muss, da Größen immer positiv sind.
Verwenden Sie diese Notation

\vec{0} = {\vec{v}}_{1 j} + {\vec{v}}_{2 j} \Rightarrow 0 \hat{j} = v_{1 j} \hat{j} + (- v_{2 j}) \hat{j} \Rightarrow v_{1 j} = v_{2 j}

$\vec 0 = \vec v_{\rm 1y} + \vec v_{\rm 2y} \Rightarrow 0\, \hat y= v_{\rm 1y}\,\hat y + (-v_{\rm 2y}) \, \hat y \Rightarrow v_{\rm 1y}= v_{\rm 2y}$

Bei der ersten Methode treffen Sie kein Urteil über die Richtung der Geschwindigkeit $\vec v_{\rm 2y}$ und wenn Sie die Berechnung durchgeführt haben, weil Sie diese Komponente gefunden haben $v_{\rm 2y}$ negativ ist, dann weißt du, dass es in der ist $(-\hat y)$ Richtung.

Bei der zweiten und dritten Methode treffen Sie ein Urteil über die Richtung der Geschwindigkeit $\vec v_{\rm 2y}$ als in der $(-\hat y)$ Richtung und wenn Sie die Berechnung durchgeführt haben, erwarten Sie den Zahlenwert von $v_{\rm 2y}$ positiv sein.

PS Um zu beweisen, dass der Winkel ein rechter Winkel für einen elastischen Stoß ist (erhaltene kinetische Energie)

\frac{1}{2} M v^{2} = \frac{1}{2} M v_{1}^{2} + \frac{1}{2} M v_{2}^{2} \Rightarrow v^{2} = v_{1}^{2} + v_{2}^{2}

$\frac 12 m v^2 = \frac 12 m v_1^2 + \frac 12 m v_2^2 \Rightarrow v^2 = v_1^2 + v_2^2$

dh das Geschwindigkeitsdreieck $\vec v = \vec v_1 + \vec v_2$ ist rechtwinklig - Pythagoras.

Vielen Dank für die ausführliche Antwort! Mein verbleibender Zweifel ist, dass - basierend auf den mathematischen Beweisen in der Antwort am Ende des Buches - nur v1sinΘ1−v2sinΘ2=0 zur richtigen Antwort führt. v1sinΘ1+v2sinΘ2=0 führt offensichtlich zu einer falschen Antwort. Warum ist das so, wenn tatsächlich beide richtig sind, und wie kann ich herausfinden, welche ich auswählen soll?
@Pregunto Ich würde gerne die Arbeit sehen, die die richtige Antwort hervorgebracht hat.
Ich habe den Antwortschlüssel in die ursprüngliche Frage eingefügt. Wenn ich die positive Version der Formel (v1sinΘ1+v2sinΘ2=0) mit derselben Methode verwende, erhalte ich am Ende 2·v1·v2·cos(θ1-θ2)=0, was nicht zu der richtigen Antwort führt.
@Pregunto Rechne anders herum $\cos(\theta_1-\theta_2) =0$ . Jedoch $\theta_2$ ist eine negative Größe, die das gleiche Ergebnis wie zuvor liefert.
Danke noch einmal! Und die Tatsache, dass in diesem Szenario θ2 negativ ist, sollte ich aus der Tatsache ableiten, dass v2 einen negativen Wert hat, richtig? Ich versuche nur, es 100% klar in meinem Kopf zu bekommen ...
Ja, Sie haben die richtige Idee. In einfacheren Beispielen, in denen das Ergebnis in Bezug auf die Richtung vorhergesagt werden kann, ist der oben beschriebene Ansatz vielleicht etwas einfacher anzuwenden?

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Benutzer197851

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