Restitutionskoeffizient für einen vollkommen unelastischen Stoß

Der Artikel gibt an, dass die Gleichung, die sich mit kinetischer Energie befasst, die relative kinetische Energie betrachtet. Bei einem vollkommen unelastischen Stoß bewegen sich die Körper nicht relativ zueinander, die relative kinetische Energie also$0$. Somit besteht kein Widerspruch.

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Um mehr Details hinzuzufügen, ist es am besten, in der Mitte des Impulsrahmens zu arbeiten, der der Rahmen ist, in dem sich der Gesamtimpuls des Systems befindet$0$. Dies kann man tun, indem man zunächst feststellt, dass per Definition der Schwerpunkt zweier Objekte (die wir als Punktteilchen behandeln) ist

$$x_\text{COM}=\frac{m_1x_1+m_2x_2}{m_1+m_2}$$ was bedeutet, dass die Geschwindigkeit des Massenschwerpunkts ist $$v_\text{COM}=\frac{m_1v_1+m_2v_2}{m_1+m_2}$$ Wo$v_1$Und$v_2$sind die Geschwindigkeiten, die in einem bestimmten Trägheitsbezugssystem beobachtet werden.

Um uns also zum Zentrum des Impulsrahmens zu bewegen, müssen wir nur unsere Geschwindigkeiten auf ändern$v_1\to v_1-v_\text{COM}$Und$v_2\to v_2-v_\text{COM}$. Sie können das in diesem Rahmen leicht zeigen,$p_\text{total}=0$, dh

$$m_1(v_1-v_\text{COM})+m_2(v_2-v_\text{COM})=0$$

Die kinetische Energie in diesem Rahmen des Impulszentrums ist die "relative kinetische Energie".

$$K_r=\frac12m_1(v_1-v_\text{COM})^2+\frac12m_2(v_2-v_\text{COM})^2=\frac12\cdot\frac{m_1m_2}{m_1+m_2}\cdot(v_1-v_2)^2$$

Wie Sie sehen können, beinhaltet diese kinetische Energie die Relativgeschwindigkeit zwischen den beiden Objekten sowie die reduzierte Masse$\mu=m_1m_2/(m_1+m_2)$. Von hier aus können Sie dann leicht zeigen, dass es sich um eine Kollision zwischen zwei Objekten handelt

$$k_\text{COR}=\frac{v_{1,\text{after}}-v_{2,\text{after}}}{v_{1,\text{before}}-v_{2,\text{before}}}=\sqrt{\frac{(v_{1,\text{after}}-v_{2,\text{after}})^2}{(v_{1,\text{before}}-v_{2,\text{before}})^2}}=\sqrt{\frac{K_{r,\text{after}}}{K_{r,\text{before}}}}$$