Hilfe bei der Ableitung einer einfachen Gleichung bei zweidimensionaler Kollision - Impulserhaltung

$v_1$Und$v_2$sind die Geschwindigkeitsbeträge von Massen$m_1$Und$m_2$jeweils vor der Kollision, während$v_1'$Und$v_2'$sind die Geschwindigkeitsbeträge nach dem Stoß. Ein Objekt kommt herein und trifft das andere. Angenommen, das erste Objekt kommt entlang der x-Achse herein (wir können frei wählen). Nach dem Zusammenstoß$m_1$fährt schräg ab$\theta_1$zur x-Achse und$m_2$fährt schräg ab$\theta_2$.

Uns wird gesagt, dass die Impulserhaltung impliziert:

$$m_1 v_1 = m_1 v_1' \cos{\theta_1}+m_2 v_2' \cos{\theta_2}$$ Und $$0 = m_1 v_1' \sin{\theta_1} + m_2 v_2' \sin{\theta_2}$$

Eine Möglichkeit ist, dass das zweite Objekt zunächst in Ruhe ist ($v_2 = 0$). Ich gehe davon aus. Wenn ja, bedeutet dies, dass wenn$\theta_1$ist positiv (negativ),$\theta_2$ist negativ (positiv).

Das wird uns auch gesagt$m_1 = m_2 = m$, also Division durch durch$m$gibt:

$$v_1 = v_1' \cos{\theta_1}+ v_2' \cos{\theta_2}$$ Und $$0 = v_1' \sin{\theta_1} + v_2' \sin{\theta_2}$$

Das Quadrieren beider Gleichungen ergibt:

$$v_1^2 = v_1'^2 \cos^2{\theta_1}+ v_2'^2 \cos^2{\theta_2} + 2v_1'v_2'\cos{\theta_1}\cos{\theta_2}$$ Und $$0 = v_1'^2 \sin^2{\theta_1} + v_2'^2 \sin^2{\theta_2} + 2v_1'v_2'\sin{\theta_1}\sin{\theta_2}$$

Addieren der ersten Gleichung zur zweiten und Verwenden der trigonometrischen Identität$\cos\theta_1\cos\theta_2 + \sin\theta_1\sin\theta_2 = \cos(\theta_1 - \theta_2)$:

$$v_1^2 = v_1'^2(sin^2\theta_1 + \cos^2\theta_1) + v_2'^2(sin^2\theta_2 + \cos^2\theta_2) + 2v_1'v_2'(\cos\theta_1\cos\theta_1 + \sin\theta_1\sin\theta_2) =v_1'^2 + v_2'^2 +2 v_1' v_2' \cos(\theta_1-\theta_2)$$

Zum Schluss durch multiplizieren mit$\tfrac{1}{2}m$:

$$\tfrac{1}{2}mv_1^2 = \tfrac{1}{2}mv_1'^2 + \tfrac{1}{2}mv_2'^2 +mv_1' v_2' \cos(\theta_1-\theta_2)$$

Beachten Sie, dass der letzte Term auf der rechten Seite der Ausdruck ist, den Sie als gleich Null beweisen möchten.

Wenn kinetische Energie bei der Kollision erhalten bleibt – das heißt, wenn die Kollision vollkommen elastisch ist – dann nach der Definition von kinetischer Energie

$$\tfrac{1}{2}mv_1^2 = \tfrac{1}{2}mv_1'^2 + \tfrac{1}{2}mv_2'^2$$

In diesem Fall, und nur in diesem Fall, muss es so sein$mv_1' v_2' \cos(\theta_1-\theta_2) = 0$, Weil$\tfrac{1}{2}mv_1^2$kann nicht gleich zwei verschiedene Dinge sein.

Wenn die Kollision nicht elastisch ist, kann ich das Ergebnis nicht beweisen, da das Ergebnis in diesem Fall tatsächlich nicht gilt.