Berechnung der Geschwindigkeit über kinetische Energie und Impuls mit unterschiedlicher Antwort

Question

Berechnung der Geschwindigkeit über kinetische Energie und Impuls mit unterschiedlicher Antwort

Benutzer3256725

Ich greife das gegebene Problem an (als Vorwort bitte ich nicht darum, irgendwelche Antworten zu bekommen, sondern suche nur nach Klarheit von Leuten, die viel klüger sind als ich selbst)

Ein 15,0 kg schwerer Block ist an einer sehr leichten horizontalen Feder mit einer konstanten Kraft von 525 N/m befestigt und ruht auf einem glatten horizontalen Tisch. Plötzlich wird er von einem 3,00 kg schweren Stein getroffen, der sich horizontal mit 8,00 m/s nach rechts bewegt, woraufhin der Stein mit 2,00 m/s horizontal nach links zurückprallt.

Finden Sie den maximalen Abstand, um den der Block die Feder nach der Kollision zusammendrückt.

Ich habe damit begonnen, die Geschwindigkeit unmittelbar nach der Kollision zu berechnen. Aufgrund der Sprache gehe ich davon aus, dass es sich um einen elastischen Stoß handelt und daher die kinetische Energie erhalten bleibt, sollten sowohl die Impulserhaltung als auch die Erhaltung der kinetischen Energie funktionieren. (Mir ist klar, wenn ich die kinetische Energie wüsste, müsste ich die Geschwindigkeit nicht kennen, aber ich überprüfe nur beide Wege für meine eigene geistige Gesundheit.)

Erhaltung von KE:

(\frac{1}{2}) (M_{A}) {(v_{1})}^{2} + (\frac{1}{2}) (M_{B}) {(v_{1})}^{2} = (\frac{1}{2}) (M_{A}) {(v_{2})}^{2} + (\frac{1}{2}) (M_{B}) {(v_{2})}^{2}

$\left(\frac12\right)\left(m_a\right)\left(v_1\right)^2 + \left(\frac12\right)\left(m_b\right)\left(v_1\right)^2 = \left(\frac12\right)\left(m_a\right)\left(v_2\right)^2 + \left(\frac12\right)\left(m_b\right)\left(v_2\right)^2$

\Rightarrow (\frac{1}{2}) (3) {(8)}^{2} = (\frac{1}{2}) (3) {(2)}^{2} + (\frac{1}{2}) (15) {(v_{2})}^{2}

$\Rightarrow \left(\frac12\right)\left(3\right)\left(8\right)^2 = \left(\frac12\right)\left(3\right)\left(2\right)^2 + \left(\frac12\right)\left(15\right)\left(v_2\right)^2$

\Rightarrow v_{2} = 3.46

$\Rightarrow V_2 = 3.46$

Impulserhaltung:

(M_{A}) (v_{1}) + (M_{B}) (v_{1}) = (M_{A}) (v_{2}) + (M_{B}) (v_{2})

$\left(m_a\right)\left(v_1\right) + \left(m_b\right)\left(v_1\right) = \left(m_a\right)\left(v_2\right) + \left(m_b\right)\left(v_2\right)$

\Rightarrow (3) (8) = (3) (2) + (15) (v_{2})

$\Rightarrow \left(3\right)\left(8\right) = \left(3\right)\left(2\right) + \left(15\right)\left(v_2\right)$

\Rightarrow v_{2} = 1.2

$\Rightarrow V_2 = 1.2$

Ich habe die Formel auch ausprobiert

v_{B} 2 = (2 M_{A} * v_{A} 1) / (M_{A} + M_{B}) \Rightarrow v_{B} 2 = 2.66

$V_b2 = \left(2m_a*v_a1\right)/\left(m_a+m_b\right) \Rightarrow V_b2 = 2.66$

Wie kommt es, dass zwei verschiedene Ansätze zu unterschiedlichen Antworten führen? Ist meine anfängliche Annahme, dass es sich um eine elastische Kollision handelt?

daniel

Die Kollision wird elastisch sein, aber sobald sich die Masse zu bewegen beginnt, überträgt sie ihre kinetische Energie auf die potentielle Energie der Feder ...

daniel

Sie müssen die Impulserhaltung verwenden, um die Geschwindigkeit des Blocks zu erhalten, und dann die Gesamtenergieerhaltung, um die zurückgelegte Entfernung zu erhalten

1 / 2 k x^{2}

$1/2 kx^2$

daniel

Und Ihre Impulse müssen negative Vorzeichen enthalten, wenn die Geschwindigkeit in die entgegengesetzte Richtung geht

Antworten (1)

Berechnung der Geschwindigkeit über kinetische Energie und Impuls mit unterschiedlicher Antwort

Die Kollision wird elastisch sein, aber sobald sich die Masse zu bewegen beginnt, überträgt sie ihre kinetische Energie auf die potentielle Energie der Feder ...
Sie müssen die Impulserhaltung verwenden, um die Geschwindigkeit des Blocks zu erhalten, und dann die Gesamtenergieerhaltung, um die zurückgelegte Entfernung zu erhalten $1/2 kx^2$
Und Ihre Impulse müssen negative Vorzeichen enthalten, wenn die Geschwindigkeit in die entgegengesetzte Richtung geht

daniel · Answer 1

Ich gehe davon aus, dass sich die Feder rechts vom Block befindet und daher nicht getroffen wird, und nehme die positive Richtung, um rechts zu sein. Die Oberfläche ist glatt und die Feder ist ideal, so dass es keine dissipativen Kräfte gibt, sodass die gesamte beteiligte Energie entweder kinetische Energie oder die potenzielle Energie der Feder ist.

Um die Geschwindigkeit des Blocks zu berechnen, Masse $M$ sagen wir, wir verwenden die Impulserhaltung beim Zusammenstoß mit dem Stein, der Masse $m$ - Der Stein kommt mit Geschwindigkeit herein $u_i$ (das ist rechts) und verlässt mit einer Geschwindigkeit $u_f$ (was zufällig links ist, aber das wird nur wichtig sein, wenn wir die Zahlen eingeben und negativ sein werden ). Wir nennen die Geschwindigkeit des Blocks nach der Kollision $v$ (es war vorher in Ruhe). Also Gesamtimpuls vorher = Gesamtimpuls danach ergibt:

M u_{ich} = M u_{F} + M v

$mu_i = mu_f + Mv$ so dass

v = \frac{M (u_{ich} - u_{F})}{M} = \frac{3 (8 - (- 2))}{15} = 2 M / S .

$v = {m(u_i-u_f)\over M} = {3(8-(-2))\over 15} = 2m/s.$ Beachten Sie, dass ich einen negativen Wert für verwendet habe

u_{f}

$u_f$ weil uns gesagt wird, dass der Stein nach links geht, dh in die negative Richtung, und so

v

$v$ endet positiv, dh der Block bewegt sich nach rechts, die positive Richtung.

Nach dieser Kollision sind wir mit dem Stein fertig und konzentrieren uns auf den Block und die Feder. Wenn der Block zum ersten Mal zur Ruhe kommt, liegt dies daran, dass seine gesamte kinetische Energie zum Zusammendrücken der Feder verwendet wurde, wodurch der Feder potentielle Energie verliehen wird. Die Distanz, die es bewegt, entspricht der Verlängerung $x$ (oder Kompression, wenn Sie möchten) der Feder, wenn sie diesen Wert der potentiellen Energie hat. Also KE des Blocks = PE der Feder ergibt:

\frac{1}{2} M v^{2} = \frac{1}{2} k X^{2}

${1\over 2}Mv^2 = {1\over 2}kx^2$

so dass

X^{2} = \frac{M v^{2}}{k} = \frac{M {(\frac{M (u_{ich} - u_{F})}{M})}^{2}}{k} = \frac{M^{2} (u_{ich} - u_{F})^{2}}{M k} = \frac{3^{2} (8 - (- 2))^{2}}{15 \times 525} = \frac{900}{7875}

$x^2 = {Mv^2\over k} = {M{\left(m(u_i-u_f)\over M\right)}^2\over k} = {m^2(u_i-u_f)^2\over Mk} = {3^2(8-(-2))^2\over15\times525} = {900\over7875}$ und so

X = \sqrt{\frac{900}{7875}} ≃ 0,338 M .

$x=\sqrt{{900\over7875}} \simeq 0.338m.$

Im letzten Block der Algebra hätte ich einfach reinschreiben können $v=2$ anstatt den vollständigen Ausdruck in Bezug auf die gegebenen Variablen zu setzen, aber es wäre genau dasselbe herausgekommen, und wir können auf diese Weise etwas mehr von der Abhängigkeit sehen.

Berechnung der Geschwindigkeit über kinetische Energie und Impuls mit unterschiedlicher Antwort

Benutzer3256725

daniel

daniel

daniel

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daniel

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