Warum streuen Teilchen gleicher Masse (wobei eines ruht), die elastischen Stößen ausgesetzt sind, nur im rechten Winkel?

Question

Warum streuen Teilchen gleicher Masse (wobei eines ruht), die elastischen Stößen ausgesetzt sind, nur im rechten Winkel?

Benutzer279043

Dies ist aus Abschnitt 9.6, Seite 351 von „Classical Dynamics of Particles and Systems“ von Thornton und Marion.

Indem man ein System aufstellt, in dem Masse 1 einen Anfangsimpuls hat $m_1 u_1$ und Masse 2 ist in Ruhe.

Wenn wir lassen

$\psi$ sei die Streuung des Winkels von Partikel 1 von der Verbindungslinie $m_1$ Und $m_2$ vor dem Kontakt im Lab-Referenzrahmen
$\xi$ ist der Streuwinkel von Partikel 2 von der gleichen Referenzlinie wie oben im Lab-Referenzrahmen
$V$ sei die Geschwindigkeit des Massenschwerpunkts im Lab-Bezugssystem
$v_1$ , $v_2$ sei die Endgeschwindigkeit der Partikel 1 bzw. 2 im Lab-Bezugssystem
$u_1'$ , $u_2'$ seien die Anfangsgeschwindigkeiten im Bezugssystem des Massenschwerpunkts
$v_1'$ , $v_2'$ seien die Endgeschwindigkeiten im Bezugsrahmen des Massenschwerpunkts
$\theta$ sei der Streuwinkel von Partikel 1 im Bezugsrahmen des Massenzentrums

Dann aus der Tatsache, dass:

Erhaltung von Impuls und kinetischer Energie impliziert $u_1'=v_1'$ Und $u_2'=v_2'$
$u_1 = u_1' + u_2'$ ist die relative Geschwindigkeit der beiden Teilchen vor der Kollision, die in beiden Rahmen gleich ist
$u_2' = V$ da vektoriell die Vektoren die gleiche Größe, aber entgegengesetzte Richtungen haben
$u_2 = 0$ da das 2. Teilchen im Lab-Bezugssystem ruht

Durch algebraische Manipulationen können wir schreiben $v_1'$ Und $v_2'$ bezüglich $u_1$

und durch geometrische Inspektion können wir feststellen, dass:

T A N ψ = \frac{v_{1}^{'} S ich N θ}{v 1^{'} C Ö S θ + v}

$tan\psi = \frac{v_1' sin\theta}{v1' cos\theta + V}$ was (seit

v / v_{1}^{'} = m_{1} / m_{2}

$v/v_1' = m_1/m_2$ ) vereinfacht sich zu:

T A N ψ = \frac{S ich N θ}{C Ö S θ + (M_{1} / M_{2})}

$tan\psi = \frac{sin\theta}{cos\theta + (m_1/m_2)}$

und das:

T A N ξ = \frac{v_{2}^{'} S ich N θ}{v - v_{2}^{'} C Ö S θ}

$tan\xi = \frac{v_2' sin\theta}{V - v_2' cos\theta}$ was (seit

V = v_{2}^{'}

$V = v_2'$ ) vereinfacht sich zu:

T A N ξ = C Ö T \frac{θ}{2}

$tan\xi = cot\frac{\theta}{2}$ impliziert:

2 ξ = π - θ

$2\xi = \pi - \theta$

Dann in dem Fall, wo $m_1 = m_2$ wir haben:

ψ = \frac{θ}{2}

$\psi = \frac{\theta}{2}$ so dass:

ξ + ψ = \frac{π}{2}

$\xi + \psi = \frac{\pi}{2}$

Trotz all dieser ausgefallenen mathematischen Akrobatik scheint das Ergebnis kontraintuitiv zu dem zu sein, was wir erwarten. Warum muss der Streuwinkel zwischen den beiden Teilchen immer 90 Grad betragen?

Was wäre zum Beispiel, wenn Partikel 1 Partikel 2 direkt trifft, sodass Partikel 1 gerade zurückprallt, während Partikel 2 gerade nach vorne gestoßen wird, wodurch ein Streuwinkel von 180 entsteht? Ist das nicht das, was wir normalerweise beim Billard sehen (wo die Kugeln ungefähr die gleiche Masse haben).

Benutzer

Billardkugeln sind nicht gerade "ideal", wenn sie kollidieren. Je nachdem, wie Sie den Ball schlagen, kann er sich drehen, während er sich vorwärts bewegt. Die Drehung kann jede Richtung haben. Zum Beispiel kann es sich rückwärts drehen, während es sich vorwärts bewegt. Nachdem es kollidiert ist, kann es sich ziemlich genau in eine Richtung bewegen (basierend auf der ihm zuvor gegebenen Rotation) oder einfach stillstehen.

dmckee --- Ex-Moderator-Kätzchen

Weil sie im CoM-System Rücken an Rücken streuen.

Antworten (3)

Warum streuen Teilchen gleicher Masse (wobei eines ruht), die elastischen Stößen ausgesetzt sind, nur im rechten Winkel?

Billardkugeln sind nicht gerade "ideal", wenn sie kollidieren. Je nachdem, wie Sie den Ball schlagen, kann er sich drehen, während er sich vorwärts bewegt. Die Drehung kann jede Richtung haben. Zum Beispiel kann es sich rückwärts drehen, während es sich vorwärts bewegt. Nachdem es kollidiert ist, kann es sich ziemlich genau in eine Richtung bewegen (basierend auf der ihm zuvor gegebenen Rotation) oder einfach stillstehen.

Paul T. · Answer 1

Der perfekte Frontalzusammenstoß ist ein Spezialfall, bei dem wir uns keine Gedanken über relative Winkel machen müssen. Wir können es lösen, indem wir Physik 1 Impuls- und Energieerhaltung verwenden, alles im Laborrahmen.

Für Teilchen gleicher Masse

M u_{1} = M v_{1} + M v_{2} ⟹ u_{1} = v_{1} + v_{2},

$m u_1 = m v_1 + m v_2 \implies u_1 = v_1 + v_2,$

Und

\frac{1}{2} M {u_{1}}^{2} = \frac{1}{2} M {v_{1}}^{2} + \frac{1}{2} M {v_{2}}^{2} ⟹ {u_{1}}^{2} = {v_{1}}^{2} + {v_{2}}^{2} .

$\frac{1}{2} m {u_1}^2 = \frac{1}{2} m {v_1}^2 + \frac{1}{2} m {v_2}^2 \implies {u_1}^2 = {v_1}^2 + {v_2}^2 .$

Wir können die Impulsgleichung quadrieren und finden

{u_{1}}^{2} = {v_{1}}^{2} + {v_{2}}^{2} + 2 v_{1} v_{2} = {v_{1}}^{2} + {v_{2}}^{2} .

${u_1}^2 = {v_1}^2 + {v_2}^2 + 2 v_1 v_2 = {v_1}^2 + {v_2}^2.$

So

2 v_{1} v_{2} = 0.

$2 v_1 v_2 = 0.$

Das bedeutet, dass eines der Teilchen nach dem Stoß die Geschwindigkeit Null hat. Entweder ist Teilchen 1 direkt durch Teilchen 2 ohne Wirkung (aphysisch) hindurchgegangen, oder Teilchen 1 stoppt und überträgt seinen gesamten Impuls und seine gesamte Energie auf Teilchen 2.

Im Massenmittelpunkt wäre dies eine Streuung $180^\circ$ . Die Tatsache, dass das erste Teilchen stoppt, muss eine der Annahmen von M&T widerlegen. In diesem Fall der Streuwinkel von Teilchen 1 $\theta$ ist schlecht definiert. Welche Bewegungsrichtung hat ein angehaltenes Teilchen?

Beim Billard sehen Sie, wie ein Ball rückwärts springt, weil er sich vor dem Aufprall rückwärts drehte (während er am Tisch entlang rutschte). Es hört auf. Der Drehimpuls bleibt erhalten, also dreht er sich weiter. Reibung fängt den Spin auf dem Tisch auf und er beginnt rückwärts zu rollen. Wenn der Ball auf dem Tisch rollt, bewegt er sich aus dem gleichen Grund nach der Kollision weiter vorwärts.

Ich habe nicht den Ruf zu kommentieren, aber Einstellung $\theta=0$ ist nicht das Problem, wie eine andere Antwort andeutet:

bräunen ξ = Kinderbett 0 \to \infty ⟹ ξ = \frac{π}{2}

$\tan\xi=\cot 0\rightarrow\infty \implies \xi=\frac{\pi}{2}$

Mansoor-hep · Answer 2

Für einen Frontalzusammenstoß, wenn wir nehmen $\psi = 0$ dann impliziert dies $\theta = 0$ Und $\zeta = 0$ . Aber in der Ableitung von $\zeta + \psi = \pi/2$ davon wird implizit ausgegangen $\theta \neq 0$ , daher wird der Frontalkollisionsfall automatisch bei der Ableitung ausgeschlossen.

Scott Lawrence · Answer 3

Ich denke, das gleiche Ergebnis im "frontalen" Fall abzuleiten, in dem einer der Streuwinkel ist $0$ Und $\pi$ wird am Ende durch geteilt $0$ .

Kinderbett \frac{θ}{2} = \frac{1}{0}

$\cot \frac\theta 2 = \frac{1}{0}$

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Benutzer279043

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dmckee --- Ex-Moderator-Kätzchen

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Paul T.

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Scott Lawrence

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