Impuls- und Energieerhaltungsprinzip bezweifeln

Question

Impuls- und Energieerhaltungsprinzip bezweifeln

Benutzer118752

Nehmen wir an, wir setzen einen Massenwirbel frei $m$ befestigte die Decke durch einen langen Draht $l_0$ . Jetzt am untersten Punkt ein weiterer identischer Masseklumpen $m$ wird sanft am Bob befestigt. Nun müssen wir den Winkel finden, bis zu dem das System ansteigt.

Zuerst habe ich versucht, die Frage mithilfe des Energieeinsparungsproblems vom Anfangspunkt bis zum letzten Punkt (maximal $\theta$ ) (wobei der unterste Punkt als potentieller Bezugspunkt genommen wird)

U_{ich N ich T ich A l} = M G (l_{0})

$U_{initial} = mg(l_0)$

K_{ich N ich T ich A l} = 0

$K_{initial}=0$

U_{F ich N A l} = 2 M G l_{0} (1 - \cos θ)

$U_{final}= 2mgl_0(1-\cos\theta)$

K_{F ich N A l} = 0

$K_{final}=0$

Verwenden

U_{ich N ich T ich A l} + K_{ich N ich T ich A l} = U_{F ich N A l} + K_{F ich N A l}

$U_{initial}+K_{initial}=U_{final}+K_{final}$

M G (l_{0}) = 2 M G l_{0} (1 - \cos θ)

$mg(l_0)=2mgl_0(1-\cos\theta)$ $\Rightarrow θ = 60^{0}$ $\Rightarrow \theta= 60^0$

Dann habe ich versucht, das Problem mit der Impulserhaltung zu lösen

Am untersten Punkt ist die Geschwindigkeit der einzelnen Masse $\sqrt{2gl_0}$ Impulserhaltung verwenden

M \cdot \sqrt{2 G l_{0}} = 2 M \cdot v

$m \cdot \sqrt{2gl_0}=2m \cdot v$ (Wo

v

$v$ ist die Geschwindigkeit der kombinierten Masse vom untersten Punkt )

v = \frac{\sqrt{2 G l_{0}}}{2}

$v= {\sqrt{2gl_0} \over 2}$

Nun wieder mit der Energieerhaltung vom untersten Punkt bis zum letzten Punkt

U_{ich N ich T ich A l} = 0

$U_{initial} = 0$

K_{ich N ich T ich A l} = \frac{1}{2} (2 M) v^{2}

$K_{initial}={1 \over 2}(2m)v^2$

U_{F ich N A l} = 2 M G l_{0} (1 - \cos θ)

$U_{final}= 2mgl_0(1-\cos\theta)$

K_{F ich N A l} = 0

$K_{final}=0$

Verwenden

U_{ich N ich T ich A l} + K_{ich N ich T ich A l} = U_{F ich N A l} + K_{F ich N A l}

$U_{initial}+K_{initial}=U_{final}+K_{final}$

\frac{1}{2} (2 M) v^{2} = 2 M G l_{0} (1 - \cos θ)

${1 \over 2}(2m)v^2=2mgl_0(1-\cos\theta)$

\frac{M (2 G l_{0})}{4} = 2 M G l_{0} (1 - \cos θ)

${m(2gl_0) \over 4}= 2mgl_0(1-\cos\theta)$

\Rightarrow θ = C Ö S^{- 1} (3 / 4)

$\Rightarrow \theta = cos^{-1}(3/4)$

Warum besteht ein solcher Widerspruch zwischen den Antworten? Kann hier nicht der Energieerhaltungssatz angewendet werden?

Antworten (3)

Impuls- und Energieerhaltungsprinzip bezweifeln

Färcher · Answer 1

Damit sich die Bobs zusammenfügen, muss die Kollision unelastisch sein, und daher wird beim Verbinden der beiden Bobs keine kinetische Energie erhalten.
Wenn Sie die Geschwindigkeit nach dem Verbinden der beiden Massen durch Impulserhaltung gefunden haben, werden Sie sehen, dass die kinetische Energie abnimmt.

Update , bei dem ich große Schwierigkeiten beim Schreiben gefunden habe.

Unabhängig davon, ob das Fügen sanft ist oder nicht, da während des Stoßes keine äußeren horizontalen Kräfte auftreten, muss die Impulserhaltung in horizontaler Richtung gelten.

Also die kinetische Energie des einen Bobs vor dem Fügen $\frac 1 2 \; m \; 2gl_o$ und die kinetische Energie der beiden Bobs nach dem Zusammenfügen ist $\frac 1 2 \; 2m \;\dfrac{2gl_o}{4}$ .

Die translatorische kinetische Energie des Massenschwerpunkts der beiden Bobs hat sich um die Hälfte verringert.

Wenn die Verbindung durch einen Stift erfolgt, der an einem Bob befestigt ist und in den anderen Bob geht, dann kann man sagen, dass Arbeit geleistet werden muss, um den Stift in den Bob zu treiben, und das Ergebnis ist, dass einige Bindungen zwischen Atomen dauerhaft gebrochen werden und die Bobs erhalten heisser.

Nehmen wir stattdessen an, dass die beiden Bobs, $A$ Und $B$ waren so sauber, dass sie beim Zusammenstoß durch kohäsive Kräfte miteinander verbunden wurden.

Also der bewegliche Bob $A$ trifft den stationären Bob $B$ verformen sich die Verbindungen zwischen den beiden Bobs und der Schwerpunkt der beiden Bobs bewegt sich mit der halben Geschwindigkeit der Anfangsgeschwindigkeit des Bobs weg $A$ wie durch Impulserhaltung bestimmt.

Es gibt zwei Extreme:

1 Durch die Kollision werden die Bindungen zwischen den beiden Bobs dauerhaft verformt und die dafür benötigte Arbeit stammt aus der kinetischen Energie, die der Bob bewegt $A$ hatte anfangs.
Die Kollision zwischen den Bobs ist unelastisch.

2 Die Kollision zwischen den beiden Bobs ist elastisch, was bedeutet, dass die komprimierten Bindungen wie komprimierte Federn wirken und elastische potenzielle Energie speichern und auch Kräfte auf die beiden Massen ausüben.

Die beiden Massen trennen sich, gewinnen kinetische Energie und tun dies weiter, bis sich die Bindungen zu dehnen beginnen.
Die beiden Bobs werden dann langsamer, verlieren kinetische Energie und die Bindungen, weil sie gedehnt werden, gewinnen elastische potentielle Energie.
Irgendwann hören die beiden Bobs auf und die Fesseln ziehen nun die beiden Bobs zusammen.

Also zusammenfassend.
Sie haben den Massenmittelpunkt der beiden Bobs, die sich in einem Kreisbogen bewegen, und die beiden Bobs oszillieren um ihren Massenschwerpunkt mit einer Energie, die mit dieser oszillierenden Bewegung verbunden ist, die die Hälfte der kinetischen Energie dieses Bobs ist $A$ hatte anfangs.

All dies ist ziemlich abstrakt, aber ich versuche hervorzuheben, dass die „fehlende“ kinetische Energie nicht verloren geht, sondern nicht mehr Teil der translatorischen kinetischen Energie des Zwei-Bob-Systems ist.

In der realen Welt könnte die Kollision durchaus (Stoß-)Wellen innerhalb der Bobs senden.
Mit der Zeit ließen diese Wellen nach und infolgedessen hatten die Bobs eine höhere Temperatur.

Durch welchen Mechanismus auch immer Sie sich entschieden haben, die beiden Bobs zusammenzufügen, die Hälfte der anfänglichen kinetischen Energie, die dieser Bob hat $A$ hatte, würde als Hitze, Geräusch und Arbeit enden, die die Bobs dauerhaft verformt.

Das heißt also, dass ich die erste Methode nicht anwenden kann, da zum Zeitpunkt der Kollision etwas kinetische Energie in potenzielle Energie übergeht?
OP sagt "sanft", was überhaupt auf keine Kollision hindeutet, wie milder Magnetismus usw
Ob sanft oder nicht, die beiden Bobs kleben am Ende zusammen und so nimmt in gewisser Weise die kinetische Energie ab. Wenn es sich um eine Nadel in einem Bob handelt, die in den anderen geht, wird permanent Arbeit geleistet, Bindungen gelöst und Wärme erzeugt.
Wenn es sich um eine hakenartige Anordnung handeln würde, würden die beiden Bobs um ihren Massenschwerpunkt oszillieren, wobei die Geschwindigkeit des Massenschwerpunkts durch die Impulskonversation bestimmt wird. Stellen Sie es sich in gewisser Weise als eine Wiege mit zwei Newtons vor, bei der eine Kugel auf die andere trifft und sie dann zusammengehalten werden, um sich gemeinsam zu bewegen.
Bei diesem Problem liegt der Trick darin, zunächst einmal zu erkennen, dass es sich um einen unelastischen Stoß handelt. Offensichtlich wird die verlorene Energie in Wärme, Federenergie oder eine andere Energieform umgewandelt, aber das ist für das Erreichen der richtigen Antwort unerheblich. Diese Situation des Zusammenstoßes einer bewegten Masse mit einer stationären Masse und dann das Aneinanderhaften der beiden Massen und das gemeinsame Bewegen in die gleiche Richtung kann nicht gleichzeitig sowohl die Energieerhaltung als auch die Impulserhaltung erfüllen. Er muss als unelastischer Stoß behandelt werden, bei dem Impulserhaltung gilt.
In diesem Beispiel ist die anfängliche kinetische Energie $\frac 12 mv^2$ und die endgültige kinetische Translationsenergie ist $\frac 12 (2m) \left (\frac v2 \right )^2 =\frac 12 \left ( \frac 12 m v^2 \right )$

Benutzer103515 · Answer 2

Die Geschwindigkeit (v1) der Masse m kurz vor dem Anhaften an der 2. Masse m ist sqrt(2gl0)

Verwenden Sie nun die Impulserhaltung, um die Geschwindigkeit (v2) zu berechnen, kurz nachdem die beiden Massen aneinander haften. Es ergibt sich sqrt(2gl0)/2.

Berechnen Sie den KE kurz vor dem Kleben. es kam heraus (mgl0)

Berechnen Sie den KE direkt nach dem Kleben. es kommt als (mgl0)/2 heraus.

Sie können also deutlich sehen, dass die Gesamtenergie in diesem Problem nicht erhalten bleibt. Wenn Massen aneinander haften bleibt Energie nicht erhalten. Es ist eine unelastische Wechselwirkung. Sie können Energie- und Impulserhaltung nicht gleichzeitig auf dieses Problem anwenden. Sie können dies überprüfen, indem Sie die Energie- und Impulserhaltungsgleichungen zu dieser Aufgabe schreiben.

Aber der Impuls bleibt immer erhalten, da Sie die Reibung (mit Luft) vernachlässigt haben. Ihre zweite Methode, bei der Sie zuerst die Geschwindigkeit unter Verwendung der Impulserhaltung berechnet und dann die Energieerhaltung angewendet haben, nachdem die Massen zusammengeklebt sind, ist also richtig.

Benutzer104372 · Answer 3

Sie brauchen keine komplexen Berechnungen, wenn es eine unelastische Kollision gibt, wird die Geschwindigkeit 1/2 und die Höhe 1/4, (andernfalls wird die Geschwindigkeit des Bobs [s] zu v/sqrt2), Höhe ( $l_0*(1-cos\theta)$ nur die Hälfte ist, dann finden Sie den entsprechenden Winkel. Wenn der ursprüngliche Winkel tatsächlich 60° war, beträgt der neue Winkel in diesem Fall = 41,41°, weil $\theta'= arccos (1-\frac{cos\theta}{2})$ , (1-1/4 = 3/4)

Was ist die gegebene Antwort? Aus dem, was sie für die richtige Antwort halten, können wir ableiten, welche Bedingungen sie sich vorgestellt haben. Hast du das Bild selbst gezeichnet, da es nicht genau ist. Wenn der zweite Bob unten angebracht wird, senkt das CoM und das muss berücksichtigt werden

Wenn die Endgeschwindigkeiten der beiden Bobs ist $\dfrac{v}{\sqrt 2}$ dann bleibt der Impuls in horizontaler Richtung nicht erhalten. Die Kollision zwischen den beiden Bobs muss unelastisch sein.
@Farcher, warten wir auf die gegebene Antwort, und wir werden wissen, was sie im Sinn hatten. Aus den Verfahren von OP scheint dies am wahrscheinlichsten zu sein. Wenn es unelastisch ist, wird v zur Hälfte.
Ich weiß es wirklich zu schätzen, wie Sie es mir leicht gemacht haben, und wenn Sie Ihre Antwort nicht angeklickt haben, heißt das nicht, dass ich sie nicht akzeptiert habe. Es war nur so, dass ich wissen wollte, dass der Grund von KE nicht erhalten bleibt, und deshalb habe ich mich für den ersten entschieden.

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