Warum bleibt der Impuls bei diesem Riemenscheibenproblem nicht erhalten?

Die Umlenkrolle (und die Befestigung an der Decke) gehören hier zum System. Aus diesem Grund können Sie die Impulserhaltung nicht einfach auf die drei gegebenen Massen anwenden.

Wenn die Endgeschwindigkeit wäre$v$, dann hätte sich die Gesamtenergie des Systems erhöht, da sich sowohl die Pfanne als auch das Gegengewicht bewegen würden und die andere Masse nicht langsamer geworden wäre.

Sie können Impulserhaltungsgleichungen nicht nur auf einen Teil eines Systems anwenden. Wenn Sie sich einen Ball vorstellen, der auf den Boden springt, können Sie nicht sagen, dass der Impuls des Balls vor und nach dem Aufprall erhalten bleibt. Sie müssen auch die Impulsänderung des Bodens berücksichtigen.

In Ihrem Problem wird die Impulsänderung der Decke klein, aber relevant sein.

Da Sie die Änderung in dieser letzten Komponente nicht kennen, können Sie die Erhaltung nicht verwenden, um nach dem verbleibenden Impuls der anderen drei Massen zu lösen.

Lassen Sie uns die Situation ändern, um dies deutlicher zu machen. Anstelle eines Gegengewichts sollten Sie zwei Pfannen und zwei Gewichte in Betracht ziehen.

Stellen wir uns die Rolle und die Schnur als masselos vor, sodass die beiden Pfannen und die beiden Gewichte eine Gesamtmasse von haben$4m$. Wenn die Kugeln eine Geschwindigkeit haben$v$, dann ist der Gesamtimpuls der Riemenscheibe im Raum$1mv + 1mv = 2mv$.

Aber durch Symmetrie können wir sehen, dass sich die Riemenscheibe nicht drehen wird. Wenn wir uns vorstellen, dass die Pfannen nach dem Stoß ruhen, stellen wir fest, dass der Impuls jetzt ist$0mv$.

Wenn die Verbindung der Rolle zur Decke/Raum/Erde nicht Teil des Systems ist, dann sagen wir, dass Kräfte von dieser Verbindung extern waren und den Gesamtimpuls veränderten. Wir können die Impulserhaltung aufgrund äußerer Kräfte nicht verwenden.

Wenn Decke/Raum/Erde Teil des Systems sind, haben sie nach der Kollision gewonnen$2mv$Abwärtsmomentum, so dass sich das Gesamtsystem nicht ändert. Wenn wir uns die Box als nahezu masselos und in einem Raumschiff statt auf der Erde vorstellen, würde sich die gesamte Box nach unten bewegen$v/2$nachdem die Bälle die Pfannen getroffen haben. (unter der Annahme eines vollständig unelastischen Stoßes). Je massiver die Kiste ist, desto langsamer bewegt sie sich, um die Geschwindigkeit beizubehalten. Stellen Sie sich vor, es wäre an einem Gebäude/Erde befestigt, und der Impuls ändert sich immer noch, aber die Geschwindigkeitsänderung ist nicht mehr messbar.

Ihre Berechnung des Endimpulses nach dem Stoß enthält einen Vorzeichenfehler. Die Riemenscheibe dient dazu, die Bewegungsrichtung zu ändern. Das bedeutet, dass eine Masse, die sich auf der linken Seite der Riemenscheibe nach oben bewegt, für die zugehörige Geschwindigkeit das Vorzeichen „+“ erhält. Wenn die Saite über die Rolle läuft, ändert sich die Bewegungsrichtung so, dass eine Abwärtsgeschwindigkeit auf der rechten Seite der Rolle ein mathematisches "+" -Zeichen erhält. Daher,$mV + mV + mV = 3mV$. Seit$V = \frac {v}{3}$,$3mV = mv$, und der Impuls bleibt erhalten.

Meiner Meinung nach sollte der Impuls der Masse auf der anderen Seite nicht negativ sein, da das betrachtete System ein verbundenes System ist, dh die Impulsübertragung auf die Masse, die auf der anderen Seite der Riemenscheibe hängt, ist die Impulsübertragung durch die Schnur der Riemenscheibe . Ich stimme @BowlOFRed über den Beitrag des auf die Decke übertragenen Impulses zu, aber die Situation fordert uns auf, eine ideale Riemenscheibe (überhaupt keine Rotationsreibung) in Betracht zu ziehen, was impliziert, dass ein Großteil des über die Schnur der Riemenscheibe übertragenen Impulses die Masse beeinflusst am anderen Ende und die Beiträge zur Obergrenze sind vernachlässigbar, also sollte es uns egal sein (EDIT: Siehe Kommentare). Wenn wir also die Gleichungen aufschreiben,

Die Decke übt eine nach oben gerichtete Gesamtkraft auf die Riemenscheibe von Größenordnung aus$2T$, um der gleich großen Kraft der Massen entgegenzuwirken. Die Nettokraft auf das System (bestehend aus drei Massen und der masselosen Rolle und Schnur) ist also nicht Null. Seit$\int {Tdt} = mV = mv/3$,$\int 2Tdt = {2 \over 3} mv$das ist die Menge an Dynamik, die verloren geht.

Es gibt eine vorübergehende Spannung$\Delta T$in der Saite, die zu einer Impulsänderung des Gegengewichts, der Pfanne und der Masse auf der Pfanne führt. An der Decke überträgt die Umlenkrolle die doppelte Kraft auf die Stütze:

Die Impulsänderung der drei Komponenten ist (mit + Richtung nach oben):

Diese Impulsänderung wird durch die Reaktion bereitgestellt$2\Delta T \delta t$an der Umlenkrolle / Decke:

Für das Gegengewicht:

Und für das gesamte System

Was mit der früheren Feststellung übereinstimmt, dass

Beachten Sie, dass, wenn Ihre beiden Komponenten im System in einer geraden Linie wären (gerade Saite, keine Rolle), das Vorzeichen der Impulsänderung für das Gegengewicht umgekehrt wäre und es kein Rätsel geben würde.

Die Aussage zur Impulserhaltung besagt meiner Meinung nach, dass „der Impuls eines Systems erhalten bleibt, wenn keine äußere Kraft auf ihn einwirkt“. Ich denke, der Fehler, den Sie begangen haben, besteht darin, dass Sie versucht haben, das Impulserhaltungsprinzip entlang der y-Richtung anzuwenden, entlang der die Schwerkraft (eine externe Kraft für das System) wirkt. Daher gilt meiner Meinung nach die Impulserhaltung in der genannten Situation nicht

Sei I der Impuls, der durch den Fall der Kugel auf die Planke auf die Saite übertragen wird. Da die Schwerkraft eine ununterbrochene Impulskraft ist, könnte sie für Berechnungszwecke vernachlässigt werden. Und der Impuls würde auch auf die andere Seite der Saite übertragen.

Sei P' der Endimpuls und p der Anfangsimpuls. Also, I=P'-PI=2mV-mu. -1 Und -I = mV. -2 Wenn wir 1 und 2 addieren, erhalten wir 3 mV = mu Also, V = u/3.