Wie wird das Prinzip der Impulserhaltung mit dem Impuls-Impuls-Prinzip bewiesen?

Die Schlüsselkomponente, die Sie vermissen, ist Newtons drittes Gesetz. Der Impuls auf ein Teilchen ist$I=\Delta p=F\Delta t$. Die Wechselwirkungszeit ist dieselbe, aber die Kräfte sind für die beiden Teilchen gleich groß und entgegengesetzt gerichtet:

$$F_A=-F_B\text{ so }I_A=-I_B.$$ Damit brauchen Sie nur etwas Algebra.

Angenommen, die Kollision zwischen den Teilchen A und B dauert einige Zeit$\tau$, und während der Kollision ist die Kraft zwischen den Teilchen eine komplizierte Funktion der Zeit,$F(t)$.

Betrachten Sie Partikel A. Der Gesamtimpuls darauf ist die Kraft mal Zeit oder allgemeiner das Integral der Kraft über die Kollisionszeit:

$$I_a = \int_0^\tau F_a(t)dt$$

Und die Impulsänderung von Teilchen A ist nur der Impuls,$I_a$. Für Teilchen B gilt genau dasselbe, also:

$$I_b = \int_0^\tau F_b(t)dt$$

Aber wir wissen, dass Aktion und Reaktion gleich und entgegengesetzt sind, also$F_a = -F_b$, und deshalb$I_a = -I_b$.

Die Gesamtimpulsänderung ist$I_a + I_b$, und da wir das gerade gezeigt haben$I_a = -I_b$die Änderung ist$-I_b + I_b = 0$. Die Gesamtimpulsänderung ist also Null, dh der Impuls bleibt erhalten.