Ich denke, ein Beispiel wird Ihre Zweifel ausräumen.

Stellen Sie sich ein 3D-System vor, in dem Sie drei Achsen haben$xyz$. Betrachten Sie eine Kraft, die geschrieben werden kann als:

Dies hat sich jedoch nach einigen Experimenten als falsch herausgestellt. Daher sagt Ihnen das Buch, dass es Beweise dafür gibt, dass die Masse unabhängig von der von Ihnen betrachteten räumlichen Richtung identisch ist.

Kraft könnte als Vektor behandelt werden, auch wenn sich Masse in verschiedenen Richtungen unterschiedlich verhält. In diesem Fall wäre die Masse kein einfacher Skalar, sondern ein sogenannter Tensor zweiter Ordnung. Vektoren als Spalte behandeln$3 \times 1$Matrizen, Kraft und Beschleunigung wären

$\mathcal{F}=\left( \begin{matrix} F_x\\ F_y\\ F_z\\ \end{matrix} \right) \quad \text{and} \quad \mathcal{A}=\left( \begin{matrix} a_x\\ a_y\\ a_z\\ \end{matrix} \right);$

Der Tensor zweiter Ordnung, der die Masse darstellt, wäre einfach a$3 \times 3$Matrix:

$\mathcal{M}= \left( \begin{matrix} m_{xx} & m_{xy} & m_{xz}\\ m_{yx} & m_{yy} & m_{yz}\\ m_{zx} & m_{zy} & m_{zz}\\ \end{matrix} \right);$

und Newtons zweites Gesetz würde sich täuschend ähnlich lesen wie seine wohlbekannte Form,$\mathcal{F}=\mathcal{M}\mathcal{A}$, aber definitiv nicht mit dem gleichen Inhalt:

$\left( \begin{matrix} F_x\\ F_y\\ F_z\\ \end{matrix} \right) = \left( \begin{matrix} m_{xx} & m_{xy} & m_{xz}\\ m_{yx} & m_{yy} & m_{yz}\\ m_{zx} & m_{zy} & m_{zz}\\ \end{matrix} \right) \left( \begin{matrix} a_x\\ a_y\\ a_z\\ \end{matrix} \right) \quad \text{or} \quad \begin{matrix} F_x = m_{xx}a_x+m_{xy}a_y+m_{xz}a_z,\\ F_y = m_{yx}a_x+m_{yy}a_y+m_{yz}a_z,\\ F_z = m_{zx}a_x+m_{zy}a_y+m_{zz}a_z. \end{matrix}$

Nach dieser allgemeinen Formulierung ist der Widerstand, den ein Körper einer Änderung seines Bewegungszustandes entgegensetzt, richtungsabhängig. Insbesondere wenn eine Kraft nur in eine Richtung wirkt, kann der Körper auch in verschiedene Richtungen beschleunigen, je nachdem, welche Elemente der Massenmatrix nicht verschwinden.

In gewissem Sinne ähneln die obigen Beziehungen der Rotationsdynamik eines starren Körpers, bei dem das Drehmoment mit Hilfe einer "Rotationsträgheits"-Matrix mit der Winkelbeschleunigung in Beziehung steht. Die Konsequenzen in einem solchen Fall sind weniger abstrakt. Wenn ein Körper so eingestellt wird, dass er sich in eine bestimmte Richtung dreht, weicht seine Drehrichtung normalerweise auf "unerwartete" Weise von der ursprünglichen Richtung ab, abhängig von der Rotationsträgheitsmatrix des Körpers, den Anfangsbedingungen und dem aufgebrachten Drehmoment. Zum Beispiel präzediert ein Kreisel aufgrund der Wirkung der Schwerkraft, aber dieser Effekt ist viel beeindruckender, wie hier bei 35:20 zu sehen ist ; es präzediert auch dann, wenn kein Gravitationsmoment vorhanden ist, wenn es so eingestellt ist, dass es sich in einer anderen Richtung als seiner Symmetrieachse dreht, wie hier bei 0:54; für eine sehr dramatische Situation von Instabilitäten bei der freien Rotation siehe hier (ab 0:28) .

Dennoch können die beiden Fälle im Allgemeinen sehr unterschiedlich sein. Die allgemeinste Rotationsträgheitsmatrix hat das sehr wichtige Merkmal, symmetrisch zu sein (sie ist dasselbe wie ihre Transponierte), was garantiert, dass sie diagonalisiert werden kann, so dass Drehmoment und Winkelbeschleunigung in einem gut gewählten Koordinatensystem parallel gemacht werden können. Andererseits hat die allgemeinste Massenmatrix möglicherweise keine solche Eigenschaft (nicht, dass ich es zumindest sagen könnte). Aus diesem Grund ist es für einige Werte der Elemente der Massenmatrix möglich, dass eine Kraft, die entlang einer einzigen Richtung auf den Massenmittelpunkt eines Körpers wirkt, nur eine Beschleunigung in einer senkrechten Richtung erzeugt.

Soweit ich sehen kann, reichen im Kontext der klassischen Mechanik Experimente, die sich nur mit Translationen (Kräften, die auf den Massenmittelpunkt des Körpers wirken) befassen, möglicherweise nicht aus, um alle neun Elemente seiner Massenmatrix zu bestimmen, und erfordern Experimente, die sich mit Rotationen befassen auch des Körpers.

Im Zusammenhang mit der Quantenmechanik zeigen Experimente bisher (siehe diese Wikipedia-Seite ), dass die Massenmatrix für einen einzelnen Körper diagonal ist, wobei alle Massenelemente gleich sind, sodass die Masse als skalare Größe genommen werden kann.

Betrachten Sie die Bewegung eines starren Körpers und die Rolle der Masse darin:

1. Übersetzung: Wenn wir die Geschwindigkeit eines Körpers ändern wollen, müssen wir eine Kraft aufbringen. Die Schwierigkeit, mit der der Körper seine Geschwindigkeit ändert, hängt von seiner Masse ab, dh in der Translation von der Masse,$m$, ist ein Maß für die Trägheit und ist in allen Richtungen gleich, dh unabhängig davon, in welche Richtung Sie die Kraft aufbringen, die eine Translation bewirkt, führt sie zu derselben Geschwindigkeitsänderung - Beschleunigung.

2. Rotation: Wenn wir die Winkelgeschwindigkeit eines rotierenden Körpers ändern wollen, müssen wir ein Drehmoment aufbringen,$\vec{\tau} = \vec{F} \times \vec{r}$. Die Schwierigkeit, mit der der Körper seine Winkelgeschwindigkeit ändert, hängt von seinen Trägheitsmomenten in der jeweiligen Rotationsachse ab. Trägheitsmomente sind Komponenten eines Tensors, der die Tatsache widerspiegelt, dass die Drehung des Körpers mit gleicher Winkelgeschwindigkeit um verschiedene Drehachsen unterschiedliche Drehmomente erfordert, dh bei der Drehung sind die Trägheitsmomente$I_{ij}$, sind das Maß der Trägheit und sie sind in verschiedenen Richtungen unterschiedlich.

Wenn Sie den zweiten Fall betrachten, sollten Sie in der Lage sein zu verstehen, worauf sich die Autoren wahrscheinlich bezogen haben, als sie sagten: "... Obwohl sich herausstellt, dass dies der Fall ist, ist es nicht offensichtlich wahr ..." . Die Autoren versuchen es wahrscheinlich Präsentieren Sie eine allgemeinere Perspektive, indem Sie feststellen, dass die Tatsache, dass die Menge an Substanz, die in einem Objekt enthalten ist, die als Masse dieses Objekts bekannt ist, skalar ist, weil beobachtet / gemessen wurde, dass die Masse des Objekts überall konstant ist, was ist durch nichts impliziert. Weitere Informationen finden Sie unter dem Begriff der Isotropie .

Nachtrag

Es könnte eine zusätzliche Nuance zu dieser Frage geben, die sich auf die Definition der Masse in der speziellen und allgemeinen Relativitätstheorie bezieht.

Es gibt eine andere Perspektive, die von der Impulserhaltung ausgeht : Es wird experimentell beobachtet, dass man bei einer Kollision der beteiligten Teilchen 1 und 2 immer zwei Skalare finden kann $m_1$und$m_2$so dass

Nachdem ich das festgestellt habe$m_i$ist ein Skalar durch Impulserhaltung, eine Kraft$\vec F$ist das, was für eine Änderung des Momentums verantwortlich ist. Seit$m\vec v$ist eindeutig ein Vektor, weil$\vec v$ein Vektor ist, bezieht sich die Kraft auf eine Änderung in$\vec v$, also eine Differenz zwischen zwei Vektoren, und muss daher selbst ein Vektor sein.

Die absoluten Werte von$m_1$und$m_2$(eher als ihre Verhältnisse) können erhalten werden, indem das Verhältnis von genommen wird$m_i$gegen eine Standard-Referenzmasse (was in der Praxis gemacht wird, da wir ein Referenzkilogramm haben).

In der Newton-Physik ist Masse der Widerstand eines Objekts gegen lineare Beschleunigung. Mit anderen Worten, Sie definieren Masse, indem Sie eine Kraft auf ein System anwenden und seine Linienbeschleunigung analysieren.

In diesem Sinne ist es nicht erforderlich, dass die Linearbeschleunigung parallel zur aufgebrachten Kraft ist. Das Analogon dazu ist die Trägheit , die der Widerstand eines Objekts gegen Winkelbeschleunigung ist. Im Fall von Massenträgheit dürfen Sie beispielsweise nur etwa ein Drehmoment aufbringen$x$Achse und finde heraus, dass der Körper eine Winkelbeschleunigung erhält$y$Achse auch. Deshalb ist die Trägheit ein Tensor zweiter Ordnung, kein Skalar.

Wenn Masse wie Trägheit wäre (wenn wir jemals herausgefunden hätten, dass das Anwenden einer Kraft in$x$Richtung kann eine lineare Beschleunigung bewirken$y$Richtung), wir brauchen Masse nicht als Skalar, sondern als Tensor zweiter Ordnung (oder eine Matrix in der gebräuchlicheren Sprache). Dann hätten wir:

Das Beschleunigungssystem kann komplexer sein als ein einzelner Körper. Betrachten Sie ein Beispiel einer Kugel in einem Rohr. Wenn Sie entlang des Rohrs eine Kraft auf eine Kugel ausüben, würden Sie nur die Kugel innerhalb des Rohrs bewegen. Ihre effektive Masse für die Gleichung ist also die Masse des Balls. Wenn Sie jedoch eine Kraft im 90-Grad-Winkel auf die Kugel ausüben, würden Sie sowohl die Kugel als auch das Rohr bewegen. Ihre effektive Masse ist also die Summe aus der Masse der Kugel und der Masse des Rohres. Wenn Sie schließlich eine Kraft in einem anderen Winkel anwenden, wäre Ihre effektive Masse die Masse der Kugel plus dem entsprechenden Bruchteil der Masse des Rohrs. So kann in einem komplexen System die effektive Masse in verschiedene Richtungen unterschiedlich sein.

Wenn die Masse eine Vektorgröße ist, wie findet man dann die Gesamtmasse von zwei Vektormassen, nachdem sie kombiniert wurden?
Gibt es wirklich Beweise dafür, dass zwei Objekte gleicher Größe Masse haben?$m$Wenn sie zusammengefügt werden, weisen sie Variationen in der Größe ihrer kombinierten Masse auf, die variieren$0$zu$2m$?

Stellen Sie sich eine feste Kugel mit Masse vor$m_1$. Nehmen wir nun an, es gibt ein Loch durch die Mitte, das horizontal von Ende zu Ende verläuft. In diesem Loch befindet sich eine weitere Masse$m_2$die ohne Reibung gleitet.

Wenn Sie die Kugel horizontal schieben würden, haben Sie$F_x = m_1 a_x$. Aber wenn Sie vertikal drücken, würden Sie bekommen$F_y = (m_1 + m_2) a_y$da beide Massen gleich beschleunigt werden müssten.

Die Beziehung zwischen Kräften und Beschleunigungen ist also nicht immer eine einfache Vektorskalierungsoperation, sondern komplexer.

Die einzige physikalische Bedingung für$\mathcal{M}$ist, dass es eine symmetrische Matrix ist.

In der Robotik haben Sie immer dann, wenn Sie mehrere verbundene starre Körper haben, das Konzept der gelenkigen Trägheit , das genau wie oben gezeigt ist. Diese Matrix ist im Allgemeinen kein skalares Vielfaches der Einheitsmatrix, sondern weist variierende Diagonalelemente und Kreuzterme in der Nebendiagonale auf.