Kraft als Impulsänderung vs. Geschwindigkeitsänderung

Ja, und eine Rakete ist ein gutes Beispiel. In

$$F=m\left( \frac{dv}{dt} \right)$$ Sie gehen davon aus, dass die Masse konstant ist. Wenn die Masse variabel ist, wie eine Rakete, die Treibstoff verbrennt, müssen Sie dies berücksichtigen, $$F=\frac{dp}{dt}=\frac{d}{dt}\left( mv \right)\; =\; m\frac{dv}{dt}\; +\; v\frac{dm}{dt}$$ wo das m abnimmt. Wenn Sie damit herumspielen, erhalten Sie möglicherweise die Raketengleichung. Beginnen Sie mit der Untersuchung der Bewegung, wobei m durch ersetzt wird $$\left( m+\Delta m \right)$$ wobei das Delta m negativ sein kann, und verwenden Sie einige Ideen aus der Impulserhaltung.

In der klassischen Mechanik gilt das zweite Newtonsche Gesetz nur für Systeme mit konstanter Masse. In diesen Fällen gibt es keinen Unterschied zwischen$F=ma$Und$F=\mathrm{d}p/\mathrm{d}t$. In der speziellen Relativitätstheorie ist letzteres jedoch gültig, ersteres jedoch nicht. Eine relativistische Definition des Impulses ist erforderlich:$p=\gamma m v$.

Ein paar Details

[Überarbeitung meiner ursprünglichen Antwort] Einige der bisher gegebenen Antworten beantworten das OP, weisen jedoch Schwächen auf, die zu Missverständnissen über Newton 2 führen können. Ich werde versuchen, das Problem anzugehen.

Einige der bisherigen Antworten sind nicht ganz korrekt, wenn von$p$ist gemeint$mv$der Rakete. Das zweite Newtonsche Gesetz gilt nur für Systeme mit konstanter Masse.$F=\mathrm{d}p/\mathrm{d}t$führt zufällig auf die Raketengleichung, wenn der Treibstoff entgegen der Bewegungsrichtung erschöpft wird. Wenn Sie sehr vorsichtig sind, was Sie damit meinen$p$eine korrekte Analyse kann gemacht werden, aber$p=m_\mathrm{rocket}v_\mathrm{rocket}$funktioniert nicht.

Dieser Wikipedia-Eintrag. ist die klarste Aussage dieser Tatsache, die ich gefunden habe.

Um zu verstehen, warum, betrachten Sie ein System, das die Rakete plus ihren verbleibenden Treibstoff und das verbleibende Treibmittel umfasst , was meiner Meinung nach die anderen Einsatzkräfte beabsichtigen. (Ich kann mich irren, aber wenn ja, sollten sie klarstellen, was genau ihr System ist.)

Stellen Sie sich das System vor, das sich mit konstanter Geschwindigkeit bewegt und zwei Triebwerke hat, die senkrecht zur Bewegungsrichtung und direkt einander gegenüberliegen und durch das Ausstoßen von Abgas einen identischen konstanten Schub erzeugen. Die Schubkraft der beiden ist gleich und entgegengesetzt. Die Nettokraft auf die Rakete ist also Null. Dann$F_{net}=0$Und$\mathrm{d}v/\mathrm{d}t = 0$, Und$v \neq 0$Und$\mathrm{d}m/\mathrm{d}t \neq 0$. Blind bewerben$F=\mathrm{d}p/\mathrm{d}t$führt zu$0=v\,\mathrm{d}m/\mathrm{d}t$, ein Widerspruch, der nur gelöst werden kann, wenn die Masse unveränderlich ist.

Kommentare zu einigen Kommentaren

Das System verliert an Schwung, indem es Masse verliert, aber seine Geschwindigkeit ändert sich nicht: Es wirkt keine Nettokraft auf das System. In dem geschlossenen System aus Rakete und erschöpftem Treibmittel bleibt der Impuls erhalten . Das System bestehend aus der Rakete plus dem noch nicht aufgebrauchten Treibstoff und Treibstoff (im Tank verbleibender Treibstoff) ist ein offenes System. Impulserhaltung gilt nicht für offene Systeme.

Eine sorgfältige Analyse eines Systems mit variabler Masse führt zu

$$\vec{F}_\mathrm{ext}=\vec{u}\frac{\mathrm{d}m}{\mathrm{d}t} + m\frac{\mathrm{d}\vec{v}}{\mathrm{d}t}$$ Wo $\vec{u}$ist die Geschwindigkeit der Masse, die das System verlässt, relativ zur Geschwindigkeit des Systems , und $\vec{F}_\mathrm{ext}$ist die äußere Kraft auf das System. Für eine Rakete $\vec{F}_\mathrm{ext}=0$, Und $$0=\vec{u}\frac{\mathrm{d}m}{\mathrm{d}t} + m\frac{\mathrm{d}\vec{v}}{\mathrm{d}t}$$ Dies ist nicht dasselbe wie $$0=\vec{v}\frac{\mathrm{d}m}{\mathrm{d}t} + m\frac{\mathrm{d}\vec{v}}{\mathrm{d}t}$$ Wo $\vec{v}$ist die Geschwindigkeit der Rakete.

Versuche zu schreiben$F = m\,\mathrm{d}v/\mathrm{d}t + v\,\mathrm{d}m/\mathrm{d}t$für ein System mit variabler Masse ist nicht korrekt. Hier ist eine nette Diskussion, deren erste Sätze lauten: „In der Mechanik ist ein System mit variabler Masse eine Ansammlung von Materie, deren Masse sich mit der Zeit ändert. Newtons zweites Bewegungsgesetz kann nicht direkt auf ein solches System angewendet werden, da es nur für Systeme mit konstanter Masse gilt ."

Luftfahrtingenieure wissen das alles. Nur die Physiker sind verwirrt. Ich habe einige Bücher durchgesehen. Die klassischen Mechaniktexte von Symon und John R. Taylor machen es richtig, ebenso wie Halliday, Resnick und Walker.

In der Elektrodynamik wirkt die Lorentzkraft auf eine bewegte Ladung$q$

$$\vec F = q \left( \vec E + \vec v \times\vec B \right)$$ kann als Kraft pro Volumeneinheit umgeschrieben werden $dV$auf Ladungsdichteverteilung , $\rho$, mit Stromdichte $\vec J$: $$\vec F = dV\ \vec f = dV \left( \rho\vec E + \vec J \times \vec B \right).$$ Sie können die Quelltermgleichungen von Maxwell verwenden $$\begin{align*} \vec\nabla\cdot\vec E &= \frac{\rho}{\epsilon_0} & \vec\nabla\times\vec B - {\epsilon_0\mu_0}\frac{\partial\vec E}{\partial t} = {\mu_0 \vec J} \end{align*}$$ um die Ladungs- und Stromverteilungen zu eliminieren und diese Kraftdichte zu schreiben $\vec f$nur in Bezug auf die Felder. Es braucht etwas zu tun, aber Sie enden damit $$\vec f = \vec\nabla\cdot\mathbf{T} - \epsilon_0\mu_0 \frac{\partial \vec S}{\partial t}$$ Wo $\vec S$ist der Poynting-Vektor und $\mathbf T$ist der Maxwell-Spannungstensor. Dies zeigt, dass Sie möglicherweise einen Impuls haben, der in die Felder in einer Region des Weltraums eintritt und diese verlässt , selbst wenn keine Masse zum Beschleunigen vorhanden ist.

Nur eine kleine Ergänzung:

Newtons 2. Gesetz ist F = ma = m dv/dt

Dies gilt für konstante Masse und im nicht-relativistischen Kontext .

Da jedoch angenommen werden kann, dass die Masse in Newtons ursprünglicher Formulierung konstant ist, ist dies äquivalent zu:

F = dp/dt

Und diese Form ist sowohl für die variable Masse als auch im relativistischen Kontext korrekt (natürlich mit den entsprechenden Interpretationen)