Ich beschäftige mich mit dem Problem der undichten Güterwagen:

Ein Güterwagen wird mit einem Wassertank beladen. Die Masse des Güterwagens und des gefüllten Wassertanks ist von Anfang an vorhanden$m_0$. Zum Zeitpunkt$t=0$eine horizontale Kraft$\vec{F}$beginnt der Güterwagen zu schieben und gleichzeitig wird ein Wasserhahn im Boden des Güterwagens geöffnet, so dass eine konstante Wassermasse pro Zeiteinheit entsteht$k= \left|\dfrac{dm}{dt} \right|$leckt aus.
Annehmen, dass$\vec{F}$ist konstant,$\vec{F} = F_0\hat{x}$. Bestimmen Sie die Beschleunigung des Güterwagens .

Die gegebene Lösung

Die Kraftgleichung$\vec{F} = \dot{\vec{p}} \implies F_0\hat{x} = \dot{p}_x\hat{x} \implies p_x\hat{x} = (F_0t + C)\hat{x}$
$\vec{v}(t=0) = 0 \implies \vec{p}(t=0) = 0 \implies C = 0 \implies p_x\hat{x} = F_0t\hat{x}$
$\hat{x}\text{-direction}: p_x = mv_x = F_0t \implies v_x(t) = \dfrac{F_0t}{m(t)}$

$$a_x(t) = \dfrac{d}{dt}v_x(t) = \dfrac{d}{dt} \left ( \dfrac{F_0 t}{m(t)} \right) = F_0 \dfrac{m(t) - t\dot{m}(t)}{m^2(t)} = F_0\dfrac{m_0 - kt + tk}{m^2(t)} = \dfrac{F_0}{m_0}\dfrac{1}{\left(1-\frac{k}{m_0}t \right)^2}$$

Diese Lösung unterscheidet sich eindeutig von meiner eigenen Lösung. Ich kann daran nicht wirklich etwas falsch sehen, aber andererseits sehe ich auch nichts falsch an meiner eigenen Lösung. Ich erinnere mich, bei Kleppner und Kolenkow gelesen zu haben, dass man die Gleichung nicht anwenden kann$\vec{p} = m\vec{v}$blindlings zu einem System aus vielen Teilchen, also geht da vielleicht etwas vor sich. Ich frage mich, welche Lösung richtig ist und was in beiden falsch ist?

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Meine Lösung

Normalerweise habe ich dieses Problem in Bezug auf Sand gesehen, aber das Prinzip sollte dasselbe sein. Meine Argumentation ähnelt derjenigen, die beispielsweise in diesen Notizen (S. 12-5 bis 12-7) dargelegt wurde.

Da die Bewegung eindimensional ist, schreibe ich$P(t)$anstatt$\vec{P}(t)$etc. Das stelle ich mir mal vor$t$, der Güterwagen (inklusive Wassertank) hat Masse$m_c(t) = m_0 - kt$und die Geschwindigkeit$v_c(t)$damit der Schwung des Güterwagens zur Zeit$t$Ist

$$P(t) = m_c(t)v_c(t)$$ Als nächstes überlegen Sie sich die Zeit$t+\Delta t$. Während$\Delta t$, hat sich die Geschwindigkeit des Güterwagens auf geändert$v_c(t) + \Delta v_c$. Wasser der Masse$\Delta m_w$ist ausgetreten, wo wir auch seine Geschwindigkeit schätzen$v_c(t) + \Delta v_c$. Die Güterwagenmasse ist$m_c(t) - \Delta m_w$. Der Schwung des Güterwagens und das ausgetretene Wasser (dasselbe System wie damals$t$) ist deshalb $$P(t + \Delta t) = (m_c(t) - \Delta m_w + \Delta m_w)[v_c(t) + \Delta v_c] = m_c(t)[v_c(t) + \Delta v_c]$$

Deshalb$\Delta P = P(t + \Delta t) - P(t) = m_c(t)\Delta v_c$so dass

$$F_0 = \dot{P}(t) = \lim_{\Delta t \to 0} \dfrac{\Delta P}{\Delta t} = \lim_{\Delta t \to 0} \dfrac{m_c(t)\Delta v_c}{\Delta t} = m_c(t)\dot{v_c}(t)$$ Damit die Beschleunigung$\dot{v_c}(t)$wird von gegeben
$$\dot{v_c}(t) = \dfrac{F_0}{m_c(t)} = \dfrac{F_0}{m_0 - kt}$$ Bereitgestellt$t \leq \dfrac{m_{w_0}}{k}$Wo$m_{w_0}$ist die Anfangsmasse des Wassers im vollen Tank.