F=maF=maF = ma und momentane Kraft

Question

F=maF=maF = ma und momentane Kraft

xqst

Ich bin neu in der Physik und versuche, Newtons zweites Gesetz zu verstehen $F = ma$ aber ich glaube nicht, dass ich das Konzept der Kraft sehr gut verstehe. Ich habe andere Fragen und Antworten zu diesem Gesetz gelesen und das ist vorerst mein Verständnis $F = ma$ ist eine "Definition" der Kraft auf der Grundlage des empirischen "Gesetzes", dass das Produkt $m \times a$ bleibt konstant, wenn die gleiche Menge an "Kraft" (hier der Begriff, der umgangssprachlich vor der formalen Definition und Zuweisung der SI-Einheit verwendet wird) bei Variation der Masse angewendet wird. Aber trotzdem scheine ich nicht die volle Dynamik zu verstehen, die das Gesetz impliziert.

Angenommen, zur Zeit $t=0$ , eine externe (?) Kraft von $1$ N wird auf eine ruhende Masse ( $x'(0) = 0$ ) auf einem reibungslosen eindimensionalen Raum mit anfänglicher Verschiebung $x(0) = 0$ . Die ausgeübte Kraft ist augenblicklich in dem Sinne, dass die Kugel oder ein anderer Gegenstand, der die Kraft ausgeübt hat, direkt nach dem Kontakt mit der ruhenden Masse abprallt oder verschwindet. Hier ist mein kurzer Gedankengang, bei dem ich Anleitung brauche:

Da die Kraft augenblicklich war, $F(0) = 1$ Und $F(t) = 0$ für $t > 0$ . Dann impliziert das zweite Gesetz, dass sich die Masse seitdem überhaupt nicht bewegt $p(t) = \int_0^t F(v) dv = 0$ , was Nullgeschwindigkeit bedeutet.
Nein nein, das ergibt keinen Sinn. Der Anfangszustand $F(0) = 1$ Auf die ruhende Masse angewendet, ergibt sich eine sofortige Beschleunigung $a(0) = 1/m$ . Aber wie entsteht Beschleunigung oder Geschwindigkeit? Es scheint seltsam, wenn die Beschleunigung über die Zeit konstant ist, aber wenn sie nicht konstant ist, sehe ich nicht, wie ich vorgehen soll, um die Flugbahn abzuleiten.

Ich kam zu dem Schluss, dass ich entweder falsch verstehe, was Kraft ist, oder mir fehlt die Kinematik-Toolbox, oder ich bin einfach total verrückt und insgesamt fehlgeleitet. Ich fange gerade an, grundlegende Physik im Selbststudium zu lernen, und ich habe das Gefühl, auf dem falschen Fuß zu beginnen. Hier bitte ich um eine Anleitung. Bitte korrigieren Sie mich und füllen Sie mich mit dem aus, was mir hier fehlt / missversteht.

Philipp

Anstelle einer (unphysikalischen) "sofortigen" Kraft wie der, mit der Sie es zu tun haben, warum versuchen Sie nicht, das Problem mit einer konstanten Kraft von (sagen wir) 1 N zu lösen, die für eine begrenzte Zeit wirkt (sagen wir 1 zweite)?

xqst

@Philip Ich denke, der letzte Punkt in der Antwort von BioPhysicist bezieht sich auf Ihren Kommentar. Ich bin neugierig, was Sie damit meinen, dass augenblickliche Kraft (oder Impuls, denke ich) unphysisch ist. Bedeutet das, dass alle Wechselwirkungen in der Physik oder zumindest in der Newtonschen Mechanik kontinuierlich sind? Ich möchte mir einen allgemeinen Überblick verschaffen, damit ich weiß, wohin ich gehe, während ich lerne.

John Alexiou

Eine Kraft von 1 N, die 0 Sekunden dauert, verleiht dem Objekt 0 Impuls.

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F=maF=maF = ma und momentane Kraft

Anstelle einer (unphysikalischen) "sofortigen" Kraft wie der, mit der Sie es zu tun haben, warum versuchen Sie nicht, das Problem mit einer konstanten Kraft von (sagen wir) 1 N zu lösen, die für eine begrenzte Zeit wirkt (sagen wir 1 zweite)?
@Philip Ich denke, der letzte Punkt in der Antwort von BioPhysicist bezieht sich auf Ihren Kommentar. Ich bin neugierig, was Sie damit meinen, dass augenblickliche Kraft (oder Impuls, denke ich) unphysisch ist. Bedeutet das, dass alle Wechselwirkungen in der Physik oder zumindest in der Newtonschen Mechanik kontinuierlich sind? Ich möchte mir einen allgemeinen Überblick verschaffen, damit ich weiß, wohin ich gehe, während ich lerne.
Eine Kraft von 1 N, die 0 Sekunden dauert, verleiht dem Objekt 0 Impuls.

Biophysiker · Answer 1

Warnung: Nicht strenge Mathematik voraus.

Normalerweise behandeln wir augenblickliche Dinge in der Physik mit der Dirac-Delta-Funktion , die qualitativ eine unendliche Spitze an einem bestimmten Punkt ist. Wir können dies hier verwenden, um die momentane Kraft in Form eines Impulses pro Zeit auszudrücken :

F (T) = J_{0} δ (T)

$F(t)=J_0\delta(t)$ so dass die gesamte Impulsänderung des Objekts gegeben ist durch

Δ P = \int F (T) D T = \int J_{0} δ (T) D T = J_{0}

$\Delta p=\int F(t)\,\text dt=\int J_0\delta(t)\,\text dt=J_0$

Der Unterschied zwischen der Verwendung der Dirac-Delta-Funktion und dem, was Sie vorschlagen, ist das $F(0)\neq1\,\rm N$ in der obigen Analyse. Stattdessen, $F(0)\to\infty$ . Nur so können Sie eine sofortige Kraft dazu bringen, etwas zu tun, da es keinen Bereich unter einer endlichen Spitze gibt, wie Sie vorschlagen. Mit anderen Worten, wenn wir Ihre vorgeschlagene Kraft einsetzen

F (T) = {\begin{cases} 1 N, & T = 0 \\ 0 N, & ansonsten \end{cases}

$F(t) = \begin{cases} 1\,\rm N, & t=0 \\ 0\,\rm N, & \text{otherwise} \end{cases}$

dann passiert da nichts

\int F (T) D T = 0

$\int F(t)\,\text dt=0$

Daher ist Ihre Nummer 1 eigentlich richtig für das, was Sie vorschlagen. Der Grund, warum dies wahrscheinlich nicht zu Ihnen passt, ist, dass keine Kraft wirklich augenblicklich ist und Dirac-Delta-Funktionen eigentlich nur Idealisierungen sind, damit die Mathematik gut funktioniert. In Wirklichkeit werden wir so etwas haben $F(t)=F_0\cdot g(t)$ , Wo $g(t)$ ist eine Art endliche Funktion, die die Form einer dünnen Spitze hat.

Akschat Sharma · Answer 2

Ich denke, du sprichst im Wesentlichen von Impulsen. Da hast du Recht $\int_0^t F(u)du$ würde Null sein, wenn die Kraft für einen Moment ausgeübt wird, aber jede echte Kraft wird mindestens einige Zeit lang ausgeübt, und daher kann das Integral nicht Null sein. Es kann jedoch sehr klein sein, wie in Ihrem Fall, wo die Kraft nicht sehr groß ist.

Dasselbe gilt für die Beschleunigung, sodass die dieser Kraft entsprechende Beschleunigung ein sehr kleines, aber endliches Integral in Bezug auf die Zeit hat, dh $\Delta v = \int_0^t a(u)du \neq 0$ . Nachdem die Kraft aufgebracht wurde, ist die Beschleunigung Null, sodass die Geschwindigkeit konstant ist (und nicht die Beschleunigung). Die genaue Geschwindigkeit des Objekts hängt vom Integral ab $\int_0^t a(u)du$ . Normalerweise ist die nützlichere Formel in diesen Fällen nicht das explizit berechnete Integral, sondern über die Mittelwerte,

\int_{0}^{T} F (u) D u = F_{A v G} Δ T

$\int_0^t f(u)du = f_{avg}\Delta t$ .

Weitere Informationen finden Sie im Wikipedia-Artikel zu Impuls.

Danke! Nur eine klärende Frage: Wollen Sie damit sagen, dass der Durchschnitt in diesem Fall eine nützlichere Größe ist, weil die Kraft für einen zu kurzen Zeitraum ausgeübt wird, als die tatsächliche globale Flugbahn (? Verteilung? Wie würden Sie es nennen?) Der Kraft $F(u), 0 \le u \le t$ ist nicht so informativ?

John Alexiou · Answer 3

Die Geschwindigkeit ist das Integral der Beschleunigung über die Zeit und wenn Ihre Beschleunigungskurve einen endlichen Wert hat $t=0$ und null andernfalls ist die Fläche unter der Kurve null. Das bedeutet, dass Ihre erste Interpretation richtig ist und der Körper sich nicht bewegt.

Die Regel, die Sie sich merken sollten, lautet:

Δ (Schwung) = (Impuls)

$\Delta \text{(momentum)} = \text{(impulse)}$

Die Impulsänderung entspricht dem Impuls. Und Impuls ist definiert als die Fläche unter der Kraftkurve

J = \int F D T

$J = \int F\,{\rm d}t$

Kurz gesagt, wenn eine endliche Kraft in einer infinitesimalen Zeit angewendet wird, ist das Ergebnis gleich Null

Δ (Schwung) = lim_{ϵ \to 0} \int_{0}^{ϵ} F D T = lim_{ϵ \to 0} F (ϵ - 0) = 0

$\Delta \text{(momentum)} = \lim_{\epsilon \rightarrow 0} \int_0^\epsilon F \, {\rm d}t = \lim_{\epsilon \rightarrow 0} F (\epsilon - 0) = 0$

Nur wenn die Kraft über eine endliche Zeit endlich ist, gibt es einen beobachtbaren Effekt. Nur wenn $J = F \Delta t$ , wir haben

Δ (M v) = J = F Δ T \Rightarrow M Δ v = F Δ T \Rightarrow Δ v = \frac{F}{M} Δ = A Δ T

$\Delta (m v) = J = F \Delta t \Rightarrow m \Delta v = F \Delta t \Rightarrow \Delta v = \tfrac{F}{m} \Delta = a\, \Delta t$

Aber wenn Sie davon ausgehen wollen, dass dieses Ereignis in unendlich kurzer Zeit passiert $\Delta t \rightarrow 0$ , müssen Sie die Kraft unwissentlich groß machen $F \rightarrow \infty$ so dass Sie durch mathematische Tricks erhalten

J = \int F D T > 0

$J = \int F \,{\rm d}t > 0$

Ihre Antwort zusammen mit der Antwort von @BioPhysicist scheinen darauf hinzudeuten, dass die mathematische Idealisierung zwar die Definition der Kraft auf ein Dirac-Maß ( $F_0$ N auf einem Massenpunkt bei $t=0$ ), Kraft ist in ihrer Natur (?) auf dem Lebesgue-Maß definiert. Damit also eine realistische kontinuierliche Annäherung an die "diskrete Kraft" dieselbe Impulswirkung hat, sollte die Kraft in ihrer natürlichen Definition extrem groß sein. Hier denke ich an eine kontinuierliche Annäherung $F(t) = F_0 g_{\epsilon}(t)$ Wo $g_{\epsilon}(t) > 0$ An $0 < t < \epsilon$ und (Fortsetzung)
(Fortsetzung) $\int_0^{\epsilon} g_{\epsilon}(t) dt = 1$ für alle $\epsilon > 0$ . Das würde machen $F(t)$ bei manchen willkürlich riesig $t$ für ein beliebig kleines $\epsilon$ aber der Impuls ist in beiden Fällen derselbe: $\int F_0 d\delta(t) = \int F(t) dt = F_0$ . Verstehe ich den Punkt richtig?
Das war hilfreich, danke! Im Nachhinein denke ich, dass das im Wesentlichen der Punkt von @BioPhysicist war. Schätze, mein Gehirn brauchte nur zusätzlichen Input, um es vollständig zu verstehen. Ihre war eine absolut wertvolle Ergänzung, aber da sie materiell gleichwertig ist, akzeptiere ich die andere als Antwort aus Zeitgründen.

F=maF=maF = ma und momentane Kraft

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Philipp

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Warum tendiert eine Wippe (Wippe) dazu, sich zum schwereren Ende zu neigen?

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