Warum ist das Drehmoment als r×Fr×Fr × F definiert und nicht als F×rF×rF × r?

Das Drehmoment ist dem Drehimpuls zugeordnet ($L$) über$\tau=\frac{dL}{dt}$. Der Drehimpuls ist natürlich mit der Winkelgeschwindigkeit ($\omega$) über$L=I\omega$. Das heißt, wenn wir verwendet haben$F\times r$, müssten wir entweder ein Minuszeichen in eine dieser Definitionen einfügen oder die Richtung der Winkelgeschwindigkeit ändern. Niemand möchte ein Minuszeichen setzen, wo keins benötigt wird, also können wir diesen Fall ignorieren und uns auf die Idee konzentrieren, dass die Winkelgeschwindigkeit in eine andere Richtung geht.

Winkelgeschwindigkeit ist natürlich$\omega = \frac{d\theta}{dt}$. Wir wollen auch hier kein Minuszeichen, so wie wir es definieren$\theta$müsste die Richtung ändern.

Und hier ist es in der Tat willkürlich. Mathematiker definieren Polarkoordinaten so, dass die positive x-Achse darauf abgebildet wird$\theta = 0$und die positive y-Achse bildet ab$\theta=\frac{\pi}{2}$. Sie hätten eine andere Konvention wählen können, aber diese wurde tatsächlich gewählt. Soweit ich weiß, wurde diese Konvention vor etwa 2.300 Jahren von indischen Astronomen gewählt !

Die einzige Option, die ich hier nicht aufgeführt habe, war, die Bedeutung des Kreuzprodukts zu ändern. Das Kreuzprodukt wurde 1773 von Joseph Louis Lagrange erfunden , um Tetraeder zu untersuchen. Ich kann keine weiteren Links finden, möglicherweise wurde dort eine willkürliche Entscheidung getroffen.

Ein paar Dinge, die Sie zuerst berücksichtigen sollten.

1. Es kommt auf die Definition von an$\boldsymbol{r}$. Wenn$\boldsymbol{r}$zeigt auf die Kraft dann Moment ist$\boldsymbol{r} \times \boldsymbol{F}$, aber wenn es auf den Messpunkt zeigt (wie der Ursprung), ist es$\boldsymbol{F} \times \boldsymbol{r}$.

2. Es ist eine Konvention eingebaut$\times$Operator. Es hat mit der Rechtsregel zu tun und der Tatsache, dass es kein Kommutativgesetz hat. Das bedeutet, dass$\boldsymbol{r} \times \boldsymbol{F} = -(\boldsymbol{F} \times \boldsymbol{r}) = (-\boldsymbol{F}) \times \boldsymbol{r} = \boldsymbol{F} \times (-\boldsymbol{r})$. Das bedeutet, dass das Drehmoment als Kraftmoment interpretiert werden kann, das auf eine weit vom Ursprung entfernte Linie wirkt, und die Reihenfolge, in der Sie das Vektorkreuzprodukt nehmen, ist von Bedeutung.

3. Zwischen Drehmoment, Drehimpuls und linearer Geschwindigkeit besteht eine Definitionssymmetrie

   $$\begin{aligned} \boldsymbol{v}_A & = \boldsymbol{v}_B + \boldsymbol{r}_{AB} \times \boldsymbol{\omega} & & \text{velocity transformation} \\ \boldsymbol{L}_A & = \boldsymbol{L}_B + \boldsymbol{r}_{AB} \times \boldsymbol{p}& & \text{momentum transformation} \\ \boldsymbol{M}_A & = \boldsymbol{M}_B + \boldsymbol{r}_{AB} \times \boldsymbol{F}& & \text{torque transformation} \end{aligned}$$

   In Kombination mit den anderen beiden obigen Punkten spricht es von der Geometrie des vorliegenden Problems, da alle Größen (Rotation$\boldsymbol{\omega}$), (Schwung$\boldsymbol{p}$) und (zwingen$\boldsymbol{F}$) existieren auf einer Linie im Raum. Sie wird Rotationsachse, Perkussionsachse bzw. Wirkungslinie genannt.

   Siehe auch diese Antwort auf eine sehr ähnliche Frage.

Zusammenfassend lässt sich sagen, dass das Kreuzprodukt entweder mit der Rechts- oder der Linksregel definiert werden muss, damit die Mathematik funktioniert und die Physik konsistent ist, und die Gleichungen für Drehmoment, Drehimpuls und lineare Geschwindigkeit konsistent beschrieben werden mit der gewählten Händigkeit. Stellen Sie schließlich sicher, dass Ihre Standortvektoren vorhanden sind$\boldsymbol{r}$konsistent definiert sind (wie ausgehend von einem gemeinsamen Punkt, dem Ursprung).

Es ist eine willkürliche Konvention. Wenn wir die Konvention ändern, müssten wir auch einige andere ändern, wie z$\textbf{L}=\textbf{r}\times\textbf{p}$für den Drehimpuls eines Teilchens.

Vielleicht können wir beide schnell miteinander vergleichen.

Lassen Sie uns das Drehmoment definieren$\boldsymbol M = \boldsymbol r \times \boldsymbol F$. Lassen Sie uns weiter überlegen$\boldsymbol r$Und$\boldsymbol F$in einem Flugzeug liegen und$\boldsymbol M$nach oben gerichtet. Der absolute Wert von$\boldsymbol M$wird$M=r\cdot F\cdot \sin\theta$mit$r=|\boldsymbol r|$,$F=|\boldsymbol F|$,$M=|\boldsymbol M|$, Und$\theta$der Winkel dazwischen$\boldsymbol r$Und$\boldsymbol F$. Jetzt verwenden wir$\boldsymbol M = \boldsymbol r \times \boldsymbol F = -\boldsymbol r \times \boldsymbol F$und erkenne das$M$bleibt unverändert.

Lassen Sie uns nun das Drehmoment definieren als$\boldsymbol M = \boldsymbol F \times \boldsymbol r$. Nochmal,$\boldsymbol M$vom Flugzeug nach oben zeigt. Und wieder,$M$hat den gleichen Wert wie vorher.

Was lernen wir daraus? Die Reihenfolge spielt keine Rolle. Es ist nur eine Konvention. Wenn Sie eine andere Konvention verwenden möchten, können Sie dies gerne tun, aber stellen Sie sicher, dass Sie konsistent sind!

Ich kenne die richtige Erklärung nicht, aber ich denke schon$\boldsymbol{r}\times \boldsymbol{F}$bedeutet, dass die$\boldsymbol{r}$Vektor dreht sich wegen der$\boldsymbol{F}$Vektor. Um das gleiche Ergebnis zu erzielen, wenn eine Schraube herauskommt, wenn wir eine Kraft anwenden - Dies ist die Richtung des Drehmoments, während$\boldsymbol{F}\times \boldsymbol{r}$wird bedeuten, dass die$\boldsymbol{F}$Vektor dreht sich wegen der$\boldsymbol{r}$Vektor, der die entgegengesetzte Richtung wäre, in die die Schraube herauskommt (nach unten).