Warum ist das Drehmoment ein Kreuzprodukt?

Es muss nicht als Kreuzprodukt betrachtet werden. Es ist einfach sehr praktisch, so darüber nachzudenken, also lehren wir es zuerst. Selbst wenn ich es in meinem Job anwende, betrachte ich es tatsächlich als ein Kreuzprodukt.

Aber zuerst Ihre Frage, warum der Hebelarm in den Gleichungen auftaucht. Informell müssen wir die Länge berücksichtigen, da ein längerer Hebelarm Ihnen mehr mechanischen Vorteil verschafft. Sie können dies selbst mit einem Schraubenschlüssel testen. Versuchen Sie, eine Schraube festzuziehen, die den Schraubenschlüssel in der Nähe des Kopfes hält, und halten Sie den Schraubenschlüssel dann weiter außen am Ende, wodurch Sie einen längeren Hebelarm erhalten, und versuchen Sie, ihn festzuziehen. Sie werden feststellen, dass Sie die Schraube viel besser anziehen können, wenn Sie einen längeren Hebelarm haben.

Was eine mathematische Erklärung betrifft, können Sie es mit der Erhaltung von Impuls und Drehimpuls zeigen. Konstruieren Sie ein beliebiges Szenario unter Verwendung von Kräften und zeigen Sie, dass der Impuls erhalten bleibt (sollte es sein!). Wählen Sie nun einen beliebigen Punkt als "Zentrum" Ihrer Drehung und berechnen Sie Drehmomente. Sie werden feststellen, dass der Drehimpuls erhalten bleibt. Wenn Sie das Drehmoment ohne den Radiusterm definieren, würden Sie feststellen, dass der Drehimpuls nicht erhalten bleibt. Tatsächlich stellt sich heraus, dass man aus Kräften und Impulserhaltung immer Drehmomente und Drehimpulserhaltung ableiten kann. Und wenn Sie Drehmomente und Drehimpulserhaltung haben, können Sie immer die Kräfte und die Impulserhaltung ableiten! Sie sind gewissermaßen Duale voneinander.

Wenn Sie noch weiter gehen wollen, werden Sie in vielen Jahren die Lagrange-Mechanik und den Satz von Nother lernen . Sie werden lernen, dass die Impulserhaltung ein sehr grundlegendes Konzept ist, das direkt mit der Tatsache verbunden ist, dass unsere physikalischen Gesetze in alle Richtungen gleich sind. Drehen Sie ein Experiment, und die Gesetze der Physik bleiben gleich. Es gibt keine privilegierte Richtung, in der die Gesetze der Physik "richtig" sind.

Warum das Drehmoment senkrecht zur Kraft und zum Hebelarm steht, ist eigentlich nur ein Artefakt der Mathematik, mehr nicht. Wenn Sie sich eingehender mit der Lagrange-Mechanik befassen, werden Sie feststellen, dass dieser Drehimpuls nur ein Spezialfall eines umfassenderen Konzepts ist, das als „allgemeiner Drehimpuls“ bezeichnet wird. Beim verallgemeinerten Drehimpuls wird das Äquivalent des Drehmoments durch das äußere Produkt r ∧ F gebildet. Dies wird als Bivektor bezeichnet, im Gegensatz zu einem Normalenvektor. Dies funktioniert in beliebig vielen Dimensionen.

Die genaue Definition dieser Bivektoren ist ein bisschen wie ein Schädling, mit dem man arbeiten muss:

Die äußere Algebra Λ(V) eines Vektorraums V über einem Körper K ist definiert als die Quotientenalgebra der Tensoralgebra T(V) durch das zweiseitige Ideal I, das von allen Elementen der Form x ⊗ x für x ∈ erzeugt wird V (dh alle Tensoren, die als Tensorprodukt eines Vektors in V selbst ausgedrückt werden können).

Was für ein Wahnsinn! Wir haben jedoch wirklich Glück, dass wir in 3 Dimensionen leben. Wie sich herausstellt, wenn Sie einen dieser Bivektoren in 3 Dimensionen herauskurbeln und sich ansehen, wie er sich verhält, zeigt sich eine merkwürdige Annehmlichkeit. Sie verhalten sich genauso wie Kreuzprodukte. Ein Bivektor ist kein Vektor, aber es stellt sich heraus, dass diese dreidimensionalen Bivektoren die gleichen mathematischen Eigenschaften haben wie Kreuzprodukte (die ein dreidimensionales Konzept sind).

Das ist übrigens auch der Grund, warum wir die Rechte-Hand-Regel-Konvention wählen müssen. Bivektoren können ohne eine solche Konvention berechnet werden, aber wenn Sie sie mithilfe des Kreuzprodukts in Vektoren abbilden, haben Sie zwei Möglichkeiten – linkshändig oder rechtshändig. Solange Sie immer eine auswählen, ist das Ergebnis konsistent.

Aus Gründen, die offensichtlich sein sollten, haben wir uns daher dafür entschieden, das Drehmoment als Vektor zu lehren, der durch rx F definiert ist, und nicht als Bivektor, r ∧ F. Es ist viel einfacher! Aber es kommt mit einem Preis. Der Vektor rx F hat eine "Richtung", da er ein Vektor ist. Diese Richtung steht senkrecht zur Kraft und zum Hebelarm. Der Bivektor hatte dieses besondere Richtungskonzept nicht. Das Konzept der Bivektorrichtung ist nuancierter und bezieht sich intuitiver auf die Richtung der Kraft und die Richtung des Hebelarms.

Und so haben Sie Ihren Grund dafür, dass das Drehmoment "senkrecht" ist. Es hat wirklich nichts mit Physik zu tun, so sehr wie es damit zu tun hat, dass Sie vermeiden müssen, Ihnen fortgeschrittene Vektoralgebra beizubringen, um grundlegende Physik zu beherrschen. Mit dem Kreuzprodukt erhalten Sie die richtige Antwort, da Kreuzprodukte und dreidimensionale Außenprodukte gleich funktionieren.

Der vielleicht beste Weg, Drehmoment zu erklären, ist die Verwendung eines gemeinsamen Werkzeugs: des Schraubenschlüssels.

Wenn wir eine Schraube festziehen oder lösen möchten, können wir einen Schraubenschlüssel verwenden. Das erste, was wir erkennen, ist, dass wir, wenn die Schraube festgefroren ist, sie eher lösen können, wenn wir einen Schraubenschlüssel mit einem längeren Arm verwenden. Dies liegt daran, dass die Kraft, die wir auf den Schlüsselarm ausüben, mehr Drehmoment oder Drehkraft erzeugt, je länger der Schlüsselarm ist. Wir nennen dies allgemein mehr „Hebelwirkung“.

Erstens stellen Sie möglicherweise fest, dass es schwieriger ist, die Schraube zu drehen, wenn Sie versuchen, den Schraubenschlüssel mit Ihrer Kraft in einem Winkel zum Schraubenschlüsselarm zu drehen, als wenn er senkrecht zum Arm steht. Kurz gesagt, Ihr Drehmoment ist maximiert, wenn der Winkel Ihrer ausgeübten Kraft mit dem Arm 90 Grad beträgt. Im anderen Extrem, wenn Sie axial am Arm ziehen oder drücken, dh in einem Winkel von Null, dreht sich der Bolzen überhaupt nicht. Für jeden dazwischen liegenden Winkel ist es nur die Komponente der Kraft senkrecht zum Arm des Schlüssels, die ein Drehmoment erzeugt. Gegeben ein Winkel θ zwischen der Kraft$F$und der Arm des Schraubenschlüssels die Kraftkomponente senkrecht zum Arm eine Größe von hat$F$Sünde θ.

Als nächstes bedenken Sie, dass das Drehmoment eine Vektorgröße ist und dass eine Vektorgröße eine Richtung hat. Das Drehmoment ist in Richtung der Winkelgeschwindigkeit, die erzeugt werden könnte, wenn es ein Nettodrehmoment um eine Achse gibt, wie es beispielsweise ein Rad zum Drehen bringt. Da die einzige feste eindeutige Richtung des rotierenden Rads seine Rotationsachse ist, ist diese Achse eine logische Wahl für die allgemeine Ausrichtung des Drehmoment- und Winkelgeschwindigkeitsvektors, wobei zwei Möglichkeiten bezüglich der Richtung des Vektors bestehen bleiben. Es ist dann üblich, die Rechte-Hand-Regel zu verwenden, um die Richtung anzugeben. Diese Richtung kann man sich auch als Richtung vorstellen, in die sich unsere Schraube mit Rechtsgewinde beim Drehen bewegen würde. Wenn Sie auf die Ebene hinunterblicken, die den Schraubenschlüssel enthält, und auf die darauf ausgeübte Kraft, bewirkt das Drehen der Schraube gegen den Uhrzeigersinn, dass sich die Schraube nach oben bewegt.

Zusammengenommen ist der Drehmomentvektor das Kreuzprodukt der Kraft$F$mal dem Momentenarm d (Länge des Schlüsselarms vom Drehpunkt bis zum Kraftangriffspunkt) oder

Und

Wo die Richtung von$\vec{T}$steht senkrecht auf der enthaltenden Ebene$\vec{d}$Und$\vec{F}$. Konventionell wird die Rechte-Hand-Regel verwendet, bei der sich die Finger in Drehrichtung krümmen, wobei der Daumen in Richtung des positiven Drehmoments zeigt.

Hoffe das hilft.

(a) "Warum berücksichtigen wir bei der Berechnung des Drehmoments die Länge zwischen Achse/Drehpunkt?" Wir können das Drehmoment um jeden Punkt O berechnen, den wir wählen; es muss keine physische Rotationsachse sein. Aber es ist oft sinnvoller , das Drehmoment um eine mögliche physikalische Drehachse zu berechnen, zum Beispiel wenn man sich überlegt, welches Drehmoment man mit einem Schraubenschlüssel auf eine Mutter aufbringen muss, um sie zu lösen. Warum die Länge (oder insbesondere der senkrechte Abstand von O zur Wirkungslinie der Kraft) in die Definition einfließt, denken Sie nur daran, zu versuchen, diese Mutter zu lösen!

(b) "Warum ist das Drehmoment ein Kreuzprodukt?" In Vektorschreibweise definieren wir das Drehmoment um O aufgrund einer Kraft$\vec{F}$Handeln an einem Punkt verschoben durch$\vec{r}$von O zu sein$\vec{r} \times \vec{F}$. Die Größenordnung,$|\vec{r} \times \vec{F}|$dieses Drehmomentvektors ist genau gleichbedeutend mit der "Kraft$\times$rechtwinklige Distanz"-Definition, aus der ich in (a) zitiert habe. Die Richtung von$\vec{r} \times \vec{F}$steht im rechten Winkel zur enthaltenden Ebene$\vec r$Und$\vec F$und gibt Ihnen damit die Ausrichtung der (möglicherweise imaginären) Achse an, um die das auf eine Mutter wirkende Drehmoment sie drehen würde! [In der Tat. mit der üblichen "rechtshändigen" Konvention zur Definition des Kreuzprodukts, wenn Sie mit dem Daumen Ihrer rechten Hand in Richtung von zeigen$\vec{r} \times \vec{F}$, die Finger dieser Hand neigen dazu, sich in dem Sinne zu krümmen, dass sich die Nuss dreht!]

Drehmoment ist definiert als$\quad\vec{\tau}=\frac{d\vec{J}}{dt}$Wo$\vec{J}$ist der Drehimpuls des Objekts. Der Drehimpuls ist definiert als$\vec{J}=\vec{r}\times \vec{P}$. Dann

Das ist eine nette Frage. Ich stimme zu, dass die standardmäßige Lehrbuchreflexion zu diesem Problem im Allgemeinen Lust auf mehr macht (aber das ist vielleicht unvermeidlich).

Die grundlegende Frage, mit der man sich zu Beginn auseinandersetzt, ist$-$Wie kommt es, dass wir bei starren Körpern plötzlich auf Drehmomente und Drehimpuls umstellen müssen, im Gegensatz zu bloßen Kräften bei Punktteilchen? Eine schöne Antwort darauf findet sich in Synge & Schild, Tensor Calculus .

Der eigentliche Grund dafür liegt in der Kinematik der Rotation (dh was sind die Freiheitsgrade und wie beschreibt man sie).

Die logische Grundidee hier ist, dass in$D$Abmessungen, die ein starrer Körper hat$\frac{D(D+1)}{2}$Freiheitsgrade$-$ $\frac{D(D-1)}{2}$Rotation &$D$übersetzend. Wenn Sie sich vorerst keine Gedanken über Translationsfreiheitsgrade machen, können Sie mit grundlegender linearer Algebra argumentieren, dass eine starre euklidische Bewegung mit orthogonalen Matrizen beschrieben werden kann (dh wenn Sie in einem Inertialsystem sitzen und kartesische Koordinaten verwenden). In ungeraden räumlichen Dimensionen kann man sich dies als Drehung des Körpers um eine Achse vorstellen (zB in 3D), die durch den stationären Punkt geht (vgl. zB Goldstein).

Außerdem stellt sich dann heraus, dass sich infinitesimale Rotationen mit reellen antisymmetrischen Matrizen beschreiben lassen (in einem schickeren Sprachgebrauch sagt man, dass die Lie-Algebra der orthogonalen Matrizen von reellen antisymmetrischen Matrizen aufgespannt wird). Die Komponenten dieser Matrix beschreiben den (kartesischen) Tensor der Winkelgeschwindigkeit$-$beachten Sie die Anzahl der unabhängigen Komponenten ist$\frac{D(D-1)}{2}$in Zahl, reflektierend$\frac{D(D-1)}{2}$Rotationsfreiheitsgrade. Wenn Sie die Dynamik dieser Komponenten kennen, können Sie die Ausrichtung des starren Körpers vorhersagen.

Was Sie dann wirklich suchen, sind$\frac{D(D-1)}{2}$Rotationsbewegungsgleichungen zur Beschreibung des kartesischen Tensors der Winkelgeschwindigkeit. Sie können dies tun, indem Sie die Newtonschen Gesetze oder das D'Alembert-Prinzip verwenden (vorbehaltlich der Tatsache, dass sich der starre Körper nur auf bestimmte Weise bewegen kann, wie es die Freiheitsgrade zulassen). In beiden Fällen kommst du zu der Gleichung

was bedeutet, dass nur externe Drehmomente von Bedeutung sind.

Wie bereits von @CortAmmon beschrieben, entspricht dies im Grunde der eleganteren Sprache der Differentialformen (die natürlich mit einer antisymmetrischen Struktur ausgestattet sind).

In 3 Dimensionen passiert es, dass die obige Gleichung, die eine kartesische Tensorgleichung zweiter Ordnung von antisymmetrischen Tensoren ist, als Vektorgleichung in Bezug auf ihr Hodge-Dual ausgedrückt werden kann (unter der Annahme einer euklidischen Metrik im Raum). Das Ergebnis ist, dass man vom Pseudo-Drehimpulsvektor und vom Pseudo-Drehmomentvektor spricht.

Es gibt auch eine schickere Version des D'Alembert-Prinzips, die unter dem Namen Lagrange-Mechanik bekannt ist , wobei man die tiefen Einsichten von Emmy Noether zwischen Symmetrien und Erhaltungssätzen nutzen kann. Wie @BenCrowell in einem der Kommentare darauf hingewiesen hat, würde dies vorhersagen, dass die drehmomentfreie Bewegung eines starren Körpers den Drehimpuls beibehält (dies beinhaltet tatsächlich die Annahme, dass die gleichen und entgegengesetzten inneren Kräfte entlang der Linie wirken, die die inneren Teile verbindet, so dass innere potentielle Energie ist unabhängig von der Ausrichtung des starren Körpers). Damit kann man sich den Drehimpuls als Erhaltungsgröße bei freier Bewegung starrer Körper vorstellen, deren Ableitung im allgemeinen der Drehmomentgleichung entspricht (mit Drehmomenten ausgedrückt in Form von Kräften & den Angriffspunkten).

In beiden Fällen liegt die eigentliche Antwort, wie zuvor behauptet, in der Kinematik der Rotation$-$nämlich die Tatsache, dass infinitesimale Rotationen mit reellen antisymmetrischen Matrizen (in kartesischen Koordinaten) beschrieben werden.

Eine Highschool-Erklärung

Nehmen wir das Energieargument aus den Feynman-Vorträgen auf.

Betrachten Sie die Drehung eines Körpers mit einem in 3D fixierten Punkt. Man kann das Geschwindigkeitsfeld definieren als$\mathbf{v} = \mathbf{\omega}\times\mathbf{r}$, Wo$\mathbf{\omega}$die Winkelgeschwindigkeit (Pseudo-Vektor) ist und der Ursprung des Koordinatensystems am festen Punkt zentriert ist.

Die kinetische Energie des Körpers ist dann gegeben durch

Und die Änderungsrate der kinetischen Energie ist einfach

Die durch äußere Kräfte erzeugte Leistung wäre gleich$\frac{d}{dt} K$,

Wenn man davon ausgeht, dass innere Kräfte keine Arbeit leisten, dann haben wir mit dem Arbeits-Energie-Theorem$P=\frac{d}{dt} K$, was ergibt,

was die Bewegungsgleichung impliziert,

Wieder einmal sehen wir, dass die Starrheitsbeschränkung, die die Existenz von garantiert$\mathbf{\omega}$, führt zu den üblichen Definitionen von Drehimpuls und Drehmoment.

Das Aufheben der Einschränkung, dass kein Punkt stationär ist, ist auch nicht allzu schwierig und führt wieder zu den üblichen Drehmomentgleichungen.

Ich empfehle Feynman-Vorträge, um das Energieerhaltungsprinzip zu verstehen, falls Sie es noch nicht gesehen haben.

Die Antwort ist, weil wir einen Kraftvektor entlang der Wirkungslinie verschieben können und das System dadurch nicht verändert wird. Daher ist der Ort einer Kraft entlang der Wirkungslinie nicht wichtig , und es zählt nur der Momentenarm der Kraft.

Betrachten Sie einen Kraftvektor$\boldsymbol{F}$wirkt durch einen Punkt, der durch den Positionsvektor lokalisiert ist$\boldsymbol{r}$. Jetzt hat die Wirkungslinie der Kraft eine Richtung$\boldsymbol{\hat{e}} = \boldsymbol{F} / \| \boldsymbol{F} \|$und geht durch$\boldsymbol{r}$. Abschließend wird das Kraft-Moment (Drehmoment) berechnet

Schieben Sie nun die Kraft entlang der Wirkungslinie zu einem Ort$\boldsymbol{r}' = \boldsymbol{r} + \lambda\,\boldsymbol{\hat{e}}$. Beachte das

Die Idee ist, dass das Kreuzprodukt$\text{(position)} \times \text{(vector)}$verwendet nur die senkrechten Positionskomponenten für die Berechnung. Gleiches gilt auch für andere Mengen:

Als Gedächtnisstütze kann man sich das merken$\boldsymbol{r} \times \rightarrow \text{(moment of)}$

Die wirklich tiefe Antwort ist, dass das Drehmoment als Größe ein Vektorfeld ist. Der Wert ändert sich je nach Standort. Die Wirkungslinie einer Kraft ist räumlich festgelegt, und je nachdem, wo wir das Drehmoment messen, ist ungefähr der Wert$\boldsymbol{r} \times \boldsymbol{F}$Wo$\boldsymbol{r}$ist der Positionsvektor eines beliebigen Punktes entlang der Wirkungslinie.

Dasselbe gilt für Lineargeschwindigkeit und Drehimpuls. Diese beiden sind Vektorfelder der gleichen Art und verwenden daher die gleichen Transformationsgesetze wie in (3) zu sehen.

Sie sollten diese Antwort lesen , um mehr über die Natur des Drehmoments und die Geometrie der Mechanik zu erfahren.

Da jeder Punkt in einem rotierenden Objekt in eine andere Richtung geht, wurde der Vektor, der die Winkelgeschwindigkeit darstellt, so gewählt, dass er entlang der Rotationsachse verläuft, der einzigen Richtung, die das System als Ganzes charakterisiert. Das Drehmoment als Vektor wird aus dem gleichen Grund entlang der Achse definiert und weil wir möchten, dass der Drehmomentvektor in der gleichen Richtung wie der Winkelbeschleunigungsvektor liegt. Definiert man das Drehmoment als die Arbeit pro Drehwinkeleinheit, die von einer Kraft geleistet werden könnte, die dazu neigt, eine Drehung zu verursachen, ist das Drehmoment proportional zu r und der Kraftkomponente, die senkrecht zu r steht. Wir müssen also drei Vektoren (Kraft, Radius und Drehmoment) in Beziehung setzen, die jeweils im rechten Winkel zueinander stehen. Ich vermute, dass das Kreuzprodukt dafür erfunden wurde.