Ist das Drehmoment ein ebenso grundlegendes Konzept wie die Kraft?

In der Mechanik Nr . Das Drehmoment ist keine fundamentale Größe. Ihre einzige Aufgabe besteht darin, zu beschreiben, wo im Raum eine Kraft wirkt (die Wirkungslinie). Drehmoment beschreibt nur eine Kraft auf Distanz. Eine Kraft gegeben$\boldsymbol{F}$und ein Drehmoment$\boldsymbol{\tau}$Sie können sagen, dass die Kraft entlang einer Linie im Raum wirkt, deren Richtung durch definiert ist$\boldsymbol{F}$, aber Standort definiert durch$\boldsymbol{\tau}$folgendermaßen

$$\boldsymbol{r} = \frac{ \boldsymbol{F} \times \boldsymbol{\tau} }{ \| \boldsymbol{F} \|^2 }$$

_{Tatsächlich können Sie den Kraftvektor überall entlang seiner Linie verschieben, und das Problem wird dadurch nicht geändert, also die$\boldsymbol{r}$oben berechnet, ist zufällig der Punkt auf der Linie, der dem Ursprung am nächsten liegt.}

Es könnte einfacher sein, zuerst den Drehimpuls zu diskutieren, da das Drehmoment die zeitliche Ableitung des Drehimpulses ist, genauso wie die Kraft die zeitliche Ableitung des linearen Impulses ist.

Für ein einzelnes Teilchen mit linearem Impuls$\boldsymbol{p} = m\boldsymbol{v}$befindet sich zu einem bestimmten Zeitpunkt an einem Punkt$\boldsymbol{r}$der Drehimpuls ist

$$\boldsymbol{L} = \boldsymbol{r} \times \boldsymbol{p}$$

Wo ist also die Impulslinie im Raum? Die Impulslinie wird Schlagachse genannt. Es befindet sich in

$$\boldsymbol{r} = \frac{ \boldsymbol{p} \times \boldsymbol{L} }{ \| \boldsymbol{p} \|^2 } = \frac{\boldsymbol{p} \times ( \boldsymbol{r} \times \boldsymbol{p})}{\| \boldsymbol{p} \|^2} = \frac{ \boldsymbol{r} (\boldsymbol{p} \cdot \boldsymbol{p}) - \boldsymbol{p} ( \boldsymbol{p} \cdot \boldsymbol{r}) }{\| \boldsymbol{p} \|^2} = \boldsymbol{r} \frac{ \| \boldsymbol{p} \|^2}{\| \boldsymbol{p} \|^2} = \boldsymbol{r} \; \checkmark$$

vorausgesetzt, dass der Punkt$\boldsymbol{r}$steht senkrecht auf dem Impuls$\boldsymbol{p}$. Lassen Sie mich näher darauf eingehen. Stellen Sie sich die Richtung der Linie vor$\boldsymbol{\hat{e}} = \boldsymbol{p} / \| \boldsymbol{p} \|$, und betrachte einen Punkt$\boldsymbol{r} + t \boldsymbol{\hat{e}}$für einen beliebigen Skalar$t$. Der Drehimpuls wird sein$\boldsymbol{L} = ( \boldsymbol{r} + t \boldsymbol{\hat{e}}) \times \boldsymbol{p} = \boldsymbol{r} \times \boldsymbol{p}$. Wo also entlang der Linie (der Wert von$t$) spielt keine Rolle. Endlich, wenn$\boldsymbol{r}$ steht nicht senkrecht dazu$\boldsymbol{p}$Sie können immer einen Wert von finden$t$das macht den Punkt senkrecht. Satz$t = -(\boldsymbol{r} \cdot \boldsymbol{p}) / \| \boldsymbol{p} \|$und der Punkt wird senkrecht sein.

_{Ein solcher Punkt kann immer gefunden werden, und es ist der Punkt auf der Linie, der dem Ursprung am nächsten liegt.}

Der Erhaltungssatz für den Drehimpuls (gekoppelt mit dem Erhaltungssatz für den linearen Impuls) besagt nur, dass nicht nur die Größe und Richtung des Impulses erhalten bleiben, sondern auch die Linie im Raum, auf der das Moment wirkt, ebenfalls erhalten ist . Also nicht nur, welche Richtung der Impulspunkt ist, sondern wo ist der Raum, in dem er existiert.

Um dies zu veranschaulichen, stellen Sie sich einen Fall vor, in dem Sie den Impuls eines frei rotierenden Körpers entfernen möchten, der sich im Raum bewegt. Sie haben einen Hammer und müssen Folgendes herausfinden, um den Körper vollständig zu stoppen. a) wie viel Schwung es treffen soll (die Größe), b) in welche Richtung es schwingen soll (Richtung) und c) wo es getroffen werden soll (Ort).

Zusammenfassend werden die in der Mechanik gebräuchlichen Größen wie folgt interpretiert

$$\begin{array}{r|l|l} \text{concept} & \text{value} & \text{moment}\\ \hline \text{rotation axis} & \text{rot. velocity}, \boldsymbol{\omega} & \text{velocity}, \boldsymbol{v} = \boldsymbol{r}\times \boldsymbol{\omega} \\ \text{line of action} & \text{force}, \boldsymbol{F} & \text{torque}, \boldsymbol{\tau} = \boldsymbol{r} \times \boldsymbol{F} \\ \text{axis of percussion} & \text{momentum}, \boldsymbol{p} & \text{ang. momentum}, \boldsymbol{L} = \boldsymbol{r} \times \boldsymbol{p} \end{array}$$

Die Dinge unter der Wertspalte sind grundlegende Größen, die uns die Größe von etwas (sowie die Richtung) angeben. Die Angaben unter der Momentenspalte sind sekundäre Größen, die davon abhängen, wo sie gemessen werden, und die den relativen Ort der grundlegenden Größen verwenden. Daher die Begriffe Drehmoment = Kraftmoment, Geschwindigkeit = Rotationsmoment und Drehimpuls = Impulsmoment. Das bedeutet nur, dass diese Mengen sind$\boldsymbol{r} \times \text{(something fundamental)}$und sie beschreiben den Momentarm zu diesem Etwas.

Die Lage der Linie im Raum ist immer die gleiche Formel

$$\text{(location)} = \frac{ \text{(value)} \times \text{(moment)}}{ \text{(magnitude)}^2}$$

Wo$\text{(magnitude)}$ist immer die Größe der$\text{(value)}$Vektor.

In der Statik lernen wir zum Beispiel, Kräfte und Momente auszugleichen, was als Ausgleich der Kraftgröße und der Wirkungslinie der Kraft zu interpretieren ist.

Die ursprüngliche Frage trägt das Schlagwort „Newtonsche Mechanik“, aber der Autor spricht auch von „fundamentalen Kräften“, daher nehme ich an, dass es von Interesse sein könnte, auf einige grundlegende Phänomene hinzuweisen, die mit klassischen makroskopischen Objekten beobachtbar sind, streng genommen aber Jenseits der Newtonschen Mechanik.

In der Quantenmechanik ist der Drehimpuls eines Photons grundlegend. Wenn zirkular polarisierte Photonen absorbiert oder Photonen mit Polarisationsänderung gestreut werden, kann die Übertragung ihres Drehimpulses als makroskopisches Drehmoment detektiert werden – zum Beispiel, wenn kleine, aber makroskopische Objekte rotieren.

Dieser Effekt hängt nicht davon ab, wo das Photon in Bezug auf seinen Massenschwerpunkt auf das Objekt trifft.

(Frühere Diskussion relevant für die Frage des OP: Ist es möglich, ein Drehmoment ohne Momentarm aufzubringen? )

Wenn ein Photon absorbiert wird, bewirkt sein Drehimpuls die Änderung des Drehimpulses des/der Elektrons/Elektronen im Objekt. Durch einige Relaxationsmechanismen wird der Drehimpuls von Elektronen auf die makroskopische Rotation des Objekts übertragen. Ich bin mir nicht sicher, was genau diese Mechanismen sind - die richtige Behandlung der Übertragung des Drehimpulses auf das Gitter ist kein triviales Thema: https://arxiv.org/pdf/1802.01638.pdf

Eine einfache klassische Interpretation der Situation ist: Das Photon induziert ein Dipolmoment im absorbierenden Medium, und dieser Dipol erfährt ein Drehmoment aus dem rotierenden elektrischen Feld des Photons – die Situation ähnelt dem, was im Induktionsmotor passiert.

Frühes (erstes?) Experiment mit der Streuung von Photonen: „Mechanical Detection and Measurement of the Angular Momentum of Light“ Richard A. Beth 1936 https://journals.aps.org/pr/abstract/10.1103/PhysRev.50.115

Verwendung von Photonen, um kleine, aber makroskopische Objekte zu drehen: "...durch die Übertragung des Drehimpulses des Photonenspins ist es auch möglich, Objekte in eine Rotationsbewegung zu versetzen, indem man sie einfach mit einem Strahl aus zirkular polarisiertem Licht anvisiert" "Ultrafast Spinning of Gold Nanoparticles in Wasser mit zirkular polarisiertem Licht“ 2013 https://pubs.acs.org/doi/abs/10.1021/nl4010817

(Licht kann Drehimpuls nicht nur im Spin von Photonen tragen, sondern auch als Bahndrehimpuls. Siehe Antwort von Emilio Pisanty hier: Photon spin and total angular momentun )

(Diese Antwort wurde aktualisiert, um die Fragen aus den Kommentaren zu beantworten.)

In dem Maße, in dem das Drehmoment (oder Moment) von der Kraft abgeleitet wird, ist die Kraft "fundamentaler" als das Drehmoment.

Drehmoment ist aber sicherlich mehr als nur Kraft mit zusätzlichem „Gepäck“. Und es geht um mehr als nur um Koordinatensysteme. Drehmoment und Kraft sind keine Frage von entweder oder. Beide werden für die Analyse von Bewegung und Gleichgewicht benötigt.

Moment, ein anderer Begriff für Drehmoment, ist ein grundlegender Begriff in der Statik. Zum Beispiel werden in der Statik sowohl Kräfte als auch Momente benötigt, um das statische Gleichgewicht zu bestimmen. Kräfte bewirken eine geradlinige Bewegung. Momente verursachen Drehbewegungen. Die Anforderungen für das Gleichgewicht sind, dass die Summe der Momente und Kräfte Null sein muss. Und es geht über die Statik hinaus. Biegemomente und Scherkräfte sind grundlegend für das Studium der Mechanik von Materialien.

Sie werden den Unterschied schätzen lernen, wenn Sie Statik, Dynamik und Mechanik von Werkstoffen studieren.

Hoffe das hilft

Ja, die Konzepte von Kraft und Drehmoment sind gleichermaßen grundlegend.

Der Satz von Noether besagt, dass jeder Symmetrie in einem physikalischen System ein Erhaltungssatz entspricht. Die Translationssymmetrie führt zur Erhaltung des Impulses, dessen Ableitung die Kraft ist (daher ist die Summe aller Kräfte in einem physikalischen System immer 0). Die Rotationssymmetrie führt zur Erhaltung des Drehimpulses, dessen Ableitung das Drehmoment ist (daher ist die Summe aller Drehmomente in einem physikalischen System immer 0).

Die Symmetrien unter Translation und Rotation sind gleichermaßen grundlegend für die Mechanik, daher sind Kraft und Drehmoment gleichermaßen grundlegende Konzepte.

Aus einer rein Newtonschen Mechanik-Perspektive würde ich argumentieren, dass Kraft ein grundlegenderes Konzept ist als Drehmoment. Dies liegt vor allem daran, dass Drehmomente mangels eines besseren Begriffs eine Eigenschaft von Kräften sind. Außerdem hängt das von einer Kraft erzeugte Drehmoment von Ihrer subjektiven Wahl ab, über welchen Punkt Sie das Drehmoment berechnen. Dies alles wird in der Definition des Drehmoments erfasst

$$\boldsymbol\tau=\mathbf r\times\mathbf F$$ Wo$\mathbf F$ist der Kraftvektor und$\mathbf r$ist der Vektor, der von dem Punkt, um den Sie das Drehmoment berechnen, zu dem Punkt zeigt, an dem die Kraft ausgeübt wird.

Beachten Sie, dass dies das Drehmoment als Kraft definiert, aber Sie können keine Kraft aus einem Drehmoment bestimmen. Für ein gegebenes$\boldsymbol\tau$und eine gegeben$\mathbf r$es gibt keine einzigartige Kraft$\mathbf F$. Daher erweckt dies auch den Eindruck, dass Kraft ein grundlegenderes Konzept ist.

Beachten Sie auch, dass die Definition des Drehmoments nicht davon abhängt, ob wir Polarkoordinaten verwenden oder nicht. Sie können Kräfte in Polarkoordinaten diskutieren, ohne sich auf Drehmoment zu beziehen, und Sie können über Drehmomente in kartesischen Koordinaten sprechen.

Das Drehmoment ist also nicht grundlegend, aber das bedeutet nicht, dass es nicht nützlich ist. Es ist nützlich, um zu untersuchen, wie Kräfte dazu führen, dass sich ausgedehnte Körper bewegen (oder nicht bewegen), und es ist nützlich, wenn die Bewegung um einen bestimmten Punkt rotationssymmetrisch ist (dh wenn der Drehimpuls erhalten bleibt).

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Über die Newtonsche Mechanik hinausgehend möchte ich sagen, dass das Drehmoment als etwas grundlegender angesehen werden könnte als in der Newtonschen Mechanik, aber ich denke, selbst dann wird der Fokus nur auf den Drehimpuls und nicht auf das Drehmoment verlagert.

Der Grund, warum ich das sage, ist, dass man, sobald man die Ebene der Physik erreicht hat, auf der der Drehimpuls grundlegend ist, sowieso wirklich aufhört, über Kräfte und Drehmomente zu sprechen, und sich mehr auf Impuls und Energie konzentriert. Beispielsweise konzentrieren sich die Lagrange- und Hamilton-Mechanik mehr auf Energie als auf Kräfte. Die Gleichung von Schrödinger beschäftigt sich eher mit Energien als mit Kräften.

Außerdem haben wir Spin, dem ein Drehimpuls zugeordnet ist, aber es gibt kein klassisches Analogon dafür. Wir sprechen nicht einmal über Drehmomente, wenn es um Spin geht, aber wir diskutieren viel über Drehimpuls. Selbst dann sind die Drehimpulsoperatoren für Nicht-Spin-Drehimpulse immer noch in Begriffen von linearen Impulsoperatoren definiert.

Ich nehme an, mein Standpunkt in all dem ist, dass das Drehmoment nicht sehr grundlegend ist. Auf der klassischen Ebene sind Drehmomente eigentlich nur Eigenschaften von Kräften. Sobald Sie tiefer in die Physik einsteigen, verschiebt sich der Fokus auf Energie, Impuls und Drehimpuls. Drehmoment fällt weg.

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Um zu Ihren praktischeren Fragen zu kommen:

Ist es also willkürlich, entweder Kraft oder Drehmoment als Grundlage für Gesetze und Probleme zu verwenden? Oder gibt es eine tatsächliche grundlegende Begründung dafür, wann das eine oder das andere verwendet werden sollte?

Ich würde nicht sagen, dass es willkürlich ist, aber ich würde auch nicht sagen, dass es bestimmte Regeln zu befolgen gibt, wann Drehmoment nützlich ist oder nicht. Was für die Verwendung von Drehmoment bei einem bestimmten Problem gilt, gilt wirklich für jede Art von Problemlösungsstrategie. Wenn Sie erkennen, dass das Nachdenken über Drehmomente Ihnen hilft, das Problem zu lösen, dann sollten Sie es verwenden! Wenn wir uns beispielsweise für die Änderung des Drehimpulses eines rotierenden Objekts interessieren, das durch eine Kraft erzeugt wird, wäre es nützlich, über das Drehmoment nachzudenken, das diese Kraft erzeugt. Wenn Sie jedoch die Bewegung eines Projektils nahe der Erdoberfläche analysieren möchten, wäre es nicht sehr hilfreich, über das Drehmoment nachzudenken, das die Schwerkraft um einen Bezugspunkt hat (obwohl dies nicht unbedingt bedeuten würde, dass Sie sich irren). für den Versuch, das Problem auf diese Weise zu analysieren).

Ja, sie sind gleichermaßen grundlegend, weil sie beide „Kräfte“ im gleichen Sinne sind. Der Zusammenhang zwischen Drehmoment, Drehimpuls und Winkeln ist identisch mit dem zwischen linearen Kräften, linearem Impuls und Position.

Nimm die Gleichung$\mathbf{F} = m \mathbf{a}$. Genau genommen ist diese Gleichung$\mathbf{F} = \frac{\mathrm{d} \mathbf{p}}{\mathrm{d} t}$. Eine Möglichkeit, diese Gleichung zu lesen, lautet: "Die Nettokraft ist die zeitliche Änderungsrate des linearen Impulses." Wir haben auch$\mathbf{\tau} = \frac{\mathrm{d} \mathbf{L}}{\mathrm{d}t}$für Drehmomente und Drehimpulse.

Nun, der Grund, warum Drehmomente möglicherweise nicht so grundlegend erscheinen, liegt in der Tatsache, dass ein Großteil der klassischen Mechanik aus punktförmigen Teilchen aufgebaut ist, die keine Orientierung zu ihnen haben. Es ist eine interessante Tatsache, dass Sie mit einer solchen Konstruktion makroskopische Körper approximieren und den Drehimpuls zurückgewinnen können, der aus der kollektiven Bewegung dieser Teilchen entsteht, aber das macht die Winkelgrößen nicht nicht fundamental.

Sie könnten die Konstruktion der Mechanik ebenso in Form von winzigen starren Körpern durchführen, wobei jeder Körper einen Ort und eine Ausrichtung hat. Diese durch Winkel definierte Ausrichtung führt natürlich dazu, dass Drehimpuls, Drehmomente usw. gleichberechtigt mit Kräften sind. Der Grund, warum wir es normalerweise nicht so machen, ist, dass es eine Menge Komplikationen hinzufügt und die Annäherung, dass Sie den Drehimpuls der winzigen Teile ignorieren können, normalerweise richtig ist, also ist es viel zusätzliche Arbeit ohne Nutzen.

Zurück zu den Gleichungen oben,$\mathbf{F} = \frac{\mathrm{d} \mathbf{p}}{\mathrm{d} t}$Und$\mathbf{\tau} = \frac{\mathrm{d} \mathbf{L}}{\mathrm{d}t}$. In fortgeschritteneren Physikkursen lernen Sie, dass der lineare Impuls die Größe ist, die erhalten bleibt, weil die Gesetze der Physik nicht von Ihrer Position abhängen. Sie lernen auch, dass der Drehimpuls erhalten bleibt, weil dieselben Gesetze nicht davon abhängen, wie Sie Ihre Koordinatenachsen ausrichten. Somit stehen Linear- und Drehimpuls auf der gleichen Grundlage, und die obigen Gleichungen können so verstanden werden, dass sie ungefähr die Geschwindigkeit darstellen, mit der die Erhaltungsgrößen zwischen zwei oder mehr Körpern übertragen werden.

Es gibt einige zusätzliche Komplikationen, die sich aus der Tatsache ergeben, dass Sie die Ausrichtung nicht mit einem Vektor beschreiben können - Sie benötigen entweder drei Winkel oder eine Rotationsmatrix. Es sind diese Komplikationen, die den Umgang mit Drehmoment und Drehimpuls erschweren, aber das macht sie nicht weniger grundlegend.

Zum Beispiel ist die willkürliche "Rechte-Hand-Regel", die bei Kreuzprodukten auftritt, ein Artefakt, das darauf zurückzuführen ist, dass Sie es nicht wirklich mit Vektoren zu tun haben, sondern etwas etwas Komplizierteres wie einen Vektor behandeln (in technischer Hinsicht: Rang -2 antisymmetrische Tensoren), was nur in 3-d möglich ist. Die Rechte-Hand-Regel wird festgelegt, wenn Sie entscheiden, wie die Teile dieser Tensoren (Matrizen) in Vektorkomponenten übersetzt werden sollen. Zum Beispiel könnten wir die Komponenten des Drehimpulses ($L_x$,$L_y$,$L_z$) Sei:

$$\left[\begin{array}{ccc}0 & L_z & -L_y \\ -L_z & 0 & L_x \\ L_y & -L_x & 0\end{array}\right],$$ aber das Austauschen aller Minuszeichen ist eine ebenso gültige Wahl. Es ist die Entscheidung, wo die Minuszeichen gesetzt werden, die Links-gegen-Rechts-Regeln erzeugt. Entsprechend entspricht die Auswahl der Frage: "In welche Richtung geht eine Drehung um einen positiven Winkel?" Das Obige entspricht: „Strecken Sie den Daumen Ihrer rechten Hand in Richtung der Achse, um die Sie sich drehen, und greifen Sie die Achse. Ihre Finger wickeln sich in Richtung positiver Drehungen um die Achse (schauen Sie nach unten auf Ihren Daumen, Konter). -im Uhrzeigersinn)."

Ein starrer Körper dreht sich aufgrund einer äußeren Kraft um einen Punkt, der sich im Massenmittelpunkt befindet$\vec{f}$so effektiv an diesem Punkt$p_1$, das Drehmoment ist dann:

$$\vec{\tau}_{p1}=\vec{r}_c\times \vec{f}$$

wenn wir einen anderen beliebigen Punkt wählen$p_2$das auf der Kraftlinie liegt erhalten wir dann für das Drehmoment

$$\vec{\tau}_{p2}=\left(\vec{r}_c+\lambda \hat{\vec{f}}\right)\times \vec{f}$$

Wo$-\infty < \lambda < \infty$

Im Kabinenfall ist die Größe des Drehmoments gleich$||\vec{\tau}_{p1}||=||\vec{\tau}_{p2}||$

für$\lambda_\perp=-\frac{\vec{f}^T\,\vec{r}_c}{||\vec{f}||}$Wir erhalten den kürzesten Abstand zum Massenmittelpunkt, also:

$$\vec{\tau}_{p\perp}=\underbrace{\left(\vec{r}_c+\lambda_\perp \hat{\vec{f}}\right)}_{\vec{r}_\perp}\times \vec{f}$$

wieder die Größenordnung$||\vec{\tau}_{p\perp}||=||\vec{\tau}_{p1}||$

So$p_\perp$ist überhaupt kein bestimmter Punkt!!

Wenn die Kraft$\vec{f}$im Massenmittelpunkt wirksam ist, kann sich der Körper durch äußeres Drehmoment noch drehen$\vec{\tau}_E$

Zur Beantwortung Ihrer Frage.

Wenn das Drehmoment auf eine externe Kraft zurückzuführen ist, ist dies nicht grundlegend, da Sie zur Berechnung des Drehmoments die Kraft und einen Punkt auf der Kraftlinie verwenden. Wenn das Drehmoment jedoch auf ein externes Drehmoment zurückzuführen ist, ist dies von grundlegender Bedeutung.

Es ist möglich (und vielleicht natürlich), die Frage umzudrehen. Wie andere erwähnt haben; Photonenspin und insbesondere Elektronenspin können nicht mit einem Konzept der Verschiebung um einen Kreis in der räumlichen Dimension identifiziert werden, nehmen aber dennoch an makroskopischen Winkelerhaltungsgesetzen teil. Die Erhaltung des Drehimpulses ist also wohl so grundlegend wie es nur geht. Aber was ist mit dem linearen Impuls?

Nun, sollten Sie sich vorstellen (ohne zu sehr an Allgemeingültigkeit zu verlieren), dass wir in einem (hyper-)sphärischen Universum leben, ist es einfach, jede Aussage über die lineare Erhaltung als eine Aussage über die Winkelerhaltung um einen entsprechenden Pol des Universums neu zu interpretieren.

Also nein, nicht alles über den Drehimpuls kann vom linearen Impuls abgeleitet werden; aber das Umgekehrte kann tatsächlich wahr sein.