Wie verstärken Hebel Kräfte?

Ich stimme Benjamin Franz zu, dass das Kugel-Feder-Modell eines Festkörpers hilfreich ist und dass, wenn ein Festkörper eine Kontaktkraft ausübt, die Bindungen zwischen den Atomen in diesem Bereich verzerrt werden. Wenn Sie einen Balken nehmen, seine Enden festklemmen und dann eine außermittige Kraft darauf ausüben, werden die Bindungen auf der kurzen Seite stärker verzerrt als die Bindungen auf der langen Seite. Daher wird mehr Kraft auf die Klemme ausgeübt, die näher an der ausgeübten Kraft liegt. Das folgende Diagramm veranschaulicht dies:

Auch wenn die Antwort von @Noah einige Einblicke bietet, muss ich der Aussage widersprechen, dass "die Anleihen auf der kurzen Seite stärker verzerrt sind". Die "Netto"-Verzerrung ist wahrscheinlich auf jeder Seite gleich.

Ich werde eine ähnliche Zahl wie bei @Noah angeben. Es gibt zwei schwarze Rechtecke, die die beiden Gewichte darstellen würden, aber nehmen wir jetzt an, dass sie starr sind. Sie sind auch auf der gleichen Höhe mit den gleichen Abmessungen.

Wenn Sie die Rechtecke gegen den Balken drücken, verhindert das Knie (Drehpunkt) eine Verschiebung, sodass an den Spitzen Verformungen auftreten. Unter der Annahme, dass wir die gleiche Höhe zwischen den Rechtecken beibehalten, ist die vertikale Verformung an jeder der Balkenspitzen gleich.

Die für eine solche Verformung im linken Rechteck erforderliche Kraft ist jedoch geringer als die für das rechte Rechteck erforderliche Kraft. Um eine Vorstellung davon zu geben, warum dies passiert, habe ich das Szenario gezeichnet, in dem Sie den längeren Teil des Balkens (L1) und den kürzeren Teil (L2) biegen müssten:

Ich glaube, dass Sie aus Erfahrung bereits wissen, dass es im zweiten Fall (kürzerer Träger) viel schwieriger ist, den Träger zu biegen, und eine größere Kraft aufgewendet werden muss (*). Wenn Sie also diese beiden Fälle kombinieren und zum ursprünglichen Beispiel zurückkehren, verstehen Sie wahrscheinlich, dass tatsächlich eine größere Kraft an L2 im Vergleich zu L1 aufgebracht werden muss.

Wenn wir in Gewichten anstatt in zwei schwarzen Rechtecken denken, können Sie jetzt sehen, warum eine kleine Kraft an der Spitze von L1 eine größere Kraft an L2 erfordern würde, um das System auszugleichen, wodurch an jedem Ende derselbe Betrag verformt wird. In einer typischen realen Situation wäre der Hebel nicht so verformt. Trotzdem erklärt die Biegewirkung und die inhärente Geometrie des Hebels dieses Phänomen.

• (*) Prämie: Wenn Sie sich fragen, warum ein kleinerer Balken schwieriger zu biegen ist als ein längerer, können Sie den Balken mit einem Kugelfedermodell auf atomarer Ebene untersuchen. Betrachtet man den Träger als Federn, hat die längere Seite eine äquivalente axiale Feder, die viel länger ist als die kombinierten axialen Federn der kürzeren Seite. Wenn Sie sich aus der Physik erinnern, ist eine kürzere Feder viel schwerer zu ziehen als eine längere. Sie können es selbst versuchen, aber die Erklärung dafür ist ein ganz anderes Thema. Wenn Sie das Gewicht in die längere Seite des Balkens (oder des schwarzen Rechtecks) "schieben", biegt es den Balken unweigerlich so, dass sich die "Federn" in der Nähe der Oberseite ausdehnen und die Federn in der Nähe der Unterseite zusammengedrückt werden (siehe Biegemoment für mehr darüber). Dies bedeutet, dass aufgrund von Axialkräften eine innere Spannung entsteht, ähnlich wie Sie eine Feder drücken würden. Unten sehen Sie ein grobes Bild, das die Existenz einer Axialkraft (F1) erklärt. Das Gewicht (F) wird in eine senkrechte Kraft zum Balken (F2) und eine Axialkraft (F1) zerlegt. Beachten Sie, dass dies eine zu starke Vereinfachung ist, da die Verteilung der inneren Axialkraft entlang des Querschnitts variiert.

  

• Extra : Eine kürzliche Diskussion mit @DS hat mich daran erinnert, dass dies eine ähnliche Situation wie bei der Kraftverstärkung in Flüssigkeiten ist: Was die Kraft vom kleineren Kolben überträgt und auf den größeren Kolben verstärkt, ist der Druck und nicht die tatsächliche Kraft. Hier ist es ähnlich: Was die Kraft verstärkt, ist die Biegespannung im Inneren des Balkens, die durch den Druck auf die längere Seite des Hebels gefördert und auf die kürzere Seite übertragen wird.

  Warum Druck/Stress übertragen wird und nicht Kraft, hängt wahrscheinlich damit zusammen, dass Energie übertragen wird und nicht Kraft. Unter der Annahme, dass keine Wärmeverluste auftreten, gibt es Energieerhaltung (entweder beim Biegen des Hebels oder im Beispiel des Kolbens): Obwohl die Kraft verstärkt wird, wird der Abstand (zum Gewicht) verringert, sodass ihr Produkt ("Energie / Arbeit") ) ist auf beiden Seiten des Systems gleich. Wenn jemand einige Kommentare zu diesem Teil hinzufügen möchte, würde ich mich sehr freuen.

Es gibt zwei ziemlich einfache Möglichkeiten, dies zu verstehen:

• Als Problem in der „Statik“ auftretende Kräfte und Momente am Hebel .
• In Bezug auf die Energieeinsparung zwischen der Arbeit der Person, die den Hebel bedient, und der angehobenen Last.

Aufstellen

Wir betrachten der Einfachheit halber die Situation, in der der Hebel im Wesentlichen horizontal ist (zu zeigen, dass die Ergebnisse bei anderen Winkeln gelten, bleibt als Übung), und behandeln den Hebel als einen geraden langen Balken$l = l_1 + l_2$. Auf die Stange wirken drei Kräfte, die aufgebrachte Kraft$F_a$wirkt im Abstand 0 nach unten, die Stützkraft$F_f$wirkt auf Distanz nach oben$l_1$, und die Ladung$F_l$wirkt im Abstand l nach unten.

Beachten Sie, dass ich bisher nichts über das Verhältnis gesagt habe$l_1/l_2$.

Statik

Das verlangen wir$\sum F_i = 0$Und$\sum \tau_i = 0$(Die Summe der Kräfte und die Summe der Drehmomente, die auf den Stab wirken, sind Null). Ich werde die Drehmomente um den Drehpunkt messen.

Wir können sofort sehen, dass das System unterbeschränkt ist und wir haben einen freien Parameter; dass das Gewicht der Ladung, so werden wir ausdrücken$F_a$Und$F_f$bezüglich$F_l$.

Aus der Drehmomentgleichung erhalten wir$F_a = \frac{l_2}{l_1} F_l$, und setzen das in die Kräftegleichung ein, die wir erhalten$F_f = (1 + \frac{l_2}{l_1}) F_l$.

Energiebelange

Im besten Fall verschwendet die Maschine keine Energie; wir gehen von diesem Fall aus.

Während sich die Stange durch einen kleinen Winkel bewegt$\alpha$In der Nähe der Horizontalen bewegt sich die aufgebrachte Kraft über eine Distanz$-\alpha \cdot l_1$, und das geladene Ende über eine Distanz$\alpha \cdot l_2$, Berechnung der geleisteten Arbeit an jedem Ende, das wir bekommen

Diese müssen sich nach Annahme zu Null addieren, also

wie vorher.

Schlussfolgerungen

Wenn die Last dann am kurzen Ende ist$l_2 < l_1$Und$\frac{l_2}{l_1} < 1$und Sie benötigen weniger Kraft, um die Last zu heben, aber die Last bewegt sich über eine kürzere Strecke.

Wenn die Last dann am langen Ende ist$l_2 > l_1$Und$\frac{l_2}{l_1} > 1$und Sie benötigen mehr Kraft, um die Last zu heben, aber die Last bewegt sich über eine längere Strecke.

Das Problem stellte sich mir vor langer Zeit als "Woher weiß das Gewicht, das an einem Ende einer horizontalen Stange hängt, wie weit der Drehpunkt und das andere Gewicht entfernt sind?" Dies, fand ich, konnte nur beantwortet werden, indem dem Stab eine gewisse Dicke zugestanden wurde, in der er eine innere Struktur haben konnte.

Unter Verwendung einer Struktur, die aus einem gelenkigen Gitter aus Streben und Bändern besteht, wird das Gesetz$F_1x_1=F_2x_2$ergibt sich einfach durch Anwendung der Kräftegleichgewichtsbedingung an jedem Bolzengelenk.

Ich füge eine vereinfachte (möglicherweise zu stark vereinfachte) Version des Arguments bei.

Dies mag bemängelt werden, da ich den beiden Seiten des Stabes unterschiedlich proportionierte Strukturen gegeben habe. Das Argument funktioniert sehr ähnlich und liefert das gleiche Ergebnis, wenn es auf beiden Seiten des Drehpunkts dieselbe Gitterstruktur gibt, nur mehr Einheiten des Gitters auf der langen Seite des Stabs.

Es ist alles relativ zum Drehpunkt im Hebel und zur aufgewendeten Energie, nicht zur ausgeübten Kraft. Wenn der Drehpunkt ein Viertel der Hebellänge von der Unterseite des Hebels entfernt ist und Sie eine Kraft F auf die Oberseite des Hebels anwenden, um die Oberseite um eine Distanz D zu bewegen, ist das Ergebnis, dass die Unterseite des Hebels bewegt sich um ein Drittel der Entfernung der Spitze. (dh 3/4 der Länge geteilt durch 1/4 der Länge um den Drehpunkt herum). Die am oberen Ende des Hebels verbrauchte Energie ist FxD. Da Energie rein gleich Energie raus ist und sich die Unterseite des Hebels nur um 1/3 von D bewegt, dann ist die Kraft, die auf die Unterseite des Hebels ausgeübt wird, 3D. (D. h. das 3-fache der Kraft, die oben auf den Hebel ausgeübt wird), aber sie wurde über eine kürzere Distanz ausgeübt. Ich hoffe, das ist das, wonach Sie suchen, und ich hoffe, ich habe es deutlich gemacht. Es ist 60 Jahre her, dass mir das beigebracht wurde.

Ich halte dmckees Antwort für fehlerhaft, weil sie die Erde nicht erwähnt.

Auf der gröbsten Ebene beschleunigt die Erde nach unten, während das große Objekt nach oben beschleunigt. Auf der Ebene der Newtonschen Mechanik hat jede Aktion eine gleiche und entgegengesetzte Reaktion.

Genauer gesagt bleiben der Schwerpunkt der Erde, der Drehpunkt, der Hebel, die Person, die drückt, und das große Objekt, zusammengenommen als ein einziges zusammengesetztes System, bewegungslos (oder vielmehr mit konstanter Geschwindigkeit), aber die Positionen und Geschwindigkeiten der fünf inneren Komponenten relativ zueinander werden durch die Wirkung der Kontaktkräfte verändert (die wir letztendlich als berührungslose Gravitations-, elektromagnetische und nukleare Kräfte auffassen können und die letztendlich ein Verständnis der Beschaffenheit der Materie erfordern QM), die zwischen ihnen agieren. Auf dieser Modellierungsebene wird die Erdbeschleunigung (im Modell) etwas anders sein (und gleich der Beschleunigung des Drehpunkts), weil ein Teil der Person, die drückt, auch nach unten beschleunigt,

Bei zunehmender Detailgenauigkeit ist jede der fünf Komponenten auch zusammengesetzt. Ich kann meinen Arm beugen, um eine nach unten gerichtete Kraft auszuüben, weil ich die innere Geometrie meines Arms relativ zu einem anderen Teil unter Verwendung chemischer Energie (die wir wiederum als letztendlich elektromagnetische und nukleare Energie und QM annehmen können) anpassen kann.

Obwohl Sie dieses QM etikettiert haben, kann es in Bezug auf klassische Mechanik und EM mäßig gut verstanden werden. Die Beschaffenheit der Materie beschäftigte die Naturphilosophen des späten 19. Jahrhunderts, aber alles war so weit unter Kontrolle, dass sie kaum bemerkten, dass sie bis Planck Probleme unter den Teppich kehrten.