Warum zeigt das Drehmoment senkrecht zur Bewegungsrichtung?

Um Steevens Antwort und insbesondere seine sehr treffende Aussage zu ergänzen:

Sie können eine Vektorrichtung nicht als etwas definieren, das sich umdreht.

Es kann Ihnen helfen zu verstehen, dass Drehmoment als Vektor tatsächlich ein wenig schummelt: Es ist eine „Vereinfachung“, mit der wir nur in zwei und drei Dimensionen davonkommen, weshalb die „Richtung“ etwas abstrakt erscheint. Die "Vektor"-Richtung des Drehmoments definiert die Achse der Bewegung, die sie zu induzieren neigt, und aus dem gleichen Grund, aus dem das Drehmoment als Vektor ein bisschen ein Trick ist, funktioniert sogar der Begriff der Achse nur in zwei und drei Dimensionen.

Beim Drehmoment geht es um Rotation, und bei Rotationen geht es in erster Linie um Transformationen, die auf Ebenen beschränkt sind . Beispielsweise eine Drehung um die$z$-Achse ist eine Transformation, die die aufwühlt$x-y$Ebene - es verwandelt die$x$und$y$Koordinaten von Dingen - aber lässt die$z$Koordinaten unverändert.

Wenn wir höherdimensionale Geometrie machen, ändern Drehungen Ebenen und lassen mehr als eine Dimension unverändert. Bei einer vierdimensionalen Drehung ist es unvollständig, von einer Drehung um eine Achse zu sprechen, da Sie beispielsweise eine Drehung haben können, die die umwandelt$x$und$y$Koordinaten von Punkten invariant, aber es lässt die$z$und$w$Koordinateninvariante.

Im Allgemeinen ist es also am einfachsten, eine Rotation anzugeben, indem man die Ebene angibt, die sie ändert , anstatt den Unterraum anzugeben, den sie unverändert lässt.

Es passiert einfach so, dass in drei Dimensionen der invariant gelassene Unterraum eine Linie oder eine "Achse" ist - also laufen die beiden Ansätze auf dasselbe hinaus. Wir können eine Ebene in drei Dimensionen definieren, indem wir einen Vektor senkrecht zu ihr angeben, weshalb wir mit einem Drehmoment oder einer Winkelgeschwindigkeit als Vektor davonkommen. Im Allgemeinen sind diese Größen gerichtete Ebenen, keine Linien mit Richtung.

Wie kann sich der Bolzen im Uhrzeigersinn drehen, wenn die Kraft senkrecht zu der Stelle konzentriert ist, an der er sich drehen muss?

Denn diese Kraft steht senkrecht zur Richtung zum Rotationszentrum . Nicht in Drehrichtung. Der Bolzen dreht sich tatsächlich so, wie die Kraft ihn zieht.

Wenn Sie eine Drehmomentvektorrichtung definieren , haben Sie ein Problem. Sie können eine Vektorrichtung nicht als etwas definieren, das sich umdreht. Die Richtung muss eine gerade Linie sein. Anstatt also das Drehmoment "Drehung" zu wählen, könnten wir die Drehmomentachse als Vektorrichtung wählen .

Schauen Sie sich dieses Bild an:

Die Achse verläuft senkrecht durch den Bolzen entlang der beiden Pfeile nach oben/unten. Wenn Sie die Richtung des Drehmomentvektors entlang dieser Achse definieren, passt alles. Wir müssen uns nur an diese Wahl erinnern.

Drehmoment ist:

Der Kraftvektor$\vec F$multipliziert mit dem Vektor zum Rotationszentrum$\vec r$gibt den Drehmomentvektor an. Das Ergebnis eines Kreuzprodukts ist mathematisch gesehen ein Vektor, der senkrecht nach oben zeigt , also passt dies perfekt zu dieser Wahl. Der Drehmomentvektor$\vec \tau$die Sie aus dieser Berechnung erhalten, hat die Drehmomentgröße , aber die Richtung der Drehmomentachse .

Solange Sie sich an diese Wahl – diese Definition – erinnern, ist alles gut. Jedes Mal, wenn Sie „ die Richtung des Drehmoments ist horizontal “ hören, wissen Sie, dass dies nur die Achse des Drehmoments ist; das Drehmoment (die Wende) steht dann aufrecht.

Betrachten Sie die Definition des Drehmoments$\vec{\tau}$aufgrund einer Kraft$\vec{F}$durch einen Punkt gehen$\vec{r}$

Verwenden der produktübergreifenden Identität$\| \vec{A} \times \vec{B} \| = \| A \| \|B \| \sin \theta$wo$\theta$Winkel ist, der von den beiden Vektoren gebildet wird, können wir Folgendes schreiben

Zusammenfassend entfernt das Kreuzprodukt jeglichen Einfluss des Ortes der Kraft entlang der Wirkungslinie und berücksichtigt nur den senkrechten Abstand zur Messung des Drehmoments.

Anhang

Drehmoment ist das Moment der Wirkungslinie einer Kraft. Es ist definiert als$\vec{\tau} = \vec{r} \times \vec{F}$

Die Geschwindigkeit ist das Moment der Rotationslinie eines starren Körpers. Es ist definiert als$\vec{v} = \vec{r} \times \vec{\omega}$

Beide Mengen ($\vec{\tau}$und$\vec{v}$) enthalten die Information über die Entfernung (Position) zu einer Linie im Raum. Dies kann durch wiederhergestellt werden

Die Richtung des Drehmomentvektors ist ähnlich der Richtung des Geschwindigkeitsvektors auf einem rotierenden starren Körper. Es ist ein Umfangsvektor, der sowohl zur Wirkungslinie als auch zum Ort der Linie senkrecht ist. Es lässt sich am besten als die Tangentialgeschwindigkeit eines ausgedehnten rotierenden Körpers unter dem Koordinatenursprung erklären.

_{Siehe diese Antwort für eine detailliertere Erklärung der Geometrie in der Mechanik.}

Ich glaube, dass Ihre Frage am besten durch die Gyroskop-Experimente beantwortet wird. Zunächst dreht sich das Gyroskop nicht, es wird an beiden Enden abgestützt. Eine Stütze wird dann entfernt und der Kreisel "fällt". Wenn dieses Experiment jedoch mit sich drehendem Kreisel wiederholt wird, dreht sich der Kreisel, anstatt zu fallen, um das tragende Ende! Diese Bewegung ist sowohl zum Schwerkraftvektor als auch zum Drehmomentvektor senkrecht. Dies beweist, dass das Drehmoment einen Vektor erzeugt, der senkrecht zur Rotationsebene steht.

Warum zeigt das Drehmoment senkrecht zur Bewegungsrichtung?

Physiker sagen oft, dass sie das Denken der ersten Prinzipien verwenden, aber um diese ersten Prinzipien zu entwickeln, verwenden sie immer Beobachtungen aus der realen Welt und erstellen Gleichungen, um die Beobachtung zu erklären, können aber manchmal nicht den grundlegenden Grund für die Beobachtung erklären, die zu ihrer Entstehung geführt hat zur Gleichung. Im dreidimensionalen Raum gibt es zwei mögliche orthogonale Vektoren (Drehmomentvektor in diesem Beispiel) relativ zu einer anderen Ebene (rotierendes Objekt in diesem Beispiel). Der Drehmomentvektor könnte möglicherweise in beide Richtungen weisen, daher ist dies nicht intuitiv. Unser Universum (nach dem, was Menschen von der Erde und dem Weltraum in unserem Sonnensystem aus beobachten) verwendet zufällig die Regel des rechten Handgriffs für die Richtung des Drehmomentvektors. Wieso den? Es ist einfach. Es könnte Zufall sein, dass wir andere Phänomene haben, die diese Regel des rechten Griffs in der "T = r * sin(theta) * Fdurch Betrachten der Spinprozession eines rotierenden Objekts. Es war einfach eine Analogie, die sie auf der Erde mit sich drehenden Objekten beobachten. Das erste Video unten erklärt es sehr gut. Das T ist einfach das, was sie das Drehmoment für die Spin-Prozession jedes Effekts messen. Physiker haben nicht bewiesen, warum der Drehmomentvektor bei Anwendung der Rechtsgriffregel in Richtung Daumen zeigt. Es ist einfach. Sie zeigen einfach einen Wert mit Einheiten, die auf der Mathematik basieren. Sehen Sie sich das zweite Video an, wie die Regel für den rechten Handgriff funktioniert. Video Nr. 3 zeigt viel mehr von der Mathematik.

Video Nr. 1:
https://www.youtube.com/watch?v=ty9QSiVC2g0

Video Nr. 2:
https://www.youtube.com/watch?v=fuTVnSFBhwk

Video #3
https://www.youtube.com/watch?v=XPUuF_dECVI

Da der Sinus von 60 Grad in diesem Fall etwa 0,86 beträgt, wären es (0,86) (50) Fuß-Pfund. Wie kann sich der Bolzen im Uhrzeigersinn drehen, wenn die Kraft senkrecht zu der Stelle konzentriert ist, an der er sich drehen muss?

Dies ist nur die Verwendung der Mathematik aus der Gleichung T = F * r * sin(theta)in der obigen Erklärung. Achte nur darauf, beim Lösen einer Gleichung die korrekten Einheiten (Newtonmeter) für das Drehmoment aus physikalischen Gründen zu verwenden. Sehen Sie sich hier die Umrechnungseinheiten an, wenn Sie Fuß-Pfund verwenden. https://en.wikipedia.org/wiki/Pound-foot_(Drehmoment) . Wenn der Kraftvektor und der Drehmomentvektor in die gleiche Richtung wie die Rechtsgriffregel wirken, erhält man einen positiven Drehmomentvektor, weil tatsächlich eine senkrechte Kraft (Drehmoment) vorhanden ist. Wenn es die entgegengesetzte Richtung ist, erhalten Sie einen negativen Drehmomentvektor. Aber in Wirklichkeit wirken die Kräfte in der Physik in beide Richtungen, da man mit Newtons drittem Gesetz immer im Gleichgewicht ist. Aber in der Mathematik müssen Sie zeigen, welches positiv und welches negativ ist, damit die ersten Prinzipien funktionieren.

Interessante Fakten zur Rechtshand-Griffregel:

• (Ampèresches Stromkreisgesetz) Ein elektrischer Strom fließt durch eine Magnetspule, was zu einem Magnetfeld führt. Wenn Sie Ihre rechte Hand mit den Fingern in Richtung des konventionellen Stroms um die Magnetspule legen, zeigt Ihr Daumen in Richtung des magnetischen Nordpols.
• (Ampèresches Stromkreisgesetz) Ein elektrischer Strom fließt durch einen geraden Draht. Der Daumen zeigt in Richtung des konventionellen Stroms (von positiv nach negativ) und die Finger zeigen in Richtung der magnetischen Feldlinien.
• (Torque) Das Prinzip wird verwendet, um die Richtung des Drehmomentvektors zu bestimmen. Greift man die gedachte Rotationsachse der Rotationskraft so, dass die Finger in Richtung der Kraft zeigen, dann zeigt der gestreckte Daumen in Richtung des Drehmomentvektors. Dies wird oft als Spinpräzession bezeichnet.
• (Elektromagnetisches Feld) Wenn die Regel beispielsweise auf Strom in einem geraden Draht angewendet wird, ist die Richtung des Magnetfelds (von der Daumenspitze aus gesehen gegen den Uhrzeigersinn statt im Uhrzeigersinn) ein Ergebnis dieser Konvention und kein zugrunde liegendes physikalisches Phänomen.