Moment einer Kraft um eine gegebene Achse (Drehmoment) - Skalar oder vektoriell?

Question

Moment einer Kraft um eine gegebene Achse (Drehmoment) - Skalar oder vektoriell?

Vinicius ACP

Ich studiere Statik und habe das gesehen:

Das Moment einer Kraft um eine gegebene Achse (oder Drehmoment) wird durch die Gleichung definiert:

$M_X = (\vec r \times \vec F) \cdot \vec x \ \ \$ (oder $\ \tau_x = (\vec r \times \vec F) \cdot \vec x \$ )

Aber in meinem Physikunterricht sah ich:

$\vec M = \vec r \times \vec F \ \ \$ (oder $\ \vec \tau = \vec r \times \vec F \$ )

In der ersten Formel ist das Drehmoment ein dreifacher Produktvektor, also eine skalare Größe. Aber im zweiten Fall ist es ein Vektor. Drehmoment (oder Moment einer Kraft) ist also ein Skalar oder ein Vektor?

ZeroTheHero

Das Drehmoment ist ein Vektor. In deinem

M_{X}

$M_X$ Sie haben einfach die Komponente des Drehmoments dabei

\vec{x}

$\vec x$ , und diese Komponente ist ein Skalar.

Sammy Rennmaus

Wo haben Sie die erste geschriebene Version gesehen?

Vinicius ACP

Ich denke, dass es in Beer's Vectorial Mechanics for Engineers steht, aber ich bin mir nicht sicher.

Jim

Technisch gesehen ist das Drehmoment ein Pseudo- (oder axialer) Vektor, siehe en.wikipedia.org/wiki/… .

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Moment einer Kraft um eine gegebene Achse (Drehmoment) - Skalar oder vektoriell?

Das Drehmoment ist ein Vektor. In deinem $M_X$ Sie haben einfach die Komponente des Drehmoments dabei $\vec x$ , und diese Komponente ist ein Skalar.
Ich denke, dass es in Beer's Vectorial Mechanics for Engineers steht, aber ich bin mir nicht sicher.
Technisch gesehen ist das Drehmoment ein Pseudo- (oder axialer) Vektor, siehe en.wikipedia.org/wiki/… .

John Alexiou · Answer 1

Drehmoment (Kraftmoment) ist ein Vektor, der den Ort der Kraftwirkungslinie beschreibt.

Lemma: Wenn du mir einen Kraftvektor gibst ${\vec F}$ und ein Momentenvektor über den Ursprung ${\vec M}$ dann kann ich eine Linie definieren, deren Punkte der Beziehung gehorchen $\vec{M} = {\vec r} \times {\vec F}$ . Diese Linie hat eine Richtung parallel zur Kraft ${\vec F}$ und geht durch einen Punkt (dem Ursprung am nächsten), der durch definiert ist $\vec{R} = \frac{\vec{F} \times \vec{M}}{“ \vec{F} “^{2}}$ ${\vec r} = \frac{ {\vec F} \times {\vec M} }{ \| {\vec F} \|^2 }$

Beweis : Verwenden $\vec{M} = {\vec r} \times {\vec F}$ in die Gleichung für den Punkt.

\frac{\vec{F} \times \vec{M}}{“ \vec{F} “^{2}} = \frac{\vec{F} \times (\vec{R} \times \vec{F})}{“ \vec{F} “^{2}} = \frac{\vec{R} (\vec{F} \cdot \vec{F}) - \vec{F} (\vec{F} \cdot \vec{R})}{“ \vec{F} “^{2}} = \vec{R} \frac{“ \vec{F} “^{2}}{“ \vec{F} “^{2}} = \vec{R}

$\require{cancel} \frac{ {\vec F} \times {\vec M} }{ \| {\vec F} \|^2 } = \frac{ {\vec F} \times ({\vec r} \times {\vec F}) }{ \| {\vec F} \|^2 } = \frac{ \vec{r} ( \vec{F} \cdot \vec{F}) - \vec{F} (\cancel{\vec{F} \cdot \vec{r}} ) }{ \| {\vec F} \|^2 } = \vec{r} \frac{\| {\vec F} \|^2}{\| {\vec F} \|^2} = \vec{r}$

Das erfordert das $\vec{F} \cdot \vec{r}=0$ Dies gilt für den Punkt auf der Linie, der dem Ursprung am nächsten liegt.

Sowohl in der Statik als auch in der Dynamik gilt, dass ein Moment nur eine Fernkraft ist . Nur wenn die Nettokraft Null ist (Kräftepaar), ist das Moment ein reines Moment und vermittelt keine Ortsinformation.

@MichaelLevy - danke. Ich habe den Wortlaut etwas geändert. Ich hoffe, Sie stimmen zu, dass es eine Verbesserung ist.
@MichaelLevy - überprüfen Sie den Link. Es funktioniert nicht für mich.
Die angeforderte URL /metric/metric_public/vectors/vector_coordinate_geometry/vector_equation_of_line.htmlwurde auf diesem Server nicht gefunden.
Wo ist deine Vektorgleichung einer Geraden? en.wikipedia.org/wiki/Line_(geometry)#As_a_vector_equation
Es gibt viele Formen von Liniengleichungen, aber in 3D ist es am häufigsten, eine Linie (oder einen Strahl) durch einen Punkt und eine Richtung zu definieren, was ich in dem Beitrag getan habe. Sie können auch schreiben $\frac{X - R_{X}}{F_{X}} = \frac{j - R_{j}}{F_{j}} = \frac{z - R_{z}}{F_{z}}$ $\frac{x-r_x}{F_x} = \frac{y-r_y}{F_y} = \frac{z-r_z}{F_z}$ oder $\vec{F} \times ((\begin{matrix} X \\ j \\ z \end{matrix}) - \vec{R}) = \vec{0}$ $\vec{F} \times \left( \pmatrix{x \\ y \\ z} - \vec{r} \right) = \vec{0}$

FGSUZ · Answer 2

Es ist offensichtlich ein Vektor, wie Sie in der 2. Formel sehen können.

Was Sie im ersten tun, ist das Erhalten der $x$ -Komponente dieses Vektors. Denken Sie daran, dass das Skalarprodukt die Projektion eines Vektors über die Richtung des anderen ist. Eigentlich müsstest du schreiben $\hat{x}$ oder $\vec{i}$ oder $\hat{i}$ um anzuzeigen, dass es sich um einen Einheitsvektor handelt. Das liegt daran, dass ein Einheitsvektor erfüllt

$\vec{v}\cdot\hat{u}=|v| \cdot |1|\cdot \cos(\alpha)=v \cos(\alpha)$

und so ist es die Projektion des Vektors selbst.

Zusammenfassend ist das Moment ein Vektor, und die erste Formel erfasst nur eine seiner Komponenten, wie im Unterindex angegeben.

Michael Levi · Answer 3

Es gibt einige Anwendungen, bei denen wir möglicherweise sowohl das Drehmoment, das ein Vektor ist, als auch die Komponente des Drehmoments um eine bestimmte Achse, die ein Skalar ist, quantifizieren möchten.

Ich veranschauliche ein Beispiel dafür in der folgenden Abbildung, die aus 1 stammt und hier unter fair use für wissenschaftliche Zwecke bereitgestellt wird. Die Tür ist so angelenkt, dass sie sich nur um die dreht $\mathbf{\widehat{k}}$ Achse. Unterdessen befindet sich der Türknauf an einer Position $\mathbf{r}$ relativ zum Ursprung. Eine Kraft $\mathbf{F}$ wird auf den Türknauf aufgebracht.

Von $\boldsymbol{\tau}$ , ich bezeichne das Drehmoment auf dem Türknauf, der ist

τ = R \times F .

$\boldsymbol{\tau} = \mathbf{r}\times \mathbf{F}.$ Von

τ_{z}

$\tau_z$ bezeichne ich die skalare Komponente des Drehmomentvektors um die Rotationsachse. So,

τ_{z} = \hat{k} \cdot τ = (R \times F) \cdot \hat{k} .

$\tau_z = \mathbf{\widehat{k}} \cdot \boldsymbol{\tau} = \left(\mathbf{r}\times \mathbf{F}\right)\cdot \mathbf{\widehat{k}}.$

Literaturverzeichnis

1 Mathematical Methods in the Physical Sciences, 3. Auflage, Mary L. Boas, ISBN: 978-0-471-19826-0 Juli 2005.

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John Alexiou

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