Ausdrücken der Größe des Drehmoments unter Verwendung des Skalarprodukts

Die wichtige Größe ist der Momentarm$d$eines Kraftvektors$\boldsymbol{F}$. Das ist der Mindestabstand zwischen der Kraftwirkungslinie und dem Drehmomentmesspunkt. Dadurch erhalten Sie die Größe des Drehmomentvektors

$$\tau = \| \boldsymbol{\tau} \| = \| \boldsymbol{r} \times \boldsymbol{F} || = \sin\theta\, \| \boldsymbol{r} \| \| \boldsymbol{F} \| = d \, \| \boldsymbol{F} \|$$

_{Wo$\boldsymbol{r}$ist der Ort der Kraft,$\boldsymbol{F}$ist der Kraftvektor und$\theta$ist der Winkel zwischen diesen beiden Vektoren.}

Um zu bekommen$d$, können Sie Trigonometrie anwenden (wie oben), oder wenn Sie die Richtung kennen$\boldsymbol{e}$und ein Punkt$\boldsymbol{r}$auf der Kraftwirkungslinie wird dann jeder beliebige Punkt auf der Wirkungslinie beschrieben

$$\boldsymbol{p} = \boldsymbol{r}+t\ \,\boldsymbol{e}$$ und den nächstgelegenen Punkt zum Ursprung hat $t =-\frac{\boldsymbol{e}\cdot \boldsymbol{r}}{\| \boldsymbol{e} \|^2}$. Beachten Sie, dass der Momentarm ist $$d = \| \boldsymbol{p} \| = \sqrt{ \boldsymbol{p} \cdot \boldsymbol{p}} = \sqrt{ (\boldsymbol{r}\cdot \boldsymbol{r})+2 (\boldsymbol{r}\cdot \boldsymbol{e}) t + (\boldsymbol{e}\cdot \boldsymbol{e}) t^2}$$

Verwendung der$t$Wert von oben dann

$$d = \sqrt{ (\boldsymbol{r}\cdot \boldsymbol{r}) - \left( \frac{ (\boldsymbol{e}\cdot \boldsymbol{r})}{ ( \boldsymbol{e}\cdot \boldsymbol{e})} \right)^2 }$$

Und

$$\tau = d \, F$$

_{Notiz:$F=\| \boldsymbol{F} \|$ist die Größe der Kraft.}