Wie findet man die Achse mit minimalem Trägheitsmoment?

Question

Wie findet man die Achse mit minimalem Trägheitsmoment?

Nilaksh Singh

Wenn ein System von Partikeln in einer 2D-Ebene gegeben ist, mit Partikeln, die Massen haben $M_1$ , $M_2$ , $M_3, \ldots M_n$ und Koordinaten $(x_1,y_1)$ , $(x_2,y_2)$ , $(x_3,y_3), \ldots (x_n y_n)$ , wie kann man dann die Achse finden , um die das System das minimale Trägheitsmoment hat ?

Ich weiß, dass unter den parallelen Achsen diejenige, die durch den Massenmittelpunkt verläuft, eine minimale Trägheit hat, aber welche Achse unter denen, die durch COM verlaufen, hat die geringste Trägheit?

Bonus: Wenn möglich, erklären Sie bitte, wie man diese Achse für ein Teilchensystem im 3D-Raum finden kann.

Biophysiker

Aus den Winkeln, die die Rotationsachse mit der z-Achse und der xy-Ebene bildet, lässt sich eine allgemeine Gleichung für das Trägheitsmoment finden. Dann wird es zu einem Optimierungsproblem. Das ist natürlich leichter gesagt als getan. Dies würde sowohl in 2D als auch in 3D funktionieren. Außerdem denke ich, dass die Achse in 2D in der Ebene der Partikel liegen muss, sodass Sie nur in Bezug auf einen Winkel statt auf zwei optimieren müssten.

QMechaniker

Zugehöriger Meta-Beitrag: physical.meta.stackexchange.com/q/10793/2451

Antworten (2)

Wie findet man die Achse mit minimalem Trägheitsmoment?

Aus den Winkeln, die die Rotationsachse mit der z-Achse und der xy-Ebene bildet, lässt sich eine allgemeine Gleichung für das Trägheitsmoment finden. Dann wird es zu einem Optimierungsproblem. Das ist natürlich leichter gesagt als getan. Dies würde sowohl in 2D als auch in 3D funktionieren. Außerdem denke ich, dass die Achse in 2D in der Ebene der Partikel liegen muss, sodass Sie nur in Bezug auf einen Winkel statt auf zwei optimieren müssten.
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Benutzer197851 · Answer 1

Dies ist eigentlich ein schönes Beispiel für Tensoren und Minimierung mit Lagrange-Multiplikatoren. Bei Rotation um die COM der Trägheitstensor $\mathbf{I}$ ist als symmetrisch definiert $3\times3$ Matrix mit Elementen wie z

{ICH}_{X X} = \sum_{k} M_{k} (j_{k}^{2} + z_{k}^{2}), {ICH}_{X j} = {ICH}_{j X} = - \sum_{k} M_{k} X_{k} j_{k}, {ICH}_{X z} = {ICH}_{z X} = - \sum_{k} M_{k} X_{k} z_{k}, \dots

$I_{xx} = \sum_k m_k (y_k^2+z_k^2), \quad I_{xy} = I_{yx} = -\sum_k m_k x_k y_k, \quad I_{xz} = I_{zx} = -\sum_k m_k x_k z_k, \quad \ldots$ wo die Positionsvektoren

(x_{k}, y_{k}, z_{k})

$(x_k,y_k,z_k)$ sind relativ zur COM. Sogar eine 2D-Anordnung von Partikeln hat im Allgemeinen a

3 \times 3

$3\times3$ Trägheitstensor: Sie können sie um jede Achse im 3D-Raum drehen. Da es sich um einen Tensor handelt, das Trägheitsmoment, das mit der Drehung um eine beliebige Achse durch die COM verbunden ist und durch einen Einheitsvektor dargestellt wird

n

$\mathbf{n}$ , wird einen Wert haben

N \cdot ICH \cdot N

$\mathbf{n}\cdot\mathbf{I}\cdot\mathbf{n}$ So können wir den Vektor suchen

n

$\mathbf{n}$ das minimiert diese quadratische Form. Wir müssen uns jedoch an die Einschränkung erinnern, dass

n

$\mathbf{n}$ ein Einheitsvektor ist, also erfüllt

n \cdot n = 1

$\mathbf{n}\cdot\mathbf{n}=1$ . Wir können also die Methode von Lagrange Unbestimmte Multiplikatoren anwenden und die Funktion ohne Einschränkungen minimieren

Φ (N) = N \cdot ICH \cdot N - λ N \cdot N

$\Phi(\mathbf{n}) = \mathbf{n}\cdot\mathbf{I}\cdot\mathbf{n} - \lambda \mathbf{n}\cdot\mathbf{n}$ Dieses Minimum (bzw. Maximum) tritt auf, wenn die Steigung der Funktion bzgl

n

$\mathbf{n}$ verschwindet, und dies wird passieren, wenn

ICH \cdot N = λ N

$\mathbf{I}\cdot\mathbf{n} = \lambda \mathbf{n}$ Dies ist ein Eigenwertproblem . Die Antwort auf Ihre Frage lautet also

Diagonalisieren Sie den Trägheitstensor, um seine drei Haupteigenwerte anzugeben $I_1$ , $I_2$ , $I_3$ .
Wählen Sie die kleinste davon aus.
Der entsprechende Eigenvektor ist die gewünschte Achse.

Wie oben erwähnt, vorausgesetzt, Sie berechnen den Trägheitstensor als a $3\times3$ Matrix macht es keinen Unterschied, ob die Anordnung der Massen in 2D oder 3D erfolgt. Wenn die Partikel alle in der $xy$ Ebene, aber es ist leicht zu zeigen, dass die $z$ Achse ist ein Eigenvektor des Trägheitstensors, und auch (wegen des Satzes von senkrechten Achsen ) dass das Trägheitsmoment um die $z$ Achse ist größer als etwa jede der Achsen, die in der liegen $xy$ Ebene. Im Wesentlichen wird das Problem a $2\times2$ Matrix-Eigenwertproblem.

wegen der Symmetrie des Trägheitstensors sind alle Eigenwerte reell!
Ich bin noch in der Schule und habe viele dieser Themen noch nicht studiert (Eigenwert, Tensoren usw.), daher verstehe ich Ihre Lösung nicht vollständig. Vielleicht verstehe ich mehr, wenn ich diese Themen studiere. Trotzdem danke für deine Antwort.
Ich verstehe; Das tut mir leid. Im Vereinigten Königreich werden diese normalerweise im zweiten Jahr eines Physikstudiums an der Universität behandelt. Der $\mathbf{n}\cdot\mathbf{I}\cdot\mathbf{n}$ Ausdruck ist die Berechnung des Trägheitsmoments entlang einer beliebigen Achse; dann wollen wir diese Größe minimieren, indem wir herausfinden, wo ihre Ableitung (in Bezug auf alle möglichen Drehungen von $\mathbf{n}$ ) ist Null. Dabei helfen uns die Lagrange-Multiplikatoren. Das Finden der Eigenwerte/Eigenvektoren entspricht dem Finden der "speziellen" Ausrichtungen der Achsen, die den Trägheitstensor diagonal machen. Eine davon ist die, die Sie suchen.
Wie auch immer, jedes dieser Themen (Trägheitstensor, Lagrange-Multiplikatoren, Eigenwerte) kann separat untersucht werden, und hoffentlich sind die in der Antwort angegebenen Links geeignete Ausgangspunkte. Viel Glück!

Nilaksh Singh · Answer 2

Ich löse dies für Partikel, die in einem 2D-Raum verteilt sind. Zunächst wissen wir, dass das Trägheitsmoment eines Teilchens um eine Achse gegeben ist durch

ICH = M R^{2}

$I=Mr^2$

Und wir wissen, dass die durch COM verlaufenden Achsen das minimale Trägheitsmoment haben. Unsere Aufgabe ist es, die Neigung der Achsen mit minimaler Trägheit zu finden, dann können wir das Neigungspunktformular verwenden, um die Gleichung der erforderlichen Achse zu finden:

j - j_{0} = M (X - X_{0})

$y - y_0 = m ( x - x_0 )$

(Wobei m die Steigung der Geraden und ist $(x_0, y_0)$ ist der Punkt, durch den es geht)

Betrachten wir nun die Massenverteilung, die Koordinate von COM ist gegeben durch:

X_{C M} = \frac{1}{M} \sum_{ich} M_{ich} X_{ich}

$x_{cm} = \frac{1}{M} \sum_i M_i x_i$

j_{C M} = \frac{1}{M} \sum_{ich} M_{ich} j_{ich}

$y_{cm} = \frac{1}{M} \sum_i M_i y_i$

Und jetzt verschieben wir den Ursprung auf COM, um unsere Berechnungen zu vereinfachen. Wenn die ursprüngliche Massenkoordinate $M_i$ War $(x_i, y_i)$ dann sind die neuen verschobenen Koordinaten:

\begin{aligned} X_{ich}^{'} & = X_{ich} - X_{C M} \\ j_{ich}^{'} & = j_{ich} - j_{C M} \end{aligned}

$\begin{align} x_i' & = x_i - x_{cm} \\ y_i' & = y_i - y_{cm} \end{align}$ Daher geht die gesuchte Achse nun zum neuen verschobenen Ursprung

(x_{0}, y_{0})

$(x_0, y_0)$ .

Nun sei die Geradengleichung

j = M X

$y = mx$ (da diese Linie durch den Ursprung geht,

c = 0

$c = 0$ ).

Dann die Distanz $r_i$ des $i$ te Teilchen aus dieser Zeile, ist gegeben durch:

\begin{aligned} R_{ich} = \frac{| M X_{ich}^{'} - j_{ich}^{'} |}{\sqrt{1 + M^{2}}} \end{aligned}

$\begin{align} r_i = \frac{|m x_i' -y_i'|}{\sqrt{1+m^2}} \end{align}$

Somit ist das Gesamtträgheitsmoment des Systems:

\begin{aligned} ICH = \sum M_{ich} R_{ich}^{2} \end{aligned}

$\begin{align} I = \sum M_i r_i^2 \end{align}$

Jetzt können wir es in Bezug auf differenzieren $m$ (Steigung) und gleich Null setzen, um die Minima zu finden:

\frac{D ICH}{D M} = \sum \frac{2 M_{ich} (M X_{ich}^{'} - j_{ich}) (X_{ich}^{'} + M j_{ich})}{(1 + M^{2})^{2}}

$\frac{dI}{dm} = \sum \frac{2M_i(mx_i'-y_i)(x_i'+my_i)}{(1+m^2)^2}$

Gleichsetzen mit Null ergibt:

\sum M_{ich} (M X_{ich}^{'} - j_{ich}) (X_{ich}^{'} + M j_{ich}) = 0

$\sum M_i(mx_i'-y_i)(x_i'+my_i)=0$

Das Auflösen nach m ergibt die folgende quadratische Gleichung:

(\sum M_{ich} X_{ich}^{'} j_{ich}^{'}) M^{2} + (\sum M_{ich} (X_{ich}^{' 2} - j_{ich}^{' 2})) M - (\sum M_{ich} X_{ich}^{'} j_{ich}^{'}) = 0

$\left(\sum M_i x_i'y_i'\right)m^2 + \left(\sum M_i (x_i'^2-y_i'^2)\right)m - \left(\sum M_i x_i'y_i'\right) = 0$

Beachten Sie, dass das Produkt der Wurzeln (d. h. Steigungen) -1 ist, dh dies ergibt zwei Achsen, die senkrecht zueinander stehen, und eine davon hat einen minimalen Impuls und die andere einen maximalen Impuls (diese können durch erneutes Differenzieren der obigen quadratischen Gleichung herausgefunden werden). )

Daher kann die gesuchte Achse im ursprünglichen Koordinatensystem folgendermaßen geschrieben werden:

j - j_{C M} = M (X - X_{C M}) .

$y-y_{cm} = m(x-x_{cm}).$ Wo

m

$m$ ist die Steigung, die der minimalen Trägheit entspricht.

Wie findet man die Achse mit minimalem Trägheitsmoment?

Nilaksh Singh

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Benutzer197851

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