Warum können wir das Trägheitsmoment berechnen, aber nicht die Trägheit?

Klassischerweise ist die Trägheit von etwas nur seine Masse. Wenn Sie eine analoge Gleichung wünschen, integrieren Sie einfach die Massendichte$\rho$des Objekts über das Volumen des Objekts:

$$m=\iiint \text dm=\iiint\rho\,\text dV$$

Vergleichen Sie dies mit dem, was Sie normalerweise in der Einführung in die Physik sehen

$$I=\iiint r^2\,\text dm=\iiint r^2\rho\,\text dV$$

die für eine gegebene Achse ein Element des Trägheitstensors ist .

Gibt es einen grundlegenden Unterschied zwischen dem Trägheitsmoment und der Trägheit eines Objekts?

Ja. Die Trägheit eines Objekts hängt nicht davon ab, wo sich die Masse im Körper befindet, sondern nur davon, wie viel Masse vorhanden ist. Das Trägheitsmoment um einen bestimmten Punkt hängt davon ab, wie diese Masse um den Punkt / die Achse verteilt ist, über die Sie das Trägheitsmoment berechnen.

Biophysiker hat Recht.

Ihre Verwirrung ergibt sich aus der Tatsache, dass das Wort "Trägheit" kein "technischer" Begriff ist. Es bezieht sich auf einen Begriff, der auf viele Dinge zutreffen kann, physisch oder psychisch, wie z. B. eine Person, die langsam handelt.

"Trägheitsmoment" ist ein präziser Fachbegriff, der sich auf Drehbewegungen bezieht. Der entsprechende Fachbegriff für das, was Sie „reguläre Bewegung“ nennen, ist einfach „Masse“.

Tatsächlich ist Ihre Frage tiefer als man denkt. Technisch gesehen ist das Analogon des "Trägheitsmoments" für die Translationsbewegung (Ihre "normale") Bewegung anstelle der Rotation die "Trägheitsmasse". Die Tendenz eines Objekts, ein anderes gravitativ anzuziehen und von ihm angezogen zu werden, ist seine "schwere Masse".

Experimentell hat man seit Newton immer festgestellt, dass „träge Masse“ und „schwere Masse“ gleich sind.

Aber es gab keinen tieferen Grund für diese Identität.

Die Annahme, dass diese Identität ein grundlegendes Prinzip der Natur ist, steht am Anfang von Einsteins Allgemeiner Relativitätstheorie.

Tatsächlich gibt es einige Gravitationstheorien (z. B. Tensor-Vektor-Skalar-Gravitation ), die sich von der Allgemeinen Relativitätstheorie unterscheiden. Für diese Theorien sind „träge Masse“ und „schwere Masse“ nicht identisch. Natürlich ist der Unterschied, falls vorhanden, so gering, dass kein Experiment auf der Erde diesen Unterschied messen konnte, aber er könnte einige Schwierigkeiten mit astronomischen Beobachtungen erklären.

Wenn diese Theorien richtig sind, sollte man im Prinzip den Ausdruck "träge Masse" anstelle von "Masse" für das Analogon von "Trägheitsmoment" und "schwere Masse" verwenden, um die Art und Weise zu beschreiben, wie ein Objekt angezogen wird. sagen, durch die Schwerkraft der Erde.

In der Praxis macht es keinen Unterschied, aber im Prinzip ist es wirklich eine sehr grundlegende Unterscheidung.

Ich gehe davon aus, dass dies vom Standpunkt der Einführung in die Physik im ersten Semester ist, daher halte ich es überhaupt nicht für angebracht, über Tensoren oder multivariable Integration zu sprechen.

Vergessen Sie die komplizierte Funktionsbeschreibung$I$sieht für einen Moment wie für ein Objekt aus und nennt es eine Konstante. Im Allgemeinen gebe ich im Physik-Grundlagenunterricht in einfachen Fällen gerne die folgenden analogen Aussagen zum 2. Newtonschen Gesetz

$$\vec{F} = m \vec{a}, \\ \vec{\tau} = I \vec{\alpha},$$ und beachten Sie, dass, wenn Masse (oder Trägheit , sie bedeuten dasselbe) ein Widerstand gegen eine Änderung der linearen Bewegung ist , das Trägheitsmoment ein Widerstand gegen eine Änderung der Rotationsbewegung ist . Da beide$m$Und$I$sind positive Konstanten für ein Objekt, sie sind die Konstanten, die steuern, wie einfach/schwer es ist, die Translation bzw. Rotation des Objekts zu beschleunigen. Das ist alles. Das Trägheitsmoment wirkt als das, was die Rotationsbeschleunigung behindert, genauso wie die Masse die Linearbeschleunigung behindert. Es passiert einfach so$I$ändert sich stark je nach Masse, Radius, Form, Massenverteilung etc.

Der Ursprung dieses seltsamen Wortmoments wird auf höheren Ebenen klar, wenn Sie den Trägheitstensor studieren, aber wenn Sie ihn zum ersten Mal in (ich nehme an) Einführungsphysik kennen lernen, halten Sie sich an die Grundlagen der obigen Gleichungen. Wenn es hilft, sagen die Leute manchmal Rotationsträgheit anstelle von Trägheitsmoment, sodass Sie die vielleicht aufschlussreicheren Begriffe verwenden können$m =$ translatorische Trägheit ,$I =$ Rotationsträgheit .

Trägheit im Allgemeinen ist ein Begriff, der verwendet wird, um zu beschreiben, wie leicht etwas seine Geschwindigkeit oder Bewegungsrichtung ändert, wenn eine Kraft darauf ausgeübt wird.

• Geringere Trägheit = leichter für eine gegebene Kraft, sie zu bewegen/zu ändern.
• Höhere Trägheit = schwerer für eine gegebene Kraft, sie zu bewegen/zu ändern.

Im Allgemeinen würden wir beispielsweise erwarten, dass sich Objekte mit größerer „Trägheit“ weniger leicht bewegen oder ihre Geschwindigkeit ändern als ein äquivalenter Körper mit kleinerer „Trägheit“.

Wenn wir die Bewegung in einer Linie betrachten, stellen wir fest, dass die Leichtigkeit, mit der das Objekt die Geschwindigkeit ändert, proportional zu dem Gewicht zu sein scheint, das es aufgrund der Schwerkraft hat. Das ist eine seltsame Art, es zu formulieren, und es lohnt sich, es genau zu betrachten.

Angenommen, wir sagen, ein kleines Objekt wiegt 1 kg oder hat eine Masse von 1 kg. Was meinen wir letztendlich damit? Einfach ausgedrückt meinen wir, dass die Schwerkraft es genauso zieht wie jedes andere Punktobjekt, das wir auch als "1 kg" bezeichnen. Wir wissen, dass 1 kg 1 kg ist, weil die Schwerkraft es anzieht, wie sie ein anderes Objekt anzieht, das wir in der Vergangenheit als 1 kg bezeichnet haben. Denn wenn wir das Objekt auf eine einfache Waage legen, gleicht es aus, wenn wir ein anderes Objekt, das wir "1 kg" nennen, auf die andere Seite legen. Dann wissen wir, dass dieses Objekt auch 1 kg wiegt oder nicht.

(Oder war es, während das Kilogramm in Paris durch eine Platinmasse definiert wurde, bis vor nicht allzu langer Zeit!)

Hier gibt es also einige tiefe Wahrheiten über das Universum. Objekte, die sich in einer geraden Linie bewegen, haben Trägheit - einige ändern ihre Geschwindigkeit oder Richtung leichter als andere, wenn wir die gleiche Kraft aufbringen - aber diese Trägheit scheint dieselbe zu sein wie die Leichtigkeit, mit der sie aufgrund der Schwerkraft Geschwindigkeit oder Richtung ändern. Wir identifizieren also 2 Arten von Trägheit und geben ihnen den Namen "Masse". Einfach ausgedrückt wird die Trägheit, wenn die Schwerkraft auf ein Objekt wirkt, als seine schwere Masse bezeichnet. Die Trägheit, wenn eine andere Kraft auf das Objekt einwirkt, wird als seine träge Masse bezeichnet. Bisher scheinen sie dasselbe zu sein, aber das ist noch etwas, was Physiker überprüfen.

Aber es gibt andere Situationen, in denen dieselbe Kraft ein Objekt leichter bewegt als ein anderes. Stellen Sie sich drei Karussells für Spielplatzkinder vor. Einer ist leer, einer hat 500 kg Gewichte in der Mitte und einer hat 500 kg Gewichte am Rand. Alle 3 können sich leicht drehen, aber das Drehen erfordert für den 3. viel mehr Kraft als für die anderen beiden. Das ist also auch eine Form der Trägheit.

Aber es liegt nicht nur an der Masse, sonst wäre der 2. Kreisel genauso schwer zu drehen. Es geht auch darum, wie die Masse positioniert ist.

Es stellt sich heraus, dass Sie eine Berechnung durchführen können, die mit „Welche Massen haben Sie wo und wo drehen Sie sie herum“ beginnt und mit einer einzelnen Zahl endet, die angibt, wie schwer es ist, die Drehgeschwindigkeit zu ändern.

In Analogie zu anderen Trägheitsformen nennen wir diese Eigenschaft auch Trägheit. Wir nennen es "Trägheitsmoment", weil Moment ein physikalischer Begriff ist, der sich auf Drehung und Drehkräfte bezieht. Aber Sie können nicht einfach eine Waage nehmen, um es zu messen. Sie müssen es berechnen oder im Vergleich zu einem standardisierten "Trägheitsmoment" -Objekt wie dem 1-kg-Block messen.