Warum addieren sich Masse und Trägheitsmoment?

Dass Masse additiv ist, ist eine empirische Tatsache, die wir ohne Frage bei der Konstruktion unserer physikalischen und mathematischen Modelle des Universums verwenden. Wir könnten uns vorstellen, dass, wenn das Universum unterschiedliche Naturgesetze hätte, dann das Zusammenbringen von zwei Körpern ihre kombinierte Masse über die Summe ihrer getrennten Massen erhöhen könnte, genauso wie das Zusammenbringen von zwei Ladungen die Kraft zwischen ihnen erhöht.

Eine ultimative Theorie von Allem könnte diese Eigenschaft anhand einiger abstrakter Konzepte „erklären“, aber dies wird nur „beweisen“, dass diese Theorie mit unseren Beobachtungen übereinstimmt.

(Ich habe ignoriert, was in der Speziellen Relativitätstheorie passiert, weil Sie das Tag für die Newtonsche Mechanik verwendet haben.)

Die additive Eigenschaft des Trägheitsmoments ist seiner Definition inhärent:

(Ich stelle fest, dass Sie nach Momenten um dieselbe "gegebene" Achse fragen. Es gibt keine einfache Addition, wenn die Achsen nicht gleich sind.)

Ja, diese Tatsache hängt mit der Additivität des Impulses zusammen, denn der Drehimpuls ist als Impulsmoment definiert:

warum Masse additiv ist; dh die transnationale Kinematik eines Körpers kann bestimmt werden, indem man ihn als einen einzelnen Körper betrachtet, dessen Gesamtmasse gleich der Summe der einzelnen Massen ist und an einem Punkt wirkt, den wir Massenmittelpunkt nennen.

Die Tatsache, dass Sie eine Ansammlung von Teilchen als ein großes Teilchen betrachten können, folgt aus Newtons drittem Gesetz. Taylor gibt in seinem Buch Classical Mechanics einen schönen Beweis dafür. Ich werde es hier wiederholen:

Angenommen, Sie haben eine Sammlung von Partikeln mit Positionen$\{x_i\}$und Massen$\{m_i\}$. Auf sie wird jeweils von äußeren Kräften eingewirkt,$\{F_i\}$. Sie interagieren auch untereinander: Die Kraft des j-ten Teilchens auf das i-te Teilchen wird als bezeichnet$\{F_{ij}\}$. Diese Kräfte können als die Kräfte betrachtet werden, die unsere Sammlung zusammenhalten; jedes Teilchen könnte zum Beispiel von jedem anderen Teilchen angezogen werden. Dann können wir die Beschleunigung des Massenmittelpunkts betrachten,$X$:

Dies folgt direkt aus der Definition des Massenschwerpunkts:$X=\frac 1 M \sum_im_i x_i$, Wo$M$ist die Gesamtmasse. Jetzt können wir Newtons zweites Gesetz verwenden, um jede umzuschreiben$m_i \ddot{x_i}$als Gesamtkraft auf das i-te Teilchen,$F_i+\sum_jF_{ij}$

Nun, aus Newtons drittem Gesetz,$\sum_{ij} F_{ij}=0$. Dies liegt daran, dass für jeden Term in der Summe, sagen wir$F_{ab}$, es gibt noch einen anderen Begriff$F_{ba}$, und Newtons drittes Gesetz besagt$F_{ab}=-F_{ba}$. Somit wird unsere Formel

Aus diesem Beweis können Sie erkennen, warum wir ausgedehnte Objekte so behandeln können, als wären sie einzelne Teilchen mit größerer Masse, und zwar auf das dritte Newtonsche Gesetz, das es uns ermöglichte, die Summe zu kürzen$F_{ij}$. Intuitiv geschieht dies, weil Newtons drittes Gesetz besagt, dass kein Objekt, nicht einmal ein ausgedehntes Objekt, eine Kraft auf sich selbst ausüben kann. Eine Ansammlung von Partikeln wird also nur durch äußere Kräfte beschleunigt.

Wenn Ihnen dieser Beweis gefallen hat, Taylor hat einen ähnlichen für den Drehimpuls, den Sie vielleicht aufschlussreich finden.

Ich finde es noch verwirrender, dass das Trägheitsmoment eines zusammengesetzten Objekts um eine gegebene Achse summiert werden kann, indem man die Summe der einzelnen Trägheitsmomente ermittelt! Dies ist für mich besonders rätselhaft, da das Trägheitsmoment proportional zum Quadrat der Entfernung ist (obwohl dies vielleicht nichts mit dem Problem zu tun hat!)

Dies folgt direkt aus der Definition von$I$, wie SammyGerbil betonte.