Drehung eines starren Körpers - Einfaches umgekehrtes Pendel

Question

Drehung eines starren Körpers - Einfaches umgekehrtes Pendel

Enzo Charles

Ich dachte an ein wirklich einfaches umgekehrtes Längenpendel $L$ , Masse $M$ und machte dieses Freikörperdiagramm:

Ich beschloss, Newtons zweites Gesetz relativ zum Ursprung (Drehpunkt) und zum Schwerpunkt (Ort der Kraft) anzuwenden $F_g$ ), was die Gleichungen (1) bzw. (2) ergibt:

\begin{matrix} (1) & \sum τ_{Ö} = - F_{G} \cdot \frac{L}{2} Sünde (θ) = {ICH}_{0} \ddot{θ} \end{matrix}

$\sum \tau_{o}=-F_{g}\cdot \frac{L}{2}\sin\left( \theta \right)=I_0 \ddot{\theta} \tag{1}$

\begin{matrix} (2) & \sum τ_{C} = H \cdot \frac{L}{2} \cos (θ) - v \cdot \frac{L}{2} Sünde (θ) = {ICH}_{C} \ddot{θ} \end{matrix}

$\sum \tau_{c}=H\cdot \frac{L}{2}\cos\left (\theta\right)-V\cdot \frac{L}{2}\sin\left(\theta \right)=I_{c}\ddot{\theta} \tag{2}$

Wenn ich das Pendel als Stab betrachte, $I_c=ML^2/12$ Und $I_0=ML^2/3$ . Sind beide Ansätze gültig? Geben sie die gleiche Antwort des Systems?

Nasu

Welche Bedeutung haben die Symbole, die Sie hier verwenden? Die meisten sind undefiniert.

Enzo Charles

V und H sind die vertikalen und horizontalen Reaktionskräfte am Drehpunkt, Fg ist das Gewicht des Stabs, Theta ist der Winkel zwischen Stab und vertikaler Achse, Ic und Io sind die Trägheitsmomente in Bezug auf Ursprung und Schwerpunkt

Nasu

Der Drehpunkt befindet sich also am unteren Ende der Stange?

Gert

Warum entwickeln Sie nicht einfach die Gleichungen (lösen Sie die ODEs)?

Enzo Charles

Ja, es ist ein umgekehrtes Pendel. Ich werde versuchen, den Hauptbeitrag zu bearbeiten. @Gert werde ich, ich bin mir fast sicher, dass Gleichung (1) eine vernünftige Antwort geben wird, aber ich frage mich aus konzeptioneller Sicht über Gleichung (2).

Gert

Ich bin mir ziemlich sicher (Augenblick), dass beide Gleichungen das gleiche Ergebnis liefern, wenn Sie die Näherung für kleine Winkel verwenden

\sin θ \approx θ

$\sin\theta\approx \theta$

Josef h

Bitte verwenden Sie Mathjax, um mathematische Ausdrücke in Physics SE einzugeben, da dies der Site-Standard ist. Von Bildern von Text oder Gleichungen wird dringend abgeraten und können zu Ablehnungen führen

Enzo Charles

Erwischt. Wird in Zukunft gemacht!

Tieu Binh

Ich habe hier eine ähnliche Frage beantwortet physical.stackexchange.com/a/623480/217289 . Am besten rechnet man mit dem Schwerpunkt, die Berechnung der Rotation um einen anderen Punkt als den Schwerpunkt stimmt nicht immer.

Enzo Charles

Danke, Tieu. Wäre also Gleichung (2) insgesamt zuverlässiger? Das überrascht mich. Ich finde es ein wenig kontraintuitiv, die Rotation relativ zum Schwerpunkt zu berechnen, wenn ich sehe, wie das Pendel um den Drehpunkt schwingt. Ist Gleichung (1) in diesem speziellen Fall falsch?

Antworten (1)

Drehung eines starren Körpers - Einfaches umgekehrtes Pendel

Welche Bedeutung haben die Symbole, die Sie hier verwenden? Die meisten sind undefiniert.
V und H sind die vertikalen und horizontalen Reaktionskräfte am Drehpunkt, Fg ist das Gewicht des Stabs, Theta ist der Winkel zwischen Stab und vertikaler Achse, Ic und Io sind die Trägheitsmomente in Bezug auf Ursprung und Schwerpunkt
Der Drehpunkt befindet sich also am unteren Ende der Stange?
Warum entwickeln Sie nicht einfach die Gleichungen (lösen Sie die ODEs)?
Ja, es ist ein umgekehrtes Pendel. Ich werde versuchen, den Hauptbeitrag zu bearbeiten. @Gert werde ich, ich bin mir fast sicher, dass Gleichung (1) eine vernünftige Antwort geben wird, aber ich frage mich aus konzeptioneller Sicht über Gleichung (2).
Ich bin mir ziemlich sicher (Augenblick), dass beide Gleichungen das gleiche Ergebnis liefern, wenn Sie die Näherung für kleine Winkel verwenden $\sin\theta\approx \theta$
Bitte verwenden Sie Mathjax, um mathematische Ausdrücke in Physics SE einzugeben, da dies der Site-Standard ist. Von Bildern von Text oder Gleichungen wird dringend abgeraten und können zu Ablehnungen führen
Ich habe hier eine ähnliche Frage beantwortet physical.stackexchange.com/a/623480/217289 . Am besten rechnet man mit dem Schwerpunkt, die Berechnung der Rotation um einen anderen Punkt als den Schwerpunkt stimmt nicht immer.
Danke, Tieu. Wäre also Gleichung (2) insgesamt zuverlässiger? Das überrascht mich. Ich finde es ein wenig kontraintuitiv, die Rotation relativ zum Schwerpunkt zu berechnen, wenn ich sehe, wie das Pendel um den Drehpunkt schwingt. Ist Gleichung (1) in diesem speziellen Fall falsch?

Zukunftsforscher · Answer 1

Nein, die beiden Ansätze, wie Sie sie dargestellt haben, wären nicht gleichwertig. Das erste ist genau. Der zweite nicht. Ihnen fehlen die Newtonschen Gleichungen für die Bewegung des Massenmittelpunkts des Stabes. Mit ihrer Hilfe könnten Sie die Komponenten ausdrücken $H$ Und $V$ der Reaktionskraft und setzen Sie sie in die Drehmomentgleichung ein, um eine Gleichung zu erhalten, die derjenigen aus dem ersten Ansatz entspricht.

\begin{aligned} X_{C} \hat{ich} + j_{C} \hat{J} = \frac{L}{2} Sünde (θ) \hat{ich} + \frac{L}{2} \cos (θ) \hat{J} \end{aligned}

$\begin{align} & x_c \,\hat{i} \, + \, y_c\,\hat{j} \, = \, \frac{L}{2}\,\sin(\theta) \, \hat{i} \, +\, \frac{L}{2}\,\cos(\theta) \, \hat{j} \end{align}$

Der vollständige Satz von Bewegungsgleichungen ist

\begin{aligned} M \frac{D^{2}}{D T^{2}} (X_{C} \hat{ich} + j_{C} \hat{J}) = H \hat{ich} + v \hat{J} - M G \hat{J} \\ {ICH}_{C} \frac{D^{2} θ}{D T^{2}} \hat{k} = (- X_{C} \hat{ich} - j_{C} \hat{J}) \times (H \hat{ich} + v \hat{J}) \end{aligned}

$\begin{align} & M\frac{d^2}{dt^2} \big(\, x_c \,\hat{i} \, + \, y_c\,\hat{j} \,\big) \,=\, H \, \hat{i} \, + \,V \, \hat{j} \,- \,Mg\,\hat{j}\\ &\\ &I_c\frac{d^2\theta}{dt^2} \,\hat{k} \, = \, \big(\, - x_c \,\hat{i} \, - \, y_c\,\hat{j} \,\big)\times \big(\,H \, \hat{i} \, + \,V \, \hat{j}\,\big) \end{align}$

Plug-Ausdrücke

\begin{aligned} \frac{M L}{2} \frac{D^{2}}{D T^{2}} (Sünde (θ) \hat{ich} + \cos (θ) \hat{J}) = H \hat{ich} + (v - M G) \hat{J} \\ {ICH}_{C} \frac{D^{2} θ}{D T^{2}} \hat{k} = - \frac{L}{2} (Sünde (θ) \hat{ich} + \cos (θ) \hat{J}) \times (H \hat{ich} + v \hat{J}) \end{aligned}

$\begin{align} & \frac{ML}{2}\,\frac{d^2}{dt^2} \big(\, \sin(\theta) \, \hat{i} \, +\,\cos(\theta) \, \hat{j} \,\big) \,=\, H \, \hat{i} \, + \,\big(\,V \,- \,Mg\,\big)\hat{j}\\ &\\ &I_c\frac{d^2\theta}{dt^2} \,\hat{k} \, = \, -\,\frac{L}{2}\big(\, \sin(\theta) \, \hat{i} \, +\,\cos(\theta) \, \hat{j} \,\big)\times \big(\,H \, \hat{i} \, + \,V \, \hat{j}\,\big) \end{align}$

Führen Sie die meisten Operationen durch

\begin{aligned} \frac{M L}{2} & [- Sünde (θ) \frac{D^{2} θ}{D T^{2}} - \cos (θ) (\frac{D θ}{D T})^{2}] \hat{ich} \\ + \frac{M L}{2} & [\cos (θ) \frac{D^{2} θ}{D T^{2}} - Sünde (θ) (\frac{D θ}{D T})^{2}] \hat{J} = H \hat{ich} + (v - M G) \hat{J} \\ {ICH}_{C} \frac{D^{2} θ}{D T^{2}} \hat{k} = \frac{L}{2} (H \cos (θ) - v Sünde (θ)) \hat{k} \end{aligned}

$\begin{align} \frac{ML}{2}\, &\Big[\,-\sin(\theta)\frac{d^2\theta}{dt^2} - \cos(\theta)\Big(\frac{d\theta}{dt}\Big)^2\,\Big] \hat{i} \, \\ +\, \frac{ML}{2}\,&\Big[\,\,\,\,\,\,\,\cos(\theta)\frac{d^2\theta}{dt^2} - \sin(\theta)\Big(\frac{d\theta}{dt}\Big)^2\,\Big] \, \hat{j} \,=\, H \, \hat{i} \, + \,\big(\,V \,- \,Mg\,\big)\hat{j}\\ &\\ &I_c\frac{d^2\theta}{dt^2} \,\hat{k} \, = \, \frac{L}{2}\big(\, H\cos(\theta) - V\sin(\theta) \,\big) \hat{k} \end{align}$

Lösen Sie nach den horizontalen und vertikalen Komponenten der Reaktionskraft auf

\begin{aligned} H = \frac{M L}{2} [- Sünde (θ) \frac{D^{2} θ}{D T^{2}} - \cos (θ) (\frac{D θ}{D T})^{2}] \\ v = \frac{M L}{2} [\cos (θ) \frac{D^{2} θ}{D T^{2}} - Sünde (θ) (\frac{D θ}{D T})^{2}] + M G \\ {ICH}_{C} \frac{D^{2} θ}{D T^{2}} = \frac{L}{2} H \cos (θ) - \frac{L}{2} v Sünde (θ) \end{aligned}

$\begin{align} &H \, =\, \frac{ML}{2}\, \Big[\,-\sin(\theta)\frac{d^2\theta}{dt^2} - \cos(\theta)\Big(\frac{d\theta}{dt}\Big)^2\,\Big] \\ &V \, = \, \frac{ML}{2}\,\Big[\,\,\,\,\,\,\,\cos(\theta)\frac{d^2\theta}{dt^2} - \sin(\theta)\Big(\frac{d\theta}{dt}\Big)^2\,\Big] \, +\, Mg\\ &\\ &I_c\frac{d^2\theta}{dt^2} \, = \, \frac{L}{2}\, H\cos(\theta) - \frac{L}{2}\, V\sin(\theta) \end{align}$

und setze sie in die dritte (Drehmoment-)Gleichung ein, vereinfache und wende die entsprechenden trigonometrischen Identitäten an. Das Ergebnis ist

{ICH}_{C} \frac{D^{2} θ}{D T^{2}} = - \frac{M L^{2}}{4} \frac{D^{2} θ}{D T^{2}} - \frac{M G L}{2} Sünde (θ)

$I_c\frac{d^2\theta}{dt^2} \, = \, -\,\frac{ML^2}{4}\,\frac{d^2\theta}{dt^2} \, -\, \frac{MgL}{2} \sin(\theta)$

oder neu ausgedrückt

({ICH}_{C} + \frac{M L^{2}}{4}) \frac{D^{2} θ}{D T^{2}} = - \frac{M G L}{2} Sünde (θ)

$\left(I_c\, + \,\frac{ML^2}{4}\right)\frac{d^2\theta}{dt^2} \, = \, -\, \frac{MgL}{2} \sin(\theta)$

Wo

{ICH}_{Ö} = {ICH}_{C} + \frac{M L^{2}}{4}

$I_o \, =\, I_c\, + \,\frac{ML^2}{4}$ was mit dem Parallelachsensatz übereinstimmt.

Vielen Dank für die Antwort, Zukunftsforscher. Wenn nämlich H und V in Gleichung (2) eingesetzt werden, stimmen die resultierenden Kräfte auf der rechten Seite und das Trägheitsmoment auf der linken Seite mit Gleichung (1) überein. Nochmals vielen Dank für die hervorragende Vorführung!

Drehung eines starren Körpers - Einfaches umgekehrtes Pendel

Enzo Charles

Nasu

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Nasu

Gert

Enzo Charles

Gert

Josef h

Enzo Charles

Tieu Binh

Enzo Charles

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Zukunftsforscher

Enzo Charles

Sollte der Zusammenhang zwischen Drehmoment und Trägheitsmoment und Winkelbeschleunigung nicht τ=Iαsinθτ=Iαsin⁡θ\tau = I\alpha \sin\theta sein?

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