Drehmoment an Achse und Rad

Ich löste ein physikalisches Problem, als ich auf das folgende Rätsel stieß.

Stellen Sie sich ein Rad vor, das an einer Achse befestigt ist. Das Rad hat einen Radius von R , das ist der doppelte Radius der Achse, R . Angenommen, Rad und Achse haben die gleiche Masse. Wir drehen die Achse (durch die horizontale Achse), indem wir eine Kraft darauf anwenden. Als Ergebnis beginnt sich die Achse nun mit einer Winkelbeschleunigung von zu bewegen a . Zusätzlich beginnt sich das Rad auch mit einer Winkelbeschleunigung von zu bewegen a .

Somit hat die Achse ein Drehmoment gleich ICH A X l e a , während das Rad ein Drehmoment gleich hat ICH w H e e l a . Wir können dies wie folgt vereinfachen:

ICH w H e e l = M R 2

ICH A X l e = M R 2

Wir sehen also, dass die beiden Drehmomente tatsächlich unterschiedlich sind. Die Lösung, die ich gelesen habe, besagt jedoch, dass das Drehmoment an einem Rad immer gleich dem Drehmoment an seiner Achse ist. Aber mit der gerade verwendeten Logik beweisen wir das Gegenteil. Was habe ich verpasst?

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Antworten (2)

Wir sehen also, dass die beiden Drehmomente tatsächlich unterschiedlich sind. Die Lösung, die ich gelesen habe, besagt jedoch, dass das Drehmoment an einem Rad immer gleich dem Drehmoment an seiner Achse ist. Aber mit der gerade verwendeten Logik beweisen wir das Gegenteil. Was habe ich verpasst?

Es ist richtig, dass die Drehmomente unterschiedlich wären, wenn Sie die Achse und das Rad als zwei separate Objekte betrachten würden. Aber sie sind keine getrennten Objekte. Sie bestehen aus einem Objekt, das einem einzigen Drehmoment ausgesetzt ist. Der Unterschied besteht darin, dass die Kraft auf das Rad geringer ist als die auf die Achse, da das Drehmoment gleich der am Radius ausgeübten Kraft mal dem Radius ist.

Somit haben wir für den (äußeren) Teil des Rads ein Drehmoment

T w H e e l = F w H e e l R

Und für die Achse (innerer Teil) haben wir Drehmoment

T A X l e = F A X l e R

Die beiden Drehmomente sind gleich, also haben wir

F w H e e l R = F A X l e R

oder

F w H e e l = F A X l e R R

Die Kraft am maximalen Radius des Rades ist also geringer als die Kraft am Radius der Achse, um das gleiche Drehmoment zu erreichen. Dies sagt uns, dass wir das gleiche Drehmoment erhalten können, indem wir die Kraft tangential zum Radius linear mit dem Radius erhöhen;

Wir können zu dem gleichen Schluss kommen, wenn wir Formeln für das Drehmoment in Form von Trägheitsmoment mal Winkelbeschleunigung verwenden. Zuerst für das Rad.

T w H e e l = M R 2 a = F w H e e l R

Deshalb

F w H e e l = M R a

Ebenso für die Achse

T A X l e = M R 2 a = F A X l e R

Deshalb

F A X l e = M R a

Auch hier sind die Drehmomente gleich

F A X l e R = F w H e e l R

oder

F w H e e l = F A X l e R R

wie vorher.

Hoffe das hilft.

Hey! Danke für die Antwort, aber ich glaube nicht, dass der zweite Beweis wahr sein kann, da MR ^ 2 nicht gleich mr ^ 2 ist, oder? Wir können also nicht sagen, dass die Drehmomente gleich sind ... Es tut mir leid, ich habe nur große Probleme zu erkennen, warum die Drehmomente an den Objekten gleich sind ... ist das nur eine Annahme?
Ich meine, ich weiß, dass die Winkelbeschleunigung gleich ist, aber diese Werte sind es nicht.
@ Dude156 Stellen Sie sich Drehmoment als Verdrehungseffekt vor. Setzen Sie einen Schraubenschlüssel auf eine Schraube. Üben Sie eine Kraft auf den Schlüssel senkrecht zum Schlüsselarm aus. Wenn Sie Ihre Kraft auf den Schlüsselgriff ausüben, um die Schraube zu drehen, müssen Sie eine größere Kraft aufwenden, je näher Sie Ihre Hand an die Schraube halten, und weniger Kraft, je weiter Sie von der Schraube entfernt sind. Das Drehmoment ist in beiden Fällen gleich.

Ich denke, Sie verwirren eine einfache Idee, weil Sie sich auf das Drehmoment als Beispiel konzentrieren. Wenn Sie stattdessen Gewalt in Betracht ziehen, fällt es Ihnen vielleicht leichter, über das Prinzip nachzudenken.

Stellen Sie sich also vor, Sie schieben einen 20-kg-Einkaufswagen, der einen 10-kg-Karton enthält. In diesem Beispiel entspricht der Trolley der Achse und der Karton dem Rad. Sie können dies auf zwei Arten modellieren. Man muss davon ausgehen, dass der Wagen und der Karton eine Einheit bilden, auf die eine einzige Kraft einwirkt. Andererseits kann man argumentieren, dass, da Trolley und Karton gleich schnell beschleunigt werden, der Karton bei F=ma der halben Kraft ausgesetzt sein muss, die der Trolley erfährt, weil er die halbe Masse hat. Sie können sich jetzt selbst einreden, dass es einen Widerspruch gibt, weil die eine Ansicht sagt, dass auf beide Objekte die gleiche Kraft wirkt, während die andere sagt, dass sie unterschiedliche Kräfte erfahren müssen. Genau das machst du in deinem Beispiel.

Im Fall von Trolley und Karton passiert „wirklich“, dass Sie den Trolley mit drei Krafteinheiten schieben, die ausreichen, um beide Objekte zu beschleunigen, der Trolley schiebt den Karton mit einer Krafteinheit und die Reaktion von Der Karton gegen den Trolley bedeutet, dass der Trolley zwei Krafteinheiten ausgesetzt ist. Es ist jedoch viel einfacher, sich vorzustellen, dass der Einkaufswagen und der Karton gemeinsam denselben drei Krafteinheiten ausgesetzt sind – die mathematische Antwort ist in beiden Fällen identisch.

Drehmoment an Achse und Rad
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