Wie wende ich den Parallelachsensatz richtig auf ein Stabkugelsystem an, das sich um seinen Massenmittelpunkt dreht?

Question

Wie wende ich den Parallelachsensatz richtig auf ein Stabkugelsystem an, das sich um seinen Massenmittelpunkt dreht?

Benutzer1068636

Im Bild unten sehen Sie einen Stab, an dessen rechter Seite eine Kugel befestigt ist. Das Stab-Kugel-System dreht sich um den Massenmittelpunkt des gesamten Systems. Wie wende ich den Parallelachsensatz an, um das Trägheitsmoment des gesamten Stabkugelsystems zu ermitteln, das sich um den Massenmittelpunkt des gesamten Systems dreht?

Hier ist mein Denkprozess und ich würde mich freuen, wenn die Community mir einen Hinweis geben könnte:

Wenden Sie den Parallelachsensatz separat auf Stab und Kugel an und addieren Sie dann ihre Trägheitsmomente zusammen, um das Trägheitsmoment des gesamten Systems zu bilden.

Gegebene Informationen:

Stangenlänge = $L$

Radius der Kugel = $R$

Stabmasse = $m_{r}$

Masse der Kugel = $m_{s}$

$I_{rod} = I_{rod,CM} + m_rd_{rod}^2$ (Parallel Axis Thm. angewendet auf Stange)

Wo $d_{rod}=$ Abstand vom Stabmittelpunkt zum Masseschwerpunkt des gesamten Stab-Kugel-Systems.

$I_{sphere} = I_{sphere,CM} + m_sd_{sphere}^2$ (Parallel Axis Thm. angewendet auf Kugel)

Wo $d_{sphere}=$ Abstand vom Kugelmittelpunkt zum Massenmittelpunkt des gesamten Stab-Kugel-Systems.

Die endgültige Antwort sollte also lauten

$I_{tot} = I_{rod} + I_{sphere}$

Aber das ist anscheinend falsch! Also was mache ich hier falsch?

user83548

Was lässt Sie denken, dass es falsch ist?

John Alexiou

Beim Umgang mit skalaren Massenträgheitsmomenten muss klar sein, mit welcher Bewegungsachse man es zu tun hat.

Antworten (1)

Wie wende ich den Parallelachsensatz richtig auf ein Stabkugelsystem an, das sich um seinen Massenmittelpunkt dreht?

Beim Umgang mit skalaren Massenträgheitsmomenten muss klar sein, mit welcher Bewegungsachse man es zu tun hat.

John Alexiou · Answer 1

Du hast zwei Körper $m_1$ Und $m_2$ mit Abständen platziert $d_1$ Und $d_2$ von einem beliebigen Punkt A zu ihrem Massenschwerpunkt, dann ist das kombinierte Massenträgheitsmoment an diesem Punkt

{ICH}_{A} = ({ICH}_{1} + M_{1} D_{1}^{2}) + ({ICH}_{2} + M_{2} D_{2}^{2})

$I_A = (I_1 + m_1 d_1^2) + (I_2+m_2 d_2^2)$

Das kombinierte System hat Masse $m_1+m_2$ und ob das erforderliche Massenträgheitsmoment um den kombinierten Massenschwerpunkt C liegt $I_C$ dann ist das mmoi bei A

{ICH}_{A} = {ICH}_{C} + (M_{1} + M_{2}) C^{2}

$I_A = I_C + (m_1+m_2) c^2$ Wo

c = \frac{m_{1} d_{1} + m_{2} d_{2}}{m_{1} + m_{2}}

$c=\frac{m_1 d_1+m_2 d_2}{m_1+m_2}$ der Abstand ihres kombinierten Zentrums zu dem beliebigen Punkt A ist . Lösen Sie das obige für

I_{C}

$I_C$ Erträge

{ICH}_{C} = {ICH}_{1} + {ICH}_{2} + \frac{M_{1} M_{2}}{M_{1} + M_{2}} (D_{1} - D_{2})^{2}

$I_C = I_1 + I_2 + \frac{m_1 m_2}{m_1+m_2} (d_1-d_2)^2$

Nehmen wir in Ihrem Fall das Ende der Stange als willkürlichen Punkt, der A gibt $d_1=\frac{\ell}{2}$ Und $d_2 = \ell$ . Das MMOI des Stabes ist ungefähr sein Zentrum $I_1 = \frac{1}{12} m_1 \ell^2$ und das MMOI einer festen Kugel ist $I_2 = \frac{2}{5} m_2 r^2$ .

Der kombinierte Schwerpunkt ist

C = \frac{ℓ (M_{1} + 2 M_{2})}{2 (M_{1} + M_{2})}

$c = \frac{\ell (m_1+2 m_2)}{2 (m_1+m_2) }$

und das kombinierte MMOI am cm ist

{ICH}_{C} = \frac{1}{12} M_{1} ℓ^{2} + \frac{2}{5} M_{2} R^{2} + \frac{ℓ^{2} M_{1} M_{2}}{4 (M_{1} + M_{2})}

$I_C = \frac{1}{12} m_1 \ell^2+\frac{2}{5} m_2 r^2+\frac{\ell^2 m_1 m_2}{4 (m_1+m_2)}$

Dies sollte Ihnen die richtige Antwort geben.

Wie wende ich den Parallelachsensatz richtig auf ein Stabkugelsystem an, das sich um seinen Massenmittelpunkt dreht?

Benutzer1068636

user83548

John Alexiou

Antworten (1)

John Alexiou

Wenn ich einen Stab biege, ändert sich sein Trägheitsmoment?

Kinetische Energie und Rotationsbewegung

Bleibt der Drehimpuls eines Systems, dessen Trägheitsmoment sich ändert, konstant?

Parallelachsensatz: Hinzufügen von Masse

Wie kann man das Trägheitsmoment berechnen?

Drehmoment an Achse und Rad

Drehimpuls in einem Stab, der sich um ein Ende dreht?

Wie bestimmt man die minimale Schwingungsdauer eines physikalischen Pendels? [geschlossen]

Unter welchen Bedingungen gilt die Beziehung L⃗ =Iω⃗ L→=Iω→\vec{L} =I \vec{\omega}? [Duplikat]

Wohin muss man einen Ball treten, um während der gesamten Bewegung zu rollen?